ПСК. Теория вероятностей и математическая статистика

• Название: Теория вероятностей и математическая статистика
• Анкор: ПСК.pdf
• Дата: 22.07.2018
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: ПСК.pdf
• Тип: Практикум; #21835
• страница: 3 из 8

Закон
распределения
случайной величины – это любая функция, таблица, правило и т.п., устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления.
Функцией распределения
случайной величины
X
называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции
x
:
F
(
x
) =
p
{
X
<
x
}.
(5.1)
Свойства функции распределения:
1.
F
(–
∞
) = 0.
2.
F
(+
∞
) = 1.
3.
F
(
x
1
)
≤
F
(
x
2
), при
x
1
<
x
2 4.
p
(
a
≤
X
<
b
) =
F
(
b
) –
F
(
a
)
.
(5.2)
Рядом распределения
дискретной СВ X называется таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значения СВ
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
(
x
i-1
<
x
i
), а в нижней – вероятности их появления
p
1
,
p
2
, ... ,
p
n
, где
p
i
=
p
{
X
=
x
i
}.
x
i
x
1
x
2
x
n
p
i
p
1
p
2
p
n
Так как события {
X
=
x
1
}, ...
, {
X
=
x
n
} несовместны и образуют полную группу, то справедливо контрольное соотношение
p
1
+
p
2
+ ... +
p
n
= 1.
(5.3)
Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:
( )
(
)
i
i
x
x
F x
p X
x
<
=
=
∑
(5.4)
Плотностью распределения
(плотностью вероятности)
f
(
x
) непрерывной случайной величины
X
называется производная ее функции распределения
0 0
{
}
(
)
( )
( )
( ) lim lim
( )
x
x
P x X
x
x
F x
x
F x
dF x
f x
F x
x
x
dx
∆ →
∆ →
≤
< + ∆
+ ∆ −
′
=
=
=
=
∆
∆
. (5.5)
Основные свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательна:
f
(
x
)
≥
0.
2. Условие нормировки:
∫
∞
∞
−
=
1
)
(
dx
x
f
(5.6)
3. Вероятность попадания случайной величины
X
на произвольный участок
[
a
,
b
[ равна

{
}
( )
b
a
p a
X
b
f x dx
≤
<
=
∫
(5.7)
4. Функция распределения
F
(
x
) случайной величины
X
выражается через ее плотность:
( )
{
}
{
}
( ) .
x
F x
p X x
p
X x
f x dx
−∞
=
< = −∞ < < =
∫
(5.8)
Пример
5.1.
По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск из пяти ракет, причем вероятность попадания в цель при каждом пуске одной ракеты равна 0,6. Число попаданий в цель – случайная величина
X
. Определить ряд распределения и функцию распределения величины
X
Решение
. Случайная величина
X
может принимать следующие значения: 0,
1, 2, 3, 4, 5. Найдем вероятность принятия величиной
X
этих значений, используя формулу Бернулли:
{
}
5 5
P
0
(1
)
0, 4 0, 01024
X
p
=
= −
=
=
,
{
}
1 4
4 5
P
1
(1
)
5 0, 6 0, 4 0, 0768
X
C p
p
= =
−
= ⋅
⋅
=
,
{
}
2 2
3 2
3 5
P
2
(1
)
10 0,6 0, 4 0, 2304
X
C p
p
=
=
−
=
⋅
⋅
=
,
{
}
3 3
2 3
2 5
P
3
(1
)
10 0,6 0, 4 0,3456
X
C p
p
=
=
−
=
⋅
⋅
=
,
{
}
4 4
4 5
P
4
(1
) 5 0,6 0, 4 0, 2592
X
C p
p
=
=
−
= ⋅
⋅
=
,
{
}
5 5
P
5 0,6 0,07776
X
p
=
=
=
=
Ряд распределения имеет вид
x
i
0 1 2 3 4 5
p
i
0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776
Функцию распределения определим по формуле (5.4) для переменных:
0
x
≤
( ) 0
F x
=
,
0 1
x
< ≤
0
( )
0,01024
F x
p
=
=
,
1 2
x
< ≤
0 1
( )
0,08704
F x
p
p
=
+
=
,
2 3
x
< ≤
0 1
2
( )
0,31744
F x
p
p
p
=
+
+
=
,
3 4
x
< ≤
0 1
2 3
( )
0,66304
F x
p
p
p
p
=
+
+
+
=
,
4 5
x
< ≤
0 1
2 3
4
( )
0,92224
F x
p
p
p
p
p
=
+
+
+
+
=
,
5
x
>
0 1
2 3
4 5
( )
1
F x
p
p
p
p
p
p
=
+
+
+
+
+
=
x
≤ 0
]0; 1]
]1; 2]
]2; 3]
]3; 4]
]4; 5]
> 5
F
(
x
) 0 0,01024 0,08704 0,31744 0,66304 0,92224 1
Пример
5.2.
Случайная величина
X
распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида
0 5
0.5 1
F(x)

