Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов

Название	Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов
Анкор	Otvety_Linal.docx
Дата	22.12.2017
Размер	7.71 Mb.
Формат файла
Имя файла	Otvety_Linal.docx
Тип	Документы #12535
страница	2 из 7

1 2 3 4 5 6 7

Билет 9.

8. Если одна из строк является линейной комбинацией каких либо других строк,

то определитель равен 0

2. Если в матрице есть хотя бы 1 нулевая строка, то det A=0.

Пусть для определенности 1я строка нулевая, тогда в каждом из слагаемых

Будет входить ровно 1 элемент из этой строки. По этому все произведения =0

И det A=0.

4.если матрица А содержит 2 одинаковые строки то определитель = 0

переставим эти 2 строки местами, с одной стороны определитель должен поменять знак,

а с другой стороны он не поменялся, следовательно определитель =0

5.Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя

6. определитель, содержащий две пропорциональные строки равен 0, следует из свойств

4 и 5.

Билет 10. Понятие алгебраического дополнения элемента матрицы определителя. Разложение определителя по первому столбцу или строке.

Пусть в матрице А размером mxn выбраны произовльно k строк и k столбцов. Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k порядка матрицы A

Алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы A называется число

A_ij = ( − 1)ⁱ⁺^jM_ij, где M_ij — определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы A путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Билет 11. Разложение определителя по любому столбцу или строке

Аналогично, число степень и т.п.

Билет 12. Свойства определителя: Об умножение элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки, определитель произведения двух матриц.

Ответ:

Алгебраическим дополнением к элементу a_ij определителя detA назовем величину, обозначенную A_ij: .

Теорема (вычисление определителя разложением по i-той строке): (_)

(формула разложения определителя по i-той строке)

Доказательство:

В правой части стоит сумма из n(n-1)!=n! произведений различных элементов матрицы A, причем, в силу леммы, они входят с тем знаком, с каким они входят в detA.

В правой части не может быть одинаковых слагаемых, т.к. например, все слагаемые, содержащие a_i₁, могут быть только в a_i₁A_i₁. Внутри суммы a_i₁A_i₁ тоже не может быть повторов. => Левая и правая части состоят из n! одних и тех же слагаемых без пропусков и повторений => (_) справедливо:
Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей

Билет 13 – обратная матрица:

Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

$\! aa^{-1} = a^{-1}a = e$

Обратная матрица существует тогда и только тогда когда матрица А невыродженная(т.е. определитель отличен от нуля)

Необходимость.

Пусть существует А^(-1) тогда А невыродженная.

Если есть А^(-1) то det(AA^(-1))=det Adet A^(-1)=1

Det A не равен 0

Достаточность.

Пусть det A не равен 0 то есть A^(-1)

Рассмотрим В=1/det A[A11 A21…An1] 1/det A[A11……A1n](T)

[A12 A22…An2]= [A21……A2n]

[A1n A21n..Ann] [An1……Ann]

докажем что В является левой обратной к А.

вычислим АВ

1/det A[A11 A21….An1] [a11 a1j a1n]

[A1i A2i…...Ani] [a21 a2j a2n]=C

[A1n A21n..Ann] [an1 anj ann]

Cij=1/detA(A1ia1j+…+Anianj)=1/det Adet Aδij(1,i=g|0,i≠g) следовательно С=E

B есть левая обратная к А, аналогично что В является правой обратной к А.

A^(-1)=(1/det A)(A(v))(T)

A(v)-союзная матрица из алгебраических дополнений.

Если матрица невырожденная, то существует и притом единственная матрица а-1.

Найти обратную матрицу – А(-1) = 1/detA * А(^)

А^ - транспонированная, и составлена из алгебраических дополнений матрицы А

14 Правило крамера решения СЛАУ.

Система линейных уравнений:

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\ \end{cases}$

Определители:

$\delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \delta_1=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \delta_2=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \delta_3=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{vmatrix}$

Решение:

$x_1=\frac{\delta_1}{\delta},\ \ x_2=\frac{\delta_2}{\delta},\ \ x_3=\frac{\delta_3}{\delta}$

Пример:

$\begin{cases} 2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 30\\ x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 150\\ 2x_1 + 10x_2 + 9x_3 = 110\\ \end{cases}$

Определители:

$\delta=\begin{vmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=5,\ \ \delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\ 110 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=-760,\ \ \delta_2=\begin{vmatrix} 2 & 30 & 4 \\ 1 & 150 & 2 \\ 2 & 110 & 9 \\ \end{vmatrix}=1350,\ \ \delta_3=\begin{vmatrix} 2 & 5 & 30 \\ 1 & 3 & 150 \\ 2 & 10 & 110 \\ \end{vmatrix}=-1270.$

$x_1=-\frac{760}{5}=-152,\ \ x_2=\frac{1350}{5}=270,\ \ x_3=-\frac{1270}{5}=-254$

15. Линейная зависимость системы столбцов)строк) матрицы. Критерий линейной зависимости

Пусть матрица A=||a_ij|| (mxn)

Обозначим B₁,B₂,..,B_k – столбцы матрицы A

Определение: Столбцы B₁,..,B_kназываются линейно зависимыми, если существуют числа , такие, что

Определение: Столбцы B₁,…,B_k называются линейно независмыми, если равенство выполняется тогда и только тогда, когда α₁=α₂=α_k=0.

