ПСК. Теория вероятностей и математическая статистика
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
коэффициента корреляции * * 0 0 ( ) ( ) XY XY K R S x S y = (16.2) Доверительный интервал с надежностью γ для коэффициента корреляции * XY R и случая двухмерного нормального распределения 2 2 2 2 1 1 1 1 a b XY a b e e R e e − − < < + + , (16.3) где * * 1 0, 5 ln 1 3 XY XY z R a R n γ ⎛ ⎞ + = ⋅ − ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ; * * 1 0, 5 ln 1 3 X Y X Y z R b R n γ ⎛ ⎞ + = ⋅ + ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ; arg ( ) 2 z γ γ = Φ – значение аргумента функции Лапласа Ф( zγ ) = 2 γ (см. приложение). Алгоритм проверки гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости следующий (предполагается, что двухмерная случайная величина ( X , Y ) распределена по нормальному закону). 1. Формулируется гипотеза: H 0: 0 XY R = ; H 1: 0 XY R ≠ Здесь XY R – теоретический коэффициент корреляции. 2. Вычисляется оценка коэффициента корреляции * XY R по формуле (16.2). 3. Определяется значение критерия ( ) * 2 * 2 1 X Y X Y R n t R − = − , (16.4) который распределен по закону Стьюдента с ( n – 2) степенями свободы, если гипотеза H 0 верна. 4. По заданному уровню значимости α вычисляется доверительная вероятность γ = 1 – α и из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение , 2 n t γ − 5. Если , 2 n t t γ − > , то гипотеза H 0 отклоняется, а следовательно, величины X, Y коррелированы. В противном случае гипотеза H 0 принимается. Регрессией случайной величины Y на X называется условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что X = x : / M[ / ] Y x m Y X x = = Регрессия Y на X устанавливает зависимость среднего значения величины Y от величины X . Если X и Y независимы, то / Y x Y m m const = = Если величины X,Y распределены по нормальному закону, то регрессия является линейной: / 0 1 Y x m a a x = + Оценки параметров 0 ˆ a и 1 ˆ a по методу наименьших квадратов вычисляются по следующим формулам: * 1 2 0 ˆ , ( ) X Y K a S x = (16.5) 0 1 ˆ ˆ a y a x = − ⋅ (16.6) где y x , – оценки математического ожидания величин X и Y ; ) ( 2 0 x S – оценка дисперсии величины X ; * XY K – оценки корреляционного момента величин X и Y Для визуальной проверки правильности вычисления величин 0 1 ˆ ˆ , a a необходимо построить диаграмму рассеивания и график 0 1 ˆ ˆ ( ) y x a a x = + (рис. 16.1). x x i y i y(x) _ Рис. 16.1 Если оценки параметров a 0, a 1 рассчитаны без грубых ошибок, то сумма квадратов отклонений всех точек ( xi , yi ) от прямой 0 1 ˆ ˆ ( ) y x a a x = + должна быть минимально возможной. Пример 16.1. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, * 0, 64 XY R = − . Найти 90%-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции X Y R Решение . Из таблицы Лапласа выбирается значение 0,9 1, 645 z = . Тогда 1 1 0, 64 1, 645 ln 1, 380 2 1 0, 64 7 a − ⎛ ⎞ = − = − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ , b = –0,136. Доверительный интервал вычисляем по формуле (16.3). 2 ( 1,38) 2 ( 0,136) 2 ( 1,38) 2 ( 0,136) 1 1 1 1 XY e e R e e ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − − < < + + , т.е. –0,881 < XY R < –0,135. Пример 16.2. Проверить гипотезуоб отсутствии корреляционной зависимости при следующих данных: * 0, 2, XY R = n = 20; α = 0,05. Предполагается также, что двухмерный закон распределения – нормальный. Решение . Вначале вычислим значение критерия t по формуле (16.4) 2 0, 2 18 0, 866. 1 0, 2 t ⋅ = = − Из таблицы Стьюдента выбираем критическое значение ; 2 1 ; 2 0,95;18 2,10. n n t t t γ α − − − = = = Так как 2 ,1 0 , t < то гипотеза H0 принимается, потому что нет оснований ее отклонить. ЗАДАЧИ 16.1. Построить доверительный интервал для коэффициента корреляции двухмерной нормально распределенной совокупности по следующим данным: * 0,14 XY R = , n = 300, γ = 0,95. Ответ: (–0,03; 0,25). В задачах 16.2 − 16.3 проверить гипотезу о некоррелированности случайных величин X и Y , предполагая, что двухмерный закон распределения нормальный. 16.2. * 0,5; 20; 0,05. XY R n α = = = 16.3. * 0,1; 5; 0,01. XY R n α = = = В задачах 16.4 − 16.5 найти уравнение прямой регрессии ( ) y x для следующих экспериментальных данных: 16.4. X 1 4 9 16 25 Y 0,1 3 8,1 14,9 23,9 Ответ: ( ) 0,922 0,909. y x x = − 16.5. X 1 2 3 4 5 6 Y 2 4,9 7,9 11,1 14,1 17 Ответ: ( ) 3, 023 1, 08. y x x = − ЛИТЕРАТУРА 1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988. – 416 с. 2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: – Учебник. 