ПСК. Теория вероятностей и математическая статистика

• Название: Теория вероятностей и математическая статистика
• Анкор: ПСК.pdf
• Дата: 22.07.2018
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: ПСК.pdf
• Тип: Практикум; #21835
• страница: 4 из 8

7. ТИПОВЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Дискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 0, 1, …
,
∞ с вероятностями
(
)
i
i
p X
i
p
q p
= =
=
,
(7.1) где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.
Числовые характеристики геометрического распределения:
2
/
,
/
X
X
m
q
p D
q
p
=
=
Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1,
… ,
n со следующими вероятностями:
!
(
)
!(
)!
i n i
i
n
p X i
p
p q
i n i
−
= =
=
−
,
(7.2) где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p.
Числовые характеристики биномиального распределения:
,
X
X
m
n p D
n q p
=
=
Дискретная СВ Х имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, …
,
∞ со следующими вероятностями:
(
)
!
i
a
i
a
p X i
p
e
i
−
= =
=
,
(7.3) где a – параметр распределения (a > 0).
Числовые характеристики пуассоновской СВ:
,
X
X
m
a D
a
=
=
Непрерывная СВ Х имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале
[а; b] постоянна, т.е. если все значения X в этом интервале равновероятны:
0,
,
1
( )
,
,
0,
x
a
f x
a
x
b
b
a
x
b
<
⎧
⎪⎪
=
≤
≤
⎨ −
⎪
>
⎪⎩
0 ,
,
( )
,
,
1,
x
a
x
a
F x
a
x
b
b
a
x
b
<
⎧
⎪
−
⎪
=
≤
≤
⎨
−
⎪
>
⎪⎩
(7.4)
Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:
2
(
)
,
2 1 2
X
X
a
b
b
a
m
D
+
−
=
=
Непрерывная СВ T, принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны
,
0 ,
( )
0 ,
0 ,
t
e
t
f t
t
λ
λ
−
⎧
≥
= ⎨
<
⎩
1
,
0,
( )
0,
0,
t
e
t
F t
t
λ
−
⎧ −
≥
= ⎨
<
⎩
(7.5) где
λ
– параметр распределения (
λ
> 0).

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:
2 1 / ,
1 /
T
T
m
D
λ
λ
=
=
Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны
f x
x m
( )
exp
(
)
=
−
−
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1 2
2 2
2
σ π
σ
,
( )
0 .5
,
x
m
F x
σ
−
⎛
⎞
=
+ Φ ⎜
⎟
⎝
⎠
(7.6) где m, σ – параметры распределения ( σ >0),
2 2
0 1
( )
2
x
t
x
e dt
π
−
Φ
=
∫
— функция Лапласа.
Значения функции Лапласа приведены в приложении. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что
Φ(–x) = –Φ(x),
Φ(0) = 0, Φ(
∞
) = 0,5.
Числовые характеристики нормальной СВ:
2
,
X
X
m
m D
σ
=
=
,
2
[ / 2 ]
0
( / 2)
( )
!
(
2 )! !
k
i
i
I k
k
i
m
x
k
k
i i
σ
α
−
=
=
−
∑
,
/ 2 2
0 ,
н е ч е т н о е ,
( )
!
,
ч е т н о е.
( / 2 ) !
2
k
k
k
x
k
k
k
µ
σ
−
⎧
⎪
= ⎨
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎩
Пример 7.1. Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.
Решение. Так как среднее время безотказной работы, т.е. математическое ожидание, равно 100 ч, то параметр λ экспоненциального закона будет равен
1 /
1 / 100 0, 01
X
m
λ
=
=
=
. Искомая вероятность
1
(
)
(100
) 1
(100)
0,368.
X
p X
m
p
X
F
e
−
>
=
<
< ∞ = −
=
≈
Пример 7.2. Для замера напряжения используются специальные датчики.
Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.
Решение. Из условия задачи следует, что p(-0,2m равно 0
(систематические ошибки отсутствуют), то
р{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.
По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откуда
σ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.