Утверждение: Столбцы B₁,…,B_k линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией других столбцов. Т.е. например, B₁=α₂B₂+…+α_kB_k.

16. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Определение: Ранг матрицы A – максимальный порядок неравного нулю минора.

Обозначается: RangA, r(A).

Определение: Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным. Строки и столбцы, формирующий базисный минор, называются базисными строками и столбцами.Теорема (о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Определение. Базисный минор – ненулевой минор максимального порядка.

Теорема (о базисном миноре). Порядок базисного минора равен рангу матрицы.

Доказательство. 1). Покажем, что если минор отличен от нуля, то строки линейно независимы. Допустим противное. Пусть эти строки линейно зависимы, т.е. одна из строк, например, линейно выражается через остальные:

Тогда в миноре вычтем из последней строки эту линейную комбинацию строк – получим нулевую строку. Пользуясь свойствами определителя, получаем равенство нулю этого минора.

2). Покажем, что если минор базисный, то все строки матрицы линейно выражаются через . Составим определитель порядка , добавив к строкам еще одну строку – с номером , а к столбцам – еще один столбец – с номером :

Определитель такой матрицы равен нулю: если совпадает с одним из номеров или номер совпадает с одним из номеров ,то мы получаем матрицу с одинаковыми строками или столбцами. Если же ни , ни не совпадают с номерами строк или столбцов соответственно, то определитель равен нулю по определению базисного минора.

Разложим этот определитель по последнему столбцу:

.

Но - это и есть базисный минор! Значит,

.

Заметив, что алгебраические дополнения не зависят от (а только от элементов базисного минора и -й строки), получаем, что -я строка линейно выражается через строки, входящие в базисный минор.

Подведем итог. Мы получили, что строки, входящие в базисный минор, линейно независимы, а все остальные строки линейно выражаются через них. Значит, эти строки образуют максимальную линейно независимую систему во множестве строк матрицы, и их количество – т.е. порядок базисного минора – равно рангу матрицы. Теорема доказана.

17.Следствие из теоремы о базисном миноре: о линейной зависимости системы строк определителя, равного нулю: аналогичный результат для столбцов

Если A — квадратная матрица, и det A = 0 <=> строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

18. Следствие из теоремы о базисном миноре: О линейной зависимости системы из (n+1) строки длинною из n элементов

Ответ:

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы, т.е. если r — ранг матрицы, то в матрице есть r линейно независимых строк (столбцов), а любые r+1 строк (столбцов) — линейно зависимы.

19.Следствие из теоремы о базисном миноре: критерий линейной зависимости системы из m строк или столбцов

Ответ: Пусть r = rang A, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

20. Понятие ранга системы столбцов(строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы

Определение: Ранг матрицы A – максимальный порядок неравного нулю минора.

Обозначается: RangA, r(A).

Ответ: Теорема (о ранге матрицы): Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов).

Доказательство: Докажем для столбцов. Пусть RangA=r. Надо доказать, что r=k, где k – максимальное число независимых столбцов любого множеств, состоящего из больше, чем k столбцов.

Предположим, что k
Предположим, что k>r. Докажем, что это невозможно.

Пусть столбцы C₁,…,C_k– линейно независимы. Обозначим B₁,…,B_k – базисные столбцы (может быть, некоторые из столбцов C совпадают с столбцами B). Каждый из столбцов C₁,…,C_k может быть записан в виде линейной комбинации базисных столбцов:

Составим некоторую линейную комбинацию из столбцов. Тогда достаточно будет выражения равенства:

матричное равенство. m уравнений в правой части – 0, относительно k неизвестных β₁,…,β_k, k>m

При рассмотрении метода Гаусса докажем, что ненулевое решение такой системы. Т.е.

не все равны нулю: . Но это противоречит предположению о линейной независимости столбцов C₁,…,C_k

Вывод: kr – невозможно, следовательно, k=r.
21 ВОПРОС

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:

1. Перестановка строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.
22. Метод Гаусса вычисления ранга матрицы

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключается в том, что путем элементарных преобразований можно привести данную матрицу А к виду

b_1l b₁₂ … b_1r … b_1n

B = 0 b₂₂ … b_2r … b_2n

…………………………… ,

0 0 … b_rr … b_rn

в котором все диагональные элементы b_1l, b₂₂, …, b_rr отличны от нуля, а элементы других строк, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Учитывая, что ранг не меняется при элементарных преобразованиях, имеем rang A = rang B.

Короче чтобы треугольный вид, и сколько единичек, такой и ранг
К примеру если в матрице остается ( 1 0 0 )

1 0

0 0 0

0 0 0

Ранг такой матрицы равен 2.

23. Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^.

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^ не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

. RgA = 2.

A* =

http://www.nuru.ru/mat/alg/018.files/image016.gif

RgA* = 3.

24. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: Свойства решений, эквивалентное преобразование системы.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& 0 \\ \ldots & & \\ a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& 0 \end{array}\right.\iff a_{m\times n}\vec{x}=\vec{0},\quad a_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\qquad (1)$

Нулевое решение $\vec{x}=(0,\ldots,0)\!$ системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

1 2 3 4 5 6 7