Вопросы к экзамену 1 семестр 2018-2019. Вопросы к экзамену 1 семестр 20182019 уч год

Название	Вопросы к экзамену 1 семестр 20182019 уч год
Дата	17.01.2022
Размер	341.8 Kb.
Формат файла
Имя файла	Вопросы к экзамену 1 семестр 2018-2019.pdf
Тип	Вопросы к экзамену #333307

Вопросы к экзамену
1 семестр 2018-2019 уч. год
1. Матрицы, действия над ними.
2. Определители второго и третьего порядков, их свойства.
3. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n – го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу.
4. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
5. Системы двух и трехлинейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений матричным методом.
6. Правило Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
7. Система линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.
8. Линейные операции над векторами.
9. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис. Разложение вектора по базису.
10. Прямоугольный декартов базис. Координаты вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора.
11. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения. Вычисление скалярного произведения в декартовой системе координат.
12. Векторное произведение векторов и его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл, простейшие приложения векторного произведения. Вычисление векторного произведения в декартовой системе координат.
13. Смешанное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл. Вычисление смешанного произведения в декартовой системе координат.
14. Уравнение линии на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости.
15. Прямая на плоскости угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
16. Уравнения плоскости в пространстве.
17. Уравнения прямой в пространстве.
18. Взаимное расположение плоскостей угол между плоскостями, условие параллельности, условие перпендикулярности. Расстояние от точки до плоскости.
19. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве угол между ними, условие параллельности, условие перпендикулярности. Точка пересечения прямой и плоскости.
20. Кривые второго порядка эллипс, окружность (геометрические свойства, уравнения.
21. Кривые второго порядка гипербола (геометрические свойства, уравнения.
22. Кривые второго порядка парабола (геометрические свойства, уравнения.
23. Множество вещественных чисел. Функция. Область определения, способы задания. Основные элементарные функции, их свойства, графики. Сложные и обратные функции. Класс элементарных функций.
24. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при


x
25. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Свойства бесконечно малых функций.
26. Теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.
27. Замечательные пределы.
28. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них.
29. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
30. Точки разрыва функции и их классификация.
31. Определение производной, ее механический и геометрический смысл.
32. Уравнение касательной и нормали к кривой.
33. Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функции.
34. Производные основных элементарных функций (знать таблицу производных.
35. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала.
36. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
37. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
38. Дифференцирование функций, заданных неявно.
39. Производные и дифференциалы высших порядков.
40. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение.
41. Правило Лопиталя.
42. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое и достаточное условия.
43. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
44. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
45. Асимптоты графика функции.
46. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Примерные практические задания Линейная и векторная алгебра
1. Решить матричное уравнение Х+3(А-В)=4С, где









4 2
3 1
A
,








5 7
8 3
B
,








9 3
6 8
C
2. Выполнить действия
4 3
2 3
2 1
3 2
5 4
1 3
1 3
2 5
2 8
7 0
1 2
4 3
7 6
5 1















































3. Вычислить определитель
7 6
5 4
0 2
3 2
1 4. Найти обратную матрицу
1

A
, если












4 1
4 2
1 2
2 1
1
A
5. Решить системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса А)
















2 5
3 3
2 3
2 4
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
В)














7 2
13 36 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6. Решить систему методом Гаусса



























2 9
3 8
2 2
1 3
2 5
3 3
2 3
4 2
2 1
3 2
3 5
4 3
2 1
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
5 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7. Решить систему однородных уравнений














0 3
3 0
5 0
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8. Даны координаты вершин пирамиды
1 2
3 4
A A A A
:








1 2
3 4
1;3;6 ,
2; 2;1 ,
1;0;1 ,
4;6; 3 .
A
A
A
A



Найти
1) длину ребра
1 2
A A
;
2) угол между ребрами
1 2
A A
и
1 4
A A
;
3) угол между ребром
1 4
A A
и гранью
1 2
3
A A A
;
4) площадь грани
1 2
3
A A A
;
5) объем пирамиды. Аналитическая геометрия
1. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых.
,
0 ух 7х-4у+2=0.

2. Найти угол между плоскостью и прямой
0 1
:




z
у
х
р
1 1
2 ух. В какой точке прямая, проходящая через точки Аи В, пересекает ось Оу.
4. Найти расстояние между прямыми 4х-3у-7=0 и 4х-3у+3=0.
5. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки Ми К.
6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А) перпендикулярно плоскости 3х+4у-z+4=0.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А) параллельно плоскости
3х+4у-z+4=0.
8. Написать уравнений плоскости, проходящей через точки А, В, С.
9. Доказать, что прямые параллельны
1 2
1 3
2
z
y
x





и










0 8
5 0
z
y
x
z
y
x
10. Найти угол между прямой, проходящей через точку Аи точку В, и плоскостью х-3у+z+5=0.
11. Определить тип и построить линию
0 73 18 2
9 2
2





y
x
y
x
0 7
6 4
3 2
2 2





y
x
y
x
0 3
2 Введение в математический анализ
1. Найти пределы функций
1 3
5 2
lim
3 2
3






x
x
x
x
x
;
2 2
3
lim
2 3
1






x
x
x
x
x
;
1 2
2 1
lim
3





x
x
x
;
tgx
x
x
x



2 4
cos
1
lim
0
;
x
x
x
x










1 2
1 2
lim
;
7 3
1 0
)
4 1
(
lim



x
x
x
;
1
)
2 1
ln(
lim
3 0



x
x
e
x
2. Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва, сделать чертеж a.
x
y


3 1
4
; b.














1
,
2
,
1 1
,
2
,
1
,
4 Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Найдите производные функций а)
, б)
; в)
; г)
2. Найдите дифференциал функции
;
x
x
tg
y
5
arcsin
2
ln
4


4 3
3 2
2 1
1 1
x
x
x
x
y






x
tg
e
y
x
x
2 1
3
cos
2




x
x
y
2
sin

3
ln
x
xy
y


4 3
4
x
arctg
x
ctg
y



3. Найти производные первого и второго порядков






).
1
ln(
,
arcsin
2
t
y
t
x
4. Найдите от функции
5. Найти уравнения касательных к параболе
6 4
2



x
x
y
в точках, ординаты которых равны 3.
6. Напишите уравнение касательной и нормали к кривой в точке
7. Вычислите приближенно y = при x = 1,03.
8. Вычислите предел по правилу Лопиталя
9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
3 2
)
3
(
3 6
2




x
x
y
на отрезке


2
;
4


10. Найти интервалы возрастания, убывания, экстремум функции
3 2
2 2


x
x
y
11. Найти асимптоты графика функции
1 2
3


x
x
y
12. Найти интервалы выпуклости, точки перегиба графика функции
2
x
e
x
y



2 2
dx
y
d
x
x
y
4 5
ln


5 2
x
2
lim

x


4 4
2
arcsin
2


x
x