тер вер. Определение. Вероятность события B, найденная при условии, что событие a произошло, называется условной вероятностью события b и обозначается ()p b a, или ()

• Название: Определение. Вероятность события B, найденная при условии, что событие a произошло, называется условной вероятностью события b и обозначается ()p b a, или ()
• Анкор: тер вер
• Дата: 09.11.2019
• Размер: 214.6 Kb.
• Имя файла: 1844_Uslovnaja_ver-1.pdf
• Тип: Документы; #94202

1
Определение. Вероятность события
B
, найденная при условии, что событие
A
произошло, называется условной вероятностью события
B
и обозначается
(
)
/
P B A
, или
(
)
|
P B A
, или
( )
A
P
B
:
(
)
(
)
( )
/
P B A
P B A
P A
⋅
=
Теорема (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:
(
)
( )
(
)
/
P A B
P A P B A
⋅
=
⋅
1) В ящике лежат 12 красных, 8 зелёных и 10 синих шаров. Наудачу вытянули 2 шара. Какова вероятность того, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут синий шар.
1-й способ решения
Обозначим события:
A
- оба вынутых шара разного цвета;
B
- среди двух вынутых шаров нет синего шара.
Требуется найти условную вероятность
(
)
(
)
( )
/
P A B
P A B
P B
⋅
=
Общее количество всевозможных элементарных исходов испытания равно
n
C
=
2 30
Количество исходов, благоприятствующих событию
B
, равно
B
m
C
=
2 20
(из 20-ти несиних шаров достаём
2).
Количество исходов, благоприятствующих событию
A B
⋅
(оба вынутых шара разного цвета И среди двух вынутых шаров нет синего шара), равно
AB
m
C
C
=
⋅
1 1
12 8
(один шар красный, другой шар зелёный; количество исходов определяем по правилу произведения в комбинаторике).
Следовательно
(
)
(
)
( )
/
,
AB
AB
B
B
m
C
C
m
P A B
n
P A B
m
P B
m
C
n
⎛
⎞
⎜
⎟
⋅
⋅
⎝
⎠
=
=
=
=
=
≈
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
1 1
12 8
2 20 48 0 505 95
2-й способ решения
Используем для расчёта непосредственно формулу классического определения вероятности
Рассматриваем в качестве общего количества возможных элементарных исходов количество тех исходов, когда среди двух вынутых шаров нет синего шара:
n
C
=
2 20
(из 20-ти несиних шаров достаём 2).
Количество благоприятных исходов равно
m
C
C
=
⋅
1 1
12 8
(один шар красный, другой шар зелёный; количество таких исходов определяем по правилу произведения в комбинаторике).
И по формуле классического определения определения вероятности
,
C
C
m
P
n
C
⋅
=
=
=
≈
1 1
12 8
2 20 48 0 505 95
Ответ:
,
P
=
≈
48 0 505 95

2 2) Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков чётное ?
Обозначим события:
A
- выпало простое число очков;
B
- число выпавших очков чётное.
Требуется найти условную вероятность
(
)
(
)
( )
/
P A B
P A B
P B
⋅
=
Общее количество возможных элементарных исходов равно
n
= 6
Количество исходов, благоприятствующих событию
B
, равно
B
m
= 3
(это очки 2, 4 и 6 - чётные).
Количество исходов, благоприятствующих событию
A B
⋅
(выпало простое число очков И число выпавших очков чётное), равно
AB
m
= 1
(это число 2 - чётное и простое).
Следовательно
(
)
(
)
( )
/
AB
AB
B
B
m
m
P A B
n
P A B
m
P B
m
n
⎛
⎞
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
=
=
=
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
1 3
Ответ:
P
= 1 3 3) Вероятность дожить человеку до 20 лет равна
p
, дожить до 60 лет -
q

. Какова вероятность дожить до 60 лет человеку 20-летнего возраста ?
Обозначим события:
A
- человек дожил до 20 лет (
[
]
( )
;
,
t
P A
p
∈
=
0 20
);
B
- человек дожил до 60 лет. (
[
]
( )
;
,
t
P B
q
∈
=
0 60
).
Вычисляем условную вероятность
(
)
/
P B A
:
(
)
(
)
( )
( )
( )
/
P B A
P B
P B A
P A
P A
q
p
⋅
=
=
=
В данном случае
(
)
( )
P B A
P B
⋅
=
, т.к.
B
A
⊂
:
(множество
A
поглощает множество
B
, т.к. не все дожившие до 20 лет доживут и до 60; но дожившие до 60 лет все без исключения преодолели 20-летний рубеж)
Ответ:
P
q p
=
Литература:
1) Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. "Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями", 2005, стр. 100, 343 (задача 3.49).