ЗАДАЧИ
7.1. По каналу связи пересылается пакет информации до тех пор, пока он не будет передан без ошибок. Вероятность искажения пакета равна 0,1, найти среднее количество попыток передать пакет.
Ответ: 1,11.
7.2. При работе прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Количество неисправностей, возникающих за определенный промежуток времени, подчиняется закону Пуассона. Среднее число неисправностей за сутки равно двум. Определить вероятность того, что: а) за двое суток не будет ни одной неисправности; б) в течение суток возникнет хотя бы одна неисправность; в) за неделю работы прибора возникнет не более трех неисправностей.
Ответ: а) 0,018; б) 0,865; в) 0,004.
7.3. Шкала рычажных весов имеет цену деления 1 г. При измерении массы отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка определения массы: а) не превысит величины среднего квадратического отклонения возможных ошибок определения массы; б) будет заключена между значениями и 2
X
X
σ
σ
.
Ответ: а)
1 3
; б)
1 1
3
−
7.4. Среднее время работы электронного модуля равно 700 ч. Определить время безотказной работы модуля с надежностью 0,8.
Ответ: 140 ч.
7.5.
Сообщение передается последовательностью амплитудно- модулированных импульсов с заданным шагом квантования ∆ (∆ – наименьшая разность амплитуд импульсов). На сообщение накладываются шумы, распределенные по нормальному закону N(0, σ). Если мгновенное значение шума превышает половину шага квантования, то при передаче сообщения возникает ошибка. Определить, при каком минимально допустимом шаге квантования ∆ вероятность ошибки из-за шумов не превысит 0,1.
Ответ: 3,4 σ.
7.6. СВ X – ошибка измерительного прибора – распределена нормально с дисперсией 16 мВ
2
. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Вычислить вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка: а) превысит по модулю 6 мВ не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в интервале
(0,5; 3,5) мВ.
Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА
Рассмотрим функцию одного случайного аргумента Y =
ϕ
(X). Если X – непрерывная случайная величина, то плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле
1
( )
( ( ))
( )
k
j
j
j
g y
f
y
y
ψ
ψ
=
′
=
⋅
∑
,
(8.1) где f(х) – плотность вероятности величины X;
ψ
j
(y) – функции, обратные функции
ϕ(x);
k – число обратных функций для данного y.
Весь диапазон значений Y необходимо разбить на интервалы, в которых число k обратных функций постоянно, и определить вид g(y) по формуле (8.1) для каждого интервала.
Если X – дискретная случайная величина, принимающая значения x
i
, то величина Y будет принимать дискретные значения y
i
=
ϕ(x
i
) с вероятностями
p(y
i
) = p(x
i
).
Числовые характеристики функции Y =
ϕ(X) одного случайного аргумента
X определяются по формулам:
– начальные моменты
1
( )
для Д С В
( )
M [
]
M [
( )]
( ) ( )
для Н С В
n
k
i
i
i
k
k
k
k
x p
y
Y
x
x f x dx
ϕ
α
ϕ
ϕ
=
∞
−∞
⎧
⎪
⎪
=
=
= ⎨
⎪
⎪⎩
∑
∫
; (8.2)
– математическое ожидание
1
M [ ]
M [ ( )]
( )
y
m
Y
x
x
ϕ
α
=
=
=
; (8.3)
– центральные моменты
1
( ( )
)
для ДСВ
( )
M[(
) ]
( ( )
)
( )
для НСВ
n
k
i
y
i
i
k
k
Y
k
y
x
m
p
y
Y
m
x
m
f x dx
ϕ
µ
ϕ
=
∞
−∞
⎧
−
⎪
⎪
=
−
= ⎨
⎪
−
⎪⎩
∑
∫
;
(8.4)
– дисперсия
2 2
2 2
( ) M[(
) ]
( )
Y
Y
Y
D
y
Y m
y m
µ
α
=
=
−
=
−
(8.5)
Пример 8.1. Определить плотность вероятности величины Y = X
2
, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале
[–1, 2]
Решение. Так как Х равномерно распределена в интервале
[–1, 2], то ее плотность вероятности равна (7.4):
1/ 3,
1 2,
( )
0,
1,
2.
x
f x
x
x
− ≤ ≤
⎧
= ⎨
< −
>
⎩

Построим график величины Y = X
2
для x в интервале
[–1, 2] и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для
Y (рис. 8.1):
[–
∞, 0[ k = 0,
[0, 1] k = 2,
]1, 4] k = 1,
]4, +
∞] k = 0.
Так как на интервалах [–
∞, 0[ и ]4, +∞] обратная функция не существует, то для этих интервалов g(y) = 0.
В интервале [0, 1] две обратные функции:
ψ
1
(y) = + y и
ψ
2
(y) = – y .
По формуле (8.1) получим
1 1
2 2
( )
( ( ))
( )
(
( ))
( )
1 1
1
(
)
(
)
2 2
3
x
x
x
x
g y
f
y
y
f
y
y
f
y
f
y
y
y
y
ψ
ψ
ψ
ψ
′
′
=
⋅
+
⋅
=
=
⋅
+
−
⋅
=
В интервале ]1, 4] одна обратная функция
ψ
1
(y) = + y , следовательно,
1 1
1 1
( )
( ( ))
( )
(
)
2 6
x
x
g y
f
y
y
f
y
y
y
ψ
ψ
′
=
⋅
=
⋅
=
Таким образом, плотность вероятности величины Y равна
Пример 8.2 Случайная величина X равномерно распределена от –1 до +1.
Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X
2
Решение. Плотность вероятности СВ X равна
0,5,
1 1,
( )
0 ,
1,
1.
x
f x
x
x
− ≤ ≤
⎧
= ⎨
< −
>
⎩
Вычислим математическое ожидание Y по формуле (8.3):
1 2
2 1
1
M [
]
0, 5 3
y
m
X
x
dx
−
=
=
⋅
=
∫
Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (8.5):
1 2 2 2
2 2 2
1 4
M[(
) ]
( ) 0,5 45
y
Y
y
D
X
m
x
dx m
−
=
−
=
−
=
∫
Рис. 8.1 0,
0,
1
,
0 1,
3
( )
1
,
1 4,
6 0,
4.
y
y
y
g y
y
y
y
<
⎧
⎪
⎪
≤ ≤
⎪⎪
= ⎨
⎪
< ≤
⎪
⎪
>
⎪⎩