cos ,
/ 2
/ 2,
( )
0,
/ 2.
c
x
x
f x
x
π
π
π
−
≤ ≤
⎧
= ⎨
>
⎩
Найти константу
c
, функцию распределения
F
(
x
) и вычислить
p
{|
x
| <
π
/4}.
Решение
. Константу
с
вычислим исходя из условия нормировки:
/ 2
/ 2
/ 2
( )
cos sin
2 1
/ 2
f x dx
c
xdx c
x
c c
c
π
π
π
π
∞
−∞
−
=
=
= + =
=
−
∫
∫
, откуда с = 0,5.
Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности: для x < –
π/2 ( )
( )
0 0
x
x
F x
f y dy
dy
−∞
−∞
=
=
=
∫
∫
, для –
π/2 ≤ x ≤ π/2
/ 2
/ 2
cos sin
1 sin
( )
0
/ 2 2
2 2
x
x
y
y
x
F x
dy
dy
π
π
π
−
−∞
−
+
=
+
=
=
−
∫
∫
, для x >
π/2
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
cos
( )
0 0
1 2
x
y
F x
dy
dy
dy
π
π
π
π
−
−∞
−
=
+
+
=
∫
∫
∫
Окончательно имеем
0,
/ 2,
( )
(1 sin ) / 2,
/ 2,
1,
/ 2.
x
F x
x
x
x
π
π
π
< −
⎧
⎪
=
+
≤
⎨
⎪
>
⎩
Вероятность p{|x| <
π/4}=
2 2
2 1
4 2
2 1
4 2
4 4
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
π
F
F
ЗАДАЧИ
5.1. На проверку поступают партии из 4 приборов. Проверка партии прекращается после обнаружения первого неисправного прибора. Вероятность того, что прибор пройдет проверку, равна 0,6. Случайная величина X – число проверенных приборов в одной партии. Определить ряд распределения, функцию распределения F(x) и построить ее график.
Ответ:
x
i
1 2 3 4
p
i
0,4 0,24 0,144 0,216
x
≤ 1
]1; 2]
]2; 3]
]3; 4]
> 4
F(x) 0 0,4 0,64 0,784 1

5.2. Случайная величина X принимает значения Х = i (i =1, 2, ...) с вероятностью p{Х = i} = 2
–i
. Найти функцию F(х) и вычислить p{3
≤ X ≤ 6}.
Ответ:
-i iF(x) =
2
∑
; p(3
≤ X ≤ 6) = 0,2344.
5.3. Из десяти транзисторов, среди которых два бракованные, случайным образом выбраны два транзистора для проверки их параметров. Определить и построить: а) ряд распределения случайного числа X бракованных транзисторов в выборке; б) функцию распределения F(x) величины X; в) вычислить p{X
≥ 0,5}, p{X < 1,5}.
Ответ: a)
x
i
0 1 2
p
i
1/45 16/45 28/45 б)
x
≤ 0
]0; 1]
]1; 2]
> 2
F(x)
0 1/45 17/45 1 в) p{X
≥ 0,5} = 44 / 45, p{X < 1,5} = 17 / 45.
5.4. Точку бросают наудачу внутрь круга радиусом R. Вероятность ее попадания в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти функцию распределения расстояния от случайной точки до центра круга.
Ответ:
2 0,
0,
( )
, 0
,
1,
x
F x
x
x
R
x
R
≤
⎧
⎪
=
< ≤
⎨
⎪
>
⎩
5.5. Для случайной величины X плотность вероятности f(x) = аx при
x
∈ [0; 2], f(x) = 0 при x < 0 и x > 2. Найти коэффициент а, функцию распределения F(x), вероятность попадания на отрезок [1; 2].
Ответ: а = 0,5;
2 0,
0,
( )
0, 2 5
, 0 2,
1,
2 .
x
F x
x
x
x
≤
⎧
⎪
=
<
≤
⎨
⎪
>
⎩
p{X
∈ [1; 2]} = 0,875.
5.6. Функция распределения случайной величины X имеет вид
F(x) = b + c arctg(x / a), –∞ < x< ∞.
Чему должны быть равны a, b и с? Найти плотность вероятности.
Ответ: a > 0, b = 0,5, с = 1/π,
2 2
( )
(
)
a
f x
x a
π
=
+

