ПСК. Теория вероятностей и математическая статистика
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Условные ряды распределения для дискретных составляющих Х и Y определяются по формулам: pi/j = p(X = xi / Y = yj) = pij / p(Y = yj), i = 1, ..., N; (9.13) pj/i = p(Y = yj / X = xi) = pij / p(X = xi), j = 1, ..., M. (9.14) Величина Х независима от величины Y, если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величина Y. Для независимых величин выполняются следующие соотношения: 1. F(x, y) = p(X < x, Y < y) = p(X < x)p(Y < y) = F X (x)F Y (y) ∀ x, y; (9.15) 2. для непрерывных – f(x, y) = f X (x)f Y (y) ∀ x, y; (9.16) 3. для дискретных – pij = pi pj, для ∀ i, j. (9.17) Пример 9.1. Двухмерная случайная величина (X, Y) распределена по закону, приведенному в таблице: yj xi y1 = 0 y2 = 1 x1 = –1 0,1 0,2 x2 = 0 0,2 0,3 x3 = 1 0 0,2 Определить одномерные ряды вероятностей величин X и Y, условный ряд вероятностей величины X при условии, что Y = 1. Исследовать зависимость случайных величин X и Y. Решение. Определим ряды вероятностей X и Y по формулам (9.9) и (9.10), т.е. выполним суммирование по столбцам и по строкам: yj 0 1 xi –1 0 1 pj 0,3 0,7 pi 0,3 0,5 0,2 Условный ряд X при Y = 1 получаем по формуле (9.13): xi –1 0 1 pi / Y = 1 2/7 3/7 2/7 Величины X и Y зависимы, так как P(X = 0, Y = 0) ≠ P(X = 0)P(Y = 0), 0,2 ≠ 0,3 ⋅ 0,5. Пример 9.2. Двухмерная случайная величина равномерно распределена в области D, ограниченной прямыми X = 0, Y = 0 и X + Y = 4. Исследовать зависимость случайных величин X и Y. Решение. Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности: при 0 4, 0 4 , ( , ) 0 иначе. c x y x f x y ≤ ≤ ≤ ≤ − ⎧ = ⎨ ⎩ Определим c, используя условие нормировки (9.5): 4 4 4 0 0 0 1 (4 ) 8 1 8 x cdxdy c x dx c c − = − = ⋅ = ⇒ = ∫ ∫ ∫ Определим одномерные плотности 1 2 ( ), ( ) f x f y величин X и Y по формуле (9.6): 4 1 0 0, 0 1 ( ) 0,5 , 0 4 8 8 0, 4 x x x f x dy x x − < ⎧ ⎪ ⎪ = = − ≤ ≤ ⎨ ⎪ ⎪ > ⎩ ∫ , 4 2 0 0, 0 1 ( ) 0, 5 , 0 4 8 8 0, 4 y y y f y d x y y − < ⎧ ⎪ ⎪ = = − ≤ ≤ ⎨ ⎪ ⎪ > ⎩ ∫ Очевидно, что критерий независимости (9.16) величин не выполняется, т.е. 1 2 ( , ) ( ) ( ) f x y f x f y ≠ , следовательно, величины X и Y зависимы. ЗАДАЧИ 9.1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 10%, а вследствие дефекта B – 20%. Годная продукция составляет 75%. Пусть X – индикатор дефекта А, а Y – индикатор дефекта B. Составить матрицу вероятностей двухмерной случайной величины (X, Y). Найти одномерные ряды распределений составляющих X и Y и исследовать их зависимость. Ответ: Одномерные ряды составляющих X и Y: xi x1 = 0 x2 = 1 yj y1 = 0 y2 = 1 pi 0,9 0,1 pj 0,8 0,2 Величины X и Y зависимы. 9.2. Двухмерная случайная величина (X, Y) имеет закон распределения с плотностью ( ), ( , ) , ( , ) 0, ( , ) a x y x y D f x y x y D + ∈ ⎧ = ⎨ ∉ ⎩ Область D – квадрат, ограниченный прямыми x = 0; x = 3; y = 0; y = 3. X\Y y1 = 0 y2 = 1 x1 = 0 0,75 0,15 x2 = 1 0,05 0,05 Требуется определить коэффициент a; вычислить вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1, y = 2. Ответ: a = 1, P = 1/9. 9.3. Двухмерная случайная величина распределена по закону 2 2 2 2 ( , ) /(1 ), , f x y a x y x y x y = + + + −∞< <∞ −∞< <∞ Найти коэффициент а, установить зависимость случайных величин X и Y. Ответ: a = 1/ π 2 , независимы. 