5-е изд., стереотип. – М.: Высш. шк., 1999. – 576 с. 3. Герасимович А.И. Математическая статистика. – Мн.: Выш. шк., 1983. – 279 с. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. шк., 1977. – 479 с. 5. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000. – 384 с. 6. Аксенчик А.В., Волковец А.И., Корбут А.А., Коренская И.Н. Методические указания и контрольные задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей БГУИР заочной формы обучения. – Мн.: БГУИР, 2002. – 60с. ПРИЛОЖЕНИЕ Значения функции 2 1 ( ) exp 2 2 x x ϕ π ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3987 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2089 2066 2943 2920 0,8 2897 2874 2950 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 6119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0038 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 Значения функции Лапласа 2 0 1 ( ) exp 2 2 x x x dx π ⎛ ⎞ Φ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 0004 0080 0120 0159 0199 0239 0279 0319 0359 0,1 0398 0438 0478 0517 0556 0596 0636 0675 0714 0753 0,2 0792 0832 0871 0909 0948 0987 1025 1064 1103 1141 0,3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0,4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0,5 1915 1949 1985 2019 2054 2088 2126 2156 2190 2224 0,6 2257 2291 2324 2356 2389 2421 2453 2485 2517 2549 0,7 2580 2611 2642 2673 2704 2734 2764 2793 2823 2852 0,8 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3105 3123 0,9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3364 3389 1,0 0,3413 3437 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1,1 3643 3665 3686 3707 3729 3749 3770 3790 3810 3830 1,2 3849 3869 3888 3906 3925 3943 3961 3980 3997 4015 1,3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1,4 4192 4207 4222 4236 4250 4265 4278 4292 4306 4319 1,5 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4430 4441 1,6 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4544 1,7 4554 4563 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1,8 4641 4648 4656 4664 4671 4678 4685 4693 4699 4706 1,9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4755 4761 4767 2,0 0,4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817 2,1 4821 4825 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857 2,2 4861 4864 4868 4871 4874 4878 4881 4884 4887 4890 2,3 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916 2,4 4918 4920 4922 4924 4927 4929 4930 4932 4934 4936 2,5 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952 2,6 4953 4954 4956 4957 4958 4959 4961 4962 4963 4964 2,7 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974 2,8 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4979 4980 4981 2,9 4981 4982 4982 4983 4984 4984 4985 4985 4986 4986 3,0 0,49865 3,1 0,49903 3,2 0,49931 3,3 0,49952 3,4 0,49966 3,5 0,49977 3,6 0,49984 3,7 0,49989 3,8 0,49993 3,9 0,49995 4,0 0,499968 5,0 0,49999997 Таблица распределения Стьюдента ∫ − = k t k t t dx x f , , ) ( γ γ γ γ k 0,90 0,95 0,98 0,99 1 6,31 12,71 31,8 63,7 2 2,92 4,30 6,96 9,92 3 2,35 3,18 4,54 5,84 4 2,13 2,77 3,75 4,60 5 2,02 2,57 3,36 4,03 6 1,943 2,45 3,14 4,71 7 1,895 2,36 3,00 3,50 8 1,860 2,31 2,90 3,36 9 1,833 2,26 2,82 3,25 10 1,812 2,23 2,76 3,17 12 1,782 2,18 2,68 3,06 14 1,761 2,14 2,62 2,98 16 1,746 2,12 2,58 2,92 18 1,734 2,10 2,55 2,88 20 1,725 2,09 2,53 2,84 22 1,717 2,07 2,51 2,82 24 1,711 2,06 2,49 2,80 30 1,697 2,04 2,46 2,75 40 1,684 2,02 2,42 2,70 60 1,671 2,00 2,39 2,66 120 1,658 1,980 2,36 2,62 ∞ 1,645 1,960 2,33 2,58 Таблица распределения 2 χ 2 2 , ( ) k p α χ χ α > = α k 0,01 0,02 0,05 0,95 0,98 0,99 1 6,64 5,41 3,84 0,004 0,001 0,000 2 9,21 7,82 5,99 0,103 0,040 0,020 3 11,34 9,84 7,82 0,352 0,185 0,115 4 13,28 11,67 9,49 0,711 0,429 0,297 5 15,09 13,39 11,07 1,145 0,752 0,554 6 16,81 15,03 12,59 1,635 1,134 0,872 7 18,48 16,62 14,07 2,17 1,564 1,239 8 20,10 18,17 15,51 2,73 2,03 1,646 9 21,07 19,68 16,92 3,32 2,53 2,09 10 23,20 21,2 18,31 3,94 3,06 2,56 12 26,2 24,1 21,0 5,23 4,18 3,57 14 29,1 26,9 23,7 6,57 5,37 4,66 16 32,0 29,6 26,3 7,96 6,61 5,81 18 34,8 32,3 28,9 9,39 7,91 7,02 20 37,6 35,0 31,4 10,85 9,24 8,26 22 40,3 37,7 33,9 12,34 10,60 9,54 24 43,0 40,3 36,4 13,85 11,99 10,86 26 45,6 42,9 38,9 15,38 13,41 12,20 28 48,3 45,4 