6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Математическое ожидание
характеризует среднее значение СВ и определяется по формулам:
1
для
ДСВ,
=M[ ]
( )
для
НСВ.
N
i
i
i
X
x p
m
X
x f x dx
=
∞
−∞
⎧
⋅
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⋅
⎪⎩
∑
∫
(6.1)
Свойства математического ожидания:
1. M[c] = c.
2. M[X+c] = M[X]+c.
3. M[c
⋅X] = c⋅M[X].
Начальный момент
k-го порядка СВ X есть математическое ожидание k-й степени этой случайной величины:
1
для
ДСВ,
( ) M[
]
( )
для
НСВ.
N
k
i
i
i
k
k
k
x
p
x
X
x
f x dx
α
=
∞
−∞
⎧
⋅
⎪
⎪
=
= ⎨
⎪
⋅
⎪⎩
∑
∫
(6.2)
Центрированной
случайной величиной
X
o называется
СВ, математическое ожидание которой находится в начале координат (в центре числовой оси)
[ ] 0
M X
=
o
Операция центрирования (переход от нецентрированной величины Х к центрированной
X
o
) имеет вид
X
X
X m
=
−
o
Центральный момент
порядка k СВ X есть математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины
X
o
:
1
(
)
для
ДСВ,
( ) M[
]
(
)
( )
для
НСВ.
N
k
i
X
i
i
k
k
k
X
x
m
p
x
X
x m
f x dx
µ
=
∞
−∞
⎧
−
⋅
⎪
⎪
=
= ⎨
⎪
−
⋅
⎪⎩
∑
∫
o
(6.3)
Дисперсия
случайной величины характеризует степень рассеивания
(разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по формулам

2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2
(
)
для ДСВ,
[ ]
( )
(x)
(
) ( )
( )
для НСВ.
N
N
i
X
i
i
i
X
i
i
x
X
X
X
x
m
p
x p m
D
D X
x
m
x m
f x dx
x f x dx m
µ
α
=
=
∞
∞
−∞
−∞
⎧
−
=
−
⎪
⎪
=
=
=
−
= ⎨
⎪
−
=
−
⎪⎩
∑
∑
∫
∫
(6.4)
Свойства дисперсии:
1. D[c] = 0.
2. D[X+c] = D[X].
3. D[c
⋅X] = c
2
⋅
D[X].
Средним квадратическим отклонением (СКО)
СВ X называется характеристика
[ ]
[ ]
X
X
D X
σ
σ
=
=
(6.5)
СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.
Правило 3
σ
.
Практически все значения СВ находятся в интервале
[m
X
– 3
σ
X
; m
X
+ 3
σ
X
;].
(6.6)
Модой
случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т.е. то значение, для которого вероятность p
i
(для дискретной СВ) или f(x) (для непрерывных СВ) достигает максимума. Обозначения: Mo.
Медианой
случайной величины X называется такое ее значение, для которого выполняется условие p{X < Me} = p{X
≥ Me}. Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.
Квантилью
χ
p
случайной величины X является такое ее значение, для которого выполняется условие p{X <
χ
p
} = F(
χ
p
) = p.
Пример 6.1. Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке.
Решение. По условию задачи CB X принимает следующие значения: x
1
= 0;
x
2
= 1; x
3
= 2; x
4
= 3. Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно i
(i = 0, 1, 2, 3) нестандартных изделий, вычисляется по формуле
3 6
19 25
P{
}
,
i
i
i
i
i
C C
p
X
x
C
−
⋅
=
=
=
откуда
p
1
= 0,41; p
2
= 0,43; p
3
= 0,11; p
4
= 0,05.
Дисперсию определим по формулам:
D[X] = α
2
(x) – (M[X])
2
,
M[X] = 0
⋅ 0,41 + 1⋅ 0,43 + 2 ⋅ 0,11 + 3 ⋅ 0,05 = 0,8,
α
2
(x) = 0
⋅ 0,41 + 1 ⋅ 0,43 + 2 2
⋅ 0,11 + 3 2
⋅ 0,05 = 1,32,
D[X] = 1,32 – (0,8)
2
= 0,68.
Тогда
[ ]
[ ] 0,82
X
D X
σ
=
=