9.4. Положение случайной точки (X, Y) равновозможное в любом месте круга радиусом R, центр которого совпадает с началом координат. Определить плотность распределения и функцию распределения каждой составляющей X и Y. Выяснить зависимость X и Y. 2 2 2 2 2 2 2 1/ , ( , ) 0, R x y R f x y x y R π ⎧ + ≤ ⎪ = ⎨ + > ⎪⎩ Ответ: 2 2 1 2 2 ( ) f x R x R π = − , 2 2 2 2 2 ( ) f y R y R π = − , X и Y независимы. 10. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Рассмотрим основные числовые характеристики двухмерной случайной величины (X, Y). Смешанный начальный момент порядка k+s равен математическому ожиданию произведения X k и Y s : , 1 1 , для ДСВ, ( , ) M[ ] ( , ) для НСВ. n m k s i j i j i j k S k s k s x y p x y X Y x y f x y dxdy α = = ∞ ∞ −∞ −∞ ⎧ ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎪ ⎪⎩ ∑∑ ∫ ∫ (10.1) Смешанный центральный момент порядка k+s равен математическому ожиданию произведения центрированных величин X k ° и k Y° : , 1 1 , ( ) ( ) для ДСВ, ( , ) M[( ) ( ) ] ( ) ( ) ( , ) для НСВ, n m k s i x j y i j i j k s k s X Y k s x y x m y m p x y X m Y m x m y m f x y dxdy µ = = ∞ ∞ −∞ −∞ ⎧ − − ⎪ ⎪ = − − = ⎨ ⎪ − − ⎪⎩ ∑∑ ∫ ∫ (10.2) где p ij – элементы матрицы вероятностей дискретной величины (X, Y); f(x, y) – совместная плотность вероятности непрерывной величины (X, Y). Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты: 1,0 0,1 ( , ), ( , ) X Y m x y m x y α α = = ; (10.3) 2 2 2,0 2,0 0,2 0,2 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) X X Y Y D x y x y m D x y x y m µ α µ α = = − = = − . (10.4) Корреляционный момент K XY характеризует степень тесноты линейной зависимости величин X и Y и рассеивание относительно точки (m X , m Y ): 1,1 1,1 ( , ) ( , ) XY X Y K x y x y m m µ α = = − . (10.5) Коэффициент корреляции R XY характеризует степень линейной зависимости величин XY XY XY X Y X Y K K R D D σ σ = = . (10.6) Для любых случайных величин | R XY | ≤ 1. Если величины X и Y независимы, то R XY = 0. Пример 10.1. Определить коэффициент корреляции величин X и Y (пример 9.1). Решение. Определим математические ожидания величин X и Y по формуле (10.3): 3 2 3 1 1 1 1 0, 3 0 0, 5 1 0, 2 0,1 X i ij i i i j i m x p x p = = = = = = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ∑ ∑ ∑ , 3 2 2 1 1 1 0 0, 3 1 0, 7 0, 7 Y j ij j j i j i m y p y p = = = = = = ⋅ + ⋅ = ∑ ∑ ∑ Определим 1,1 ( , ) x y α по формуле (10.1): 3 2 1,1 , 1 1 ( , ) 1 1 0,2 1 1 0,2 0 i j i j i j x y x y p α = = = = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ∑∑ Найдем значение K XY по формуле (10.5) 1,1 ( , ) 0 ( 0,1 0, 7) 0, 07 X Y X Y K x y m m α = − = − − ⋅ = Определим дисперсии величин X и Y по формуле (10.4): 3 2 2 2 2,0 1 ( , ) 1 0, 3 0 0, 5 1 0, 2 0, 01 0, 49 X X i i X i D x y m x p m α = = − = − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ∑ , 2 2 2 2 0,2 1 ( , ) 0 0, 3 1 0, 7 0, 49 0, 21 Y Y i i Y j D x y m y p m α = = − = − = ⋅ + ⋅ − = ∑ Значение коэффициента корреляции R XY вычислим по формуле (10.6): 0,07 0,22 0,21 0,49 XY XY X Y K R D D = = ≈ ⋅ Пример 10.2. Определить коэффициент корреляции величин X и Y (пример 9.2). Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X по формулам (10.3) и (10.4) соответственно: m X = α 1,0 (x,y) = 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0 1 1 1 4 (4 ) 8 8 8 3 x x x dxdy xdx dy x x dx − − = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , D x = µ 2,0 (x,y)= 4 4 4 2 2 0 0 0 1 1 4 8 ( ) ( ) (4 ) 8 8 3 9 x x x m dxdy x x dx − − = − − = ∫ ∫ ∫ Так как область D симметрична относительно осей координат, то величины X и Y будут иметь одинаковые числовые характеристики: m x = m y = 4 / 3; D x = D y = 8 / 9. Определим корреляционный момент K xy по формуле (10.5): 4 4 4 4 4 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 4 1 4 4 (4 ) 8 8 3 16 3 9 x x xy x y K xy dxdy m m xdx ydy x x dx − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⋅ = − = − − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Коэффициент корреляции величин X и Y будет равен (10.6): 1 2 xy xy x y K r D D = = − . ЗАДАЧИ 10.1. Число X выбирается случайным образом из множества (1, 2, 3). Затем из того же множества выбирается наудачу число Y, равное или большее X. Найти коэффициент корреляции X и Y. Ответ: R XY = 0,594. 10.2. Плотность вероятности двухмерной случайной величины (X, Y) равна , [0,1], [0,1]; ( , ) 0, [0,1] или [0, 1]. x y x y f x y x y + ∈ ∈ ⎧ = ⎨ ∉ ∉ ⎩ Найти коэффициент корреляции X и Y. Ответ: RXY = 0,091. 10.3. Плотность вероятности двухмерной случайной величины (X, Y) равна 4 , [0, 1], [0, 1]; ( , ) 0, [0, 1] или [0, 1]. xy x y f x y x y ∈ ∈ ⎧ = ⎨ ∉ ∉ ⎩ Найти коэффициент корреляции X и Y. Ответ: R XY = 0. 11. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Рассмотрим функцию двух случайных аргументов 1 2 = ( , ) Y X X ϕ . Функция распределения G(y) величины Y определяется по формуле G y f x x dx dx D ( ) ( , ) ( ) = ∫∫ 1 2 1 2 , (11.1) где f(x1, x2) – совместная плотность вероятности величин X1 и X2. В формуле (11.1) интегрирование производится по области D, которая определяется из условия 1 2 ( , ) X X y ϕ < В случае, когда 1 2 Y X X = + , функция распределения 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( , ) ( , ) y x y x G y f x x dx dx f x x dx dx − − ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∫ ∫ , (11.2) а плотность вероятности g y f x y x dx f y x x dx ( ) ( , ) ( , ) = − = − −∞ ∞ −∞ ∞ ∫ ∫ 1 1 1 2 2 2 . (11.3) Если величины X 1 и X 2 независимы, то g y f x f y x dx f y x f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − −∞ ∞ −∞ ∞ ∫ ∫ 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 . (11.4) Числовые характеристики функции 1 2 = ( , ) Y X X ϕ двух случайных непрерывных величин X 1 и X 2 , имеющих совместную плотность 1 2 ( , ) f x x , определяются по формулам: – начальные моменты 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( , ) k k y x x f x x dx dx α ϕ ∞ ∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ ; (11.5) – центральные моменты 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ( , ) ) ( , ) k k y y x x m f x x dx dx µ ϕ ∞ ∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ . (11.6) В случае, когда закон распределения аргументов X 1 и X 2 неизвестен, а известны только их числовые характеристики m 1 , m 2 , D 1 , D 2 , K 12 – математическое ожидание m Y и дисперсия D Y величины Y = X 1 + X 2 могут быть определены по формулам: 1 2 1 2 M[ ] Y m X X m m = + = + ; (11.7) 1 2 1 2 12 D[ ] 2 Y D X X D D K = + = + + (11.8) Если Y = X 1 X 2 , то математическое ожидание Y равно 1 2 1 2 12 M[ ]= Y m X X m m K = + (11.9) В случае независимых сомножителей X 1 и X 2 дисперсия Y = X 1 X 2 может быть определена по формуле 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 D[ ]= Y D X X D D m D m D = + + . (11.10) Если 0 1 n i i i Y a a X = = + ∑ , i a – не случайные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия Y равны 0 0 1 1 M n n Y i i i i i i m a a X a a m = = ⎡ ⎤ = + = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ; (11.11) 2 0 1 1 1 1 D 2 n n n n Y i i i i i j ij i i i j i D a a X a D a a K = = = = + ⎡ ⎤ = + = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ . (11.12) Пусть 1 n i i Y X = = ∏ , X i – независимые случайные величины, значит, математическое ожидание и дисперсия Y равны 1 1 n n Y i i i i m M X m = = ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∏ ∏ ; (11.13) 2 2 1 1 1 ( ) n n n Y i i i i i i i D D X D m m = = = ⎡ ⎤ = = + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∏ ∏ ∏ . (11.14) Пример 11.1. Устройство состоит из двух блоков – основного и резервного. При отказе основного блока автоматически включается резервный блок. Определить вероятность безотказной работы устройства в течение 10 ч, если время безотказной работы блоков случайно и распределено по показательному закону, а среднее время наработки на отказ – 10 ч. Решение. Определим закон распределения вероятностей времени Y безотказной работы устройства: 1 2 Y X X = + , где X 1 , X 2 – время безотказной работы блоков. Величины X1 и X2 независимы и имеют одинаковую плотность вероятностей: 1 2 , 0; ( ) ( ) 0 , 0. x e x f x f x x λ λ − ⎧ ≥ = = ⎨ < ⎩ Вычислим величину λ. Для показательного закона 1/ = 0,1 X m λ = . Определим плотность вероятности Y по формуле (11.4): 1 1 ( ) 2 1 0 ( ) , 0. y x y x y g y e e dx ye y λ λ λ λ λ λ − − − − = ⋅ = > ∫ Вычислим вероятность того, что Y > 10: 2 10 10 ( 10) ( ) 0, 736. y p Y g y dy ye dy λ λ ∞ ∞ − ≥ = = ≈ ∫ ∫ Пример 11.2. Величины X1, X2, X3 независимы и имеют следующие числовые характеристики: m 1 = 2; m 2 = –3; m 3 = 0; D 1 = 4; D 2 = 13; D 3 = 9. Определить коэффициент корреляции Y Z R величин Y и Z: Y = 3X 1 – X 2 , Z = X 3 – 2X 1 Решение. Вычислим математические ожидания Y и Z по формуле (11.11): m Y = 3 ⋅m 1 – 1 ⋅m 2 = 9, m Z = m 3 – 2 ⋅m 1 = –4. Вычислим дисперсии D Y и D Z по формуле (11.12), учитывая, что величины X i независимы и K ij = 0: D Y = (3)2 ⋅D1 + (–1)2⋅D2 = 49, D Z = D3 + (–2)2D1 = 25. Рассчитаем корреляционный момент K YZ по формуле (10.5). Для этого определим 1,1 ( , ) y z α : 1,1 ( , ) y z α = M [YZ] = M[(3X1 – X2)(X3 – 2X1)] = M[3X1X3 – 6 2 1 X – – X2X3 + 2X2X1] = 3m1m3 – 6 2 1 M[ ] X – m2m3 + 2m2m1 = –6 2 1 M[ ] X – 12. Так как D1 = 2 1 M[ ] X – 2 1 m , то 2 1 M[ ] X = D1 + 2 1 m = 8. Таким образом, 1,1 ( , ) y z α = –60. Тогда K YZ = 1,1 ( , ) y z α – m Y m Z = –60 – 9(–4) = –24. Величину Y Z R определим по формуле (10.6): 2 4 3 5 Y Z Y Z y Z K R D D = = − |