Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра математики ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по теме 4.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Санкт-Петербург 2006 2 Задача 1 Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ для функции ( ) ( ) 3 3 3 5 tg 1 ln cos 2 y x xy z x y − + = Справочный материал Частные производные для функции двух переменных ( ) y x f z , = определяются как пределы ( ) ( ) x y x f y x x f x z x Δ − Δ + = ∂ ∂ → Δ 0 0 0 0 0 , , lim , ( ) ( ) y y x f y y x f y z y Δ − Δ + = ∂ ∂ → Δ 0 0 0 0 0 , , lim Из определения частных производных следует, что при вычислении частной производной функции ( ) y x f z , = по переменной x , следует рассматривать ее как функцию одной переменной x , а переменную y считать постоянной. При вычислении частной производной функции ( ) y x f z , = по переменной y , следует рассматривать ее как функцию одной переменной y , а переменную x считать постоянной. При вычислении производных функций нескольких переменных следует пользоваться правилами дифференцирования, сформулированными для функций одной переменной, а также таблицей производных основных элементарных функций (см. приложение). Решение задачи Представим заданную функцию в виде ( ) ( ) y x f y x f z , , 2 1 + = , где ( ) ( ) x y xy y x f 2 tg 1 cos , = и ( ) ( ) 3 3 3 5 2 1 ln , y x y x f − = , а затем вычислим производные каждого слагаемого. Функцию ( ) y x f , 1 по основному логарифмическому тождеству представим в виде экспоненты: 3 ( ) ( ) ( ) ( ) xy xy x y x y x y e e xy y x f cos ln tg cos ln tg 1 2 2 tg 2 cos , = = = По правилу дифференцирования сложной функции производная от функции ( ) y x f , 1 по переменной x равна производной от экспоненты по ее аргументу, умноженной на производную по x от показателя, т.е. ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ′ ⋅ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ x x y x x y xy xy xy e x f x y cos ln tg cos ln tg 2 2 cos ln tg 1 2 Поскольку 2 2 2 cos 1 tg 2 tg x y x y x y x x y − ⋅ ⋅ = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ( ) ( ) x y xy xy xy x 2 1 sin cos 1 cos ln ⋅ ⋅ − ⋅ = ′ , то ( ) ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ xy x y e x f x y x y xy x y cos ln cos 1 tg 2 2 2 cos ln tg 1 2 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + x y xy xy x y 2 1 sin cos 1 tg 2 Функцию ( ) y x f , 2 запишем в виде степенной функции с дробным показателем: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 5 2 1 ln 1 ln , 3 5 y x y x y x f − = − = Продифференцируем ее по x , используя правило дифференцирования сложной функции, считая y постоянной. ( ) ( ) 3 2 3 3 3 3 2 3 1 1 1 ln 3 5 3 2 y x y x y x x f − ⋅ − ⋅ − = ∂ ∂ Складывая x f ∂ ∂ 1 и x f ∂ ∂ 2 , получим 4 ( ) ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ xy x y e x f x y x y xy x y cos ln cos 1 tg 2 2 2 cos ln tg 2 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + x y xy xy x y 2 1 sin cos 1 tg 2 + + ( ) ( ) 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 ln 3 5 3 2 y x y x y x − ⋅ − ⋅ − Для частной производной y f ∂ ∂ 1 используется формула, аналогичная формуле для производной x f ∂ ∂ 1 ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ′ ⋅ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ y x y y x y xy xy xy e y f x y cos ln tg cos ln tg 2 2 cos ln tg 1 2 , в которой следует вычислить производные по переменной y : x x y x y y x y 1 cos 1 tg 2 tg 2 2 ⋅ ⋅ = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ и ( ) ( ) y x xy xy xy x 2 1 sin cos 1 cos ln − = ′ Тогда ( ) ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ xy x e y f x y x y xy x y cos ln 1 cos 1 tg 2 2 cos ln tg 1 2 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + y x xy xy x y 2 1 sin cos 1 tg 2 5 Функция ( ) ( ) 3 3 3 5 2 1 ln , y x y x f − = симметрична относительно своих переменных. Поэтому производную y f ∂ ∂ 2 можно получить из производной x f ∂ ∂ 2 , заменив в ней x на y , а y на x ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 2 3 1 1 1 ln 3 5 3 2 y x y x y x y f − ⋅ − ⋅ − = ∂ ∂ Складывая y f ∂ ∂ 1 и y f ∂ ∂ 2 , получим ( ) ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ xy x y e y f x y x y xy x y cos ln cos 1 tg 2 2 2 cos ln tg 2 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + y x xy xy x y 2 1 sin cos 1 tg 2 + + ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 ln 3 5 3 2 y x y x y x − ⋅ − ⋅ − Задача 2 Оцените абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции y x z + = 3 в точке ( ) y x , , если 03 , 0 1 ± = x , 07 , 0 3 ± = y Справочный материал Модуль абсолютной погрешности Δ при вычислении значения функции ( ) 0 0 0 , y x f z = , если значения аргументов 0 x и 0 y вычислены с погрешностями x Δ и y Δ , не превосходит модуля значения дифференциала dz , вычисленного в точке ( ) 0 0 , y x при приращениях x Δ и y Δ , т.