41,3 16,93 14,85 13,56 30 50,9 48,0 43,8 18,49 16,31 14,95 f (x) α χ χ2 2 α, k Таблица распределения Колмогорова (0 ) p γ λ λ γ ≤ < = λγ γ 0,50 0,0361 0,54 0,0675 0,58 0,1104 0,62 0,1632 0,66 0,2236 0,70 0,2888 0,74 0,3560 0,78 0,4230 0,82 0,4880 0,86 0,5497 0,90 0,6073 0,94 0,6601 0,98 0,7079 1,02 0,7500 1,06 0,7889 1,10 0,8223 1,14 0,8514 1,18 0,8765 1,22 0,8981 1,26 0,9164 1,30 0,9319 1,34 0,9449 1,38 0,9557 1,42 0,9646 1,46 0,9718 1,50 0,9778 1,54 0,9826 1,58 0,9864 1,62 0,9895 1,66 0,9918 1,70 0,9938 1,74 0,9953 1,78 0,9965 1,82 0,9973 1,86 0,9980 1,90 0,9985 1,94 0,9989 1,98 0,9992 f (x) λ γ γ λ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Вариант 1 1.1. Телеграфное сообщение состоит из символов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщений точка и 1/3 сообщений тире. Известно, что среди передаваемых сигналов точка и тире встречаются в соотношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принято тире. 1.2. Имеется случайная величина Х, принимающая значения 1 2 3 1, 2, 3 x x x = = = Известно, что 1, 6; 0, 44 X X m D = = . Найти ряд распределения вероятностей случайной величины Х. 1.3. В нормально распределенной случайной совокупности 15% значений X меньше 12 и 40% значений больше 16,2. Найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение данного распределения. Вариант 2 2.1. Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятности безотказной работы в течение времени Т для этих блоков соответственно равны 0,4 и 0,5. Прибор испытывался в течение времени Т и вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал первый блок. 2.2. Имеется случайная величина Х, принимающая значения 1 2 3 0, 1, 2 x x x = = = Известно, что 2 1, 3; ( ) 2,1 X m x α = = . Найти ряд распределения вероятностей случайной величины Х. 2.3. Вероятность того, что случайная величина с нормальным распределением примет значение не большее 1 составляет 0,5. Кроме того, вероятность превышения ею уровня 5,0 составляет 0,0228. Определить для этой случайной величины: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) вероятность того, что она примет значение меньшее 3,0. Вариант 3 3.1. Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятности безотказной работы в течение времени Т для этих блоков соответственно равны 0,4 и 0,5. Прибор испытывался в течение времени Т и вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали оба блока. 3.2. Имеется случайная величина Х, принимающая значения 1 2 3 1, 0, 1 x x x = − = = Известно, что 0,1; 0,89 X X m D = = . Найти ряд распределения вероятностей случайной величины Х. 3.3. СВ X распределена нормально с m X = 12,5. Вероятность попадания СВ X в интервал ]10, 15[ равна 0,2. Чему равна вероятность попадания в интервал ]35, 40[? Вариант 4 4.1. По линии связи передается кодированный с помощью букв А, В, С текст. Вероятности передачи отдельных букв таковы: ( ) 0, 5; ( ) 0, 3; ( ) 0, 2 p A p B p C = = = Вероятности искажения при передаче отдельных букв равны соответственно 0,01; 0,03; 0,02. Установлено, что текст из двух букв принят без искажений. Чему равна вероятностьтого, что передавался сигнал АВ? 4.2. Имеется случайная величина Х, принимающая значения 1 2 3 2, 1, 0 x x x = − = − = . Известно, что 2 1, 4; ( ) 2, 4 X m x α = − = . Найти ряд распределения вероятностей случайной величины Х. 4.3. Имеется случайная величина X, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением σ. Требуется приблизительно заменить нормальный закон равномерным так, чтобы сохранились неизменными основные характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсия. Св. план 2003, резерв Учебное издание Волковец Александр Иванович, Гуринович Алевтина Борисовна ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практикум для студентов всех специальностей БГУИР дневной формы обучения Редактор Т.Н. Крюкова Корректор Е.Н. Батурчик ________________________________________________________________________________ Подписано в печать 22.07.2003. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Гарнитура «Times». Усл. печ. л. 4,07. Уч.-изд. л. 3,8. Тираж 300 экз. Заказ 211. ________________________________________________________________________________ Издатель и полиграфическое исполнение: Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники». Лицензия ЛП № 156 от 30.12.2002. Лицензия ЛВ № 509 от 03.08.2001. 220013, Минск, П. Бровки, 6. |