ЗАДАЧИ
8.1. Определить плотность вероятности величины Y = lnX, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале (1, 3).
Ответ:
0, 5
, 0
ln 3,
( )
0 ,
0,
ln 3 .
y
e
y
g y
y
y
⎧
≤
<
= ⎨
<
>
⎩
8.2. Определить плотность вероятности величины Y = |X|, если X – случайная равномерно распределенная величина со следующими характеристиками mx = 1, Dx = 1, и вычислить вероятность того, что р{1 ≤ Y < 2}.
Ответ:
0,
0,
2, 73,
1
( )
, 0 0, 73,
3 1
, 0, 73 2, 73.
2 3
y
y
g y
y
y
⎧
⎪
<
>
⎪
⎪
=
≤ <
⎨
⎪
⎪
≤ ≤
⎪
⎩
р{1 ≤ Y < 2} = 0,445.
8.3. Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y =
⏐X – 0,2⏐.
Ответ: m
Y
= 0,34; D
Y
= 0,0574.
8.4. Точка U, изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена равномерно в пределах круга единичного радиуса. Найти дисперсию расстояния Y от точки U до центра экрана.
Ответ: D
Y
= 1/18.

9. ДВУХМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Функцией распределения
двухмерной случайной величины называвается вероятность совместного выполнения двух событий {Х < х} и {Y < у}:
(
)
( , )
{
} {
}
F x y
p X x Y y
=
< ⋅ <
(9.1)
Свойства двухмерной функции распределения:
1. 0
≤ F(x, y) ≤ 1.
2. F(x, +
∞) = F
X
(x); F(+
∞, y) = F
Y
(у); F(+
∞,+∞) = 1.
3. F(–
∞, y) = F(x, –∞ ) = F(–∞, –∞ ) = 0.
4. F(x
1
, y)
≤ F(x
2
, y), если x
2
> x
1
;
F(x, y
1
)
≤ F(x, y
2
), если y
2
> y
1
Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискретных случайных величин.
Для непрерывной двухмерной случайной величины (X, Y) существует двухмерная
плотность распределения
:
2 0
0
({
} {
}
( , )
( , ) lim
x
y
p x X x
x
y Y y
y
F x y
f x y
x y
x y
∂
∂ ∂
∆ →
∆ →
≤ < + ∆
≤ < + ∆
=
=
∆ ∆
I
. (9.2)
Свойства двухмерной плотности:
1. f(x, y)
≥ 0.
2. F x y
f x y dxdy
y
x
( , )
( , )
=
−∞
−∞
∫
∫
.
(9.3)
3.
( )
{ ( , )
} =
( , )
D
p X Y
D
f x y d xd y
∈
∫∫
(9.4)
4. Условие нормировки
f x y dxdy
( , )
=
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫
1.
(9.5)
5.
1
( )
( , )
f x
f x y dy
∞
−∞
=
∫
; f y
f x y dx
2
( )
( , )
=
−∞
∞
∫
(9.6)
Для дискретных случайных величин (X, Y) закон распределения задается
матрицей распределения
, содержащей вероятности pij появления всех возможных пар значений (xi, yj):
pij = p(X =x
i
, Y = y
j
),
(9.7) удовлетворяющих условию
1 1
1
n
m
i j
i
j
p
=
=
=
∑ ∑
(9.8)
Одномерные ряды вероятностей составляющих X, Y определяются по формулам
1
(
)
,
1, ...,
m
i
i
ij
j
p
p X
x
p i
n
=
=
=
=
=
∑
;
(9.9)

1
(
)
,
1, ...,
n
j
j
ij
i
p
p Y
y
p j
m
=
=
=
=
=
∑
(9.10)
Условным законом распределения
называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.
Условные плотности
для непрерывных составляющих X и Y определяются по формулам:
f(x / y) = f(x, y) / f
Y
(y) для f
Y
(y)
≠
0;
(9.11)
f(y / x) = f(x, y) / f
X
(x) для f
X
(x)
≠
0.
(9.12)