12315649_Заказ2351365МАТ. Решение а Строим последовательно графики функций Область определения и область значений функции
![]()
|
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Задача 1 Построить графики функции сдвигами и деформациями. Указать область определения и область значений для каждой функции, промежутки монотонности. ![]() Решение а) Строим последовательно графики функций: ![]() ![]() Область определения и область значений функции ![]() ![]() При ![]() б) Строим последовательно графики функций: ![]() ![]() Область определения и область значений функции ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() в) Строим последовательно графики функций: ![]() ![]() Область определения и область значений функции ![]() ![]() При ![]() Точка х = 2 – точка перегиба, у(2) = 0. г) Строим последовательно графики функций: ![]() ![]() Область определения и область значений функции ![]() ![]() При ![]() ![]() Задача 2 Найти указанные пределы, не используя правило Лопиталя: ![]() Решение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 3 Найти точки разрыва функции и исследовать их характер: ![]() Решение Область определения: ![]() Так как ![]() ![]() Так как односторонние пределы бесконечны, то х = 1 – точка разрыва 2-го рода. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задача 1 Найти производные данных функций: ![]() Решение ![]() ![]() ![]() ![]() отсюда искомая производная: ![]() д) находим производные по t: ![]() тогда искомая производная: ![]() е) логарифмируем равенство: ![]() дифференцируем полученное равенство по х и выражаем искомую производную: ![]() Задача 2 Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y f(x) в точке x0: ![]() Решение Находим производную: ![]() В заданной точке: ![]() Уравнение касательной: ![]() Уравнение нормали: ![]() Задача 3 Исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить её график: ![]() Решение 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() ![]() ![]() ![]() Из п.3 следует, что график функции имеет вертикальные асимптоты ![]() 4. Находим производные: ![]() ![]() Определяем нули и знаки первой производной: ![]() ![]() ![]() ![]() + + + ![]() При ![]() 5. Определяем нули и знаки 2-й производной: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() + - + - ![]() При ![]() ![]() ![]() 6. Точки пересечения с координатными осями: - ось Ох: у = 0; х = 0; - ось Оу: х = 0; у = 0. 7. Наклонные асимптоты y = kx + b: ![]() Асимптота: у = 0. Строим график функции у(х). y ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Задача 1 Исследовать функцию z на экстремумы: ![]() Решение Находим частные производные и приравниваем их к нулю: ![]() Нашли стационарную точку М. Вторые частные производные функции z в точке М: ![]() Тогда: ![]() Так как ![]() ![]() Таким образом: ![]() Задача 2 ![]() ![]() ![]() Решение 1) ![]() 2) Находим частные производные: ![]() Значения частных производных в точке А: ![]() Приращения аргументов при переходе от точки А к В: ![]() Искомое приближённой значение функции в точке В: ![]() 3) Вычислим точное значение функции в точке В: ![]() Искомая относительная погрешность: ![]() 4) Обозначим: ![]() Частные производные: ![]() Значения частных производных в точке С(2; 4; 27): ![]() Искомое уравнение касательной плоскости: ![]() ![]() 5) Линеаризуем функцию z в окрестности точки А: ![]() 6) Градиент функции z в точке А: ![]() Направляющие косинусы вектора ![]() ![]() Искомая производная по направлению: ![]() Список использованных источников 1 Баврин, И. И. Высшая математика: учебник по естественнонаучным направлениям и специальностям / И. И. Баврин. – Москва: Академия, 2018. – 611 с. 2 Малыхин, В. И. Высшая математика: учебное пособие / В. И. Малыхин. – Москва: Инфра-М, 2019. – 363 с. 3 Шипачев, В. С. Основы высшей математики: учебное пособие для вузов / В. С. Шипачев. – Москва: Юрайт, 2017. – 478 с. |