Пример 6.2. Непрерывная CB распределена по закону Лапласа:
( )
x
f x
b e
−
= ⋅
. Найти коэффициент b, математическое ожидание M[X], дисперсию D[X], среднее квадратическое отклонение
σ[X].
Решение. Для нахождения коэффициента b воспользуемся свойством нормировки плотности распределения
0
( )
2 2
1
x
f x dx
b e dx
b
∞
∞
−
−∞
=
=
=
∫
∫
, откуда
b = 1/2. Так как функция
x
xe
−
– нечетная, то
[ ]
M
0,5 0
x
X
xe
dx
∞
−
−∞
=
⋅
=
∫
, дисперсия D[X] и СКО
[ ]
X
σ
соответственно равны
[ ]
2 2
0
D
0,5 2 0,5 2
x
x
X
x e
dx
x e
dx
∞
∞
−
−
−∞
=
⋅
= ⋅
⋅
=
∫
∫
,
[ ]
[ ]
2
D
=
=
X
X
σ
ЗАДАЧИ
6.1. В условиях задачи 5.1 определить математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию и СКО СВ X.
Ответ:
2 2,176;
( )
6,112;
1, 377;
1,17.
X
X
X
m
x
D
α
σ
=
=
=
=
6.2. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом, без повторений извлекаются 3 шара. СВ X – число белых шаров в выборке.
Определить закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию СВ X.
Ответ: M[Х] = l,2; D[X] = 0,56.
6.3. В партии из n изделий k бракованных. Для проверки наудачу выбирается m изделий. Найти математическое ожидание числа бракованных изделий, содержащихся в выборке. Вычислить математическое ожидание при
n = 20, k = 3; m = 5.
Ответ: 137 / 228.
6.4. Случайная величина X задана функцией распределения:
1 0,
1,
( )
(1
),
1 .
x
x
F x
A
e
x
−
<
⎧
= ⎨
−
≥
⎩
Найти постоянную А, математическое ожидание, математическое ожидание квадрата СВ X и дисперсию СВ X.
Ответ:
1,
2 ,
[
]
5 ,
1
X
X
A
m
M X
D
=
=
=
=

6.5. Случайная величина X задана функцией распределения:
0,
2,
( )
(1 cos
), 2 2,
1,
2.
x
F x
A
bx
x
x
≤ −
⎧
⎪
=
+
− < ≤
⎨
⎪
>
⎩
Найти: а) постоянную А; б) математическое ожидание СВ X; в) математическое ожидание квадрата СВ X; г) третий центральный момент
СВ X; д) дисперсию СВ X.
Ответ: а) 0,5; б) 0; в) 0,758; г) 0; д) 0,758.
6.6. Случайная величина X задана функцией распределения:
2 0 ,
0 ,
( )
, 0 3,
1 2 1,
3 .
x
x
x
F x
x
x
≤
⎧
⎪ +
⎪
=
<
≤
⎨
⎪
>
⎪⎩
Найти математическое ожидание, дисперсию, СКО, моду и медиану СВ X.
Ответ:
1, 875;
0, 6094;
0, 78;
3;
2.
X
X
X
m
D
Mo
Me
σ
=
=
=
=
=