е. оценивается неравенством 6 ( ) ( ) y y x y z x y x x z Δ ⋅ ∂ ∂ + Δ ⋅ ∂ ∂ ≤ Δ 0 0 0 0 , , Относительная погрешность ε равна отношению модуля абсолютной погрешности к истинному значению функции 0 z , т.е. 0 z Δ = ε или в процентах % 100 0 z Δ = ε Решение задачи Поскольку 1 0 = x , 3 0 = y , 03 , 0 = Δx , 07 , 0 = Δy , то, вычислив y x x x z + = ∂ ∂ 3 2 2 3 , ( ) 4 3 3 ; 1 = ∂ ∂ x z , y x y z + = ∂ ∂ 3 2 1 , ( ) 4 1 3 ; 1 = ∂ ∂ y z , получим оценку для абсолютной погрешности. 04 , 0 07 , 0 4 1 03 , 0 4 3 = ⋅ + ⋅ ≤ Δ Поскольку ( ) 2 3 1 , 3 0 0 0 = + = = y x f z , то относительная погрешность % 2 % 100 2 04 , 0 0 = ≤ Δ = ε z Задача 3 Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции z y x z y x u cos arctg 2 2 + + + = , если ) ( , ) , ( , ) ( t z z s t y y s x x = = = Справочный материал Если задана функция трех переменных ( ) z y x u u , , = , а переменные y x, и z являются функциями независимых переменных t и s , т.е. ( ) s t x x , = , ( ) s t y y , = , ( ) s t z z , = , то 7 функция u является сложной функцией независимых переменных t и s и ее частные производные по этим переменным вычисляются по формулам t z z u t y y u t x x u t u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ , s z z u s y y u s x x u s u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ Решение задачи Поскольку x y x z z x u z y x 2 2 1 cos 1 1 1 2 2 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∂ ∂ + , y y x z z y u z y x 2 2 1 cos 1 1 1 2 2 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∂ ∂ + , z y x z y x z u z y x sin 1 1 2 2 2 2 ⋅ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∂ ∂ + , 0 , 0 = ∂ ∂ = ∂ ∂ s z t x , то + ∂ ∂ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∂ ∂ + t y y x y z z t u z y x 2 2 2 cos 1 1 1 dt dz z y x z y x z y x ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + sin 1 1 2 2 2 2 8 + ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∂ ∂ + ds dx y x x z z s u z y x 2 2 2 cos 1 1 1 s y y x y z z z y x ∂ ∂ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 2 2 2 cos 1 1 1 Задача 4 Найти все производные второго порядка для функции ( ) z y x x y z z y x u 2 sin 4 2 2 4 3 3 − + + + = Справочный материал Для функции трех переменных ( ) z y x u u , , = определены три частные производные первого порядка ( ) z y x x u , , ∂ ∂ , ( ) z y x y u , , ∂ ∂ и ( ) z y x z u , , ∂ ∂ , которые в свою очередь являются функциями переменных y x, и z . Следовательно, каждую из них можно снова дифференцировать по этим переменным, т.е. вычислять следующие производные второго порядка. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ x u x x u 2 2 , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ x u y y x u 2 и ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ x u z z x u 2 ; ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y u y y u 2 2 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ y u x x y u 2 и ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ y u z z y u 2 ; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ z u z z u 2 2 , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ z u x x z u 2 и ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ z u y y z u 2 ; Если функция ( ) z y x u u , , = непрерывна, то смешанные производные (производные по разным переменным) равны, т.е. 9 x y u y x u ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 , x z u z x u ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 , y z u z y u ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 Следовательно, существует шесть различных частных производных второго порядка: 2 2 x u ∂ ∂ , 2 2 y u ∂ ∂ , 2 2 z u ∂ ∂ , y x u ∂ ∂ ∂ 2 , z x u ∂ ∂ ∂ 2 , z y u ∂ ∂ ∂ 2 Решение задачи ( ) z y x x y z z y x x u 2 cos 4 3 3 2 2 4 3 2 − + + + = ∂ ∂ , ( ) z y x yx z z y x y u 2 cos 2 3 4 2 4 2 3 − + + + = ∂ ∂ , ( ) z y x x zy z y x z u 2 cos 2 2 4 4 2 3 3 3 − + − + = ∂ ∂ Тогда ( ) z y x x y z z xy x u 2 sin 12 6 2 2 2 4 3 2 2 − + − + = ∂ ∂ , ( ) z y x x z yz x y u 2 sin 2 6 4 2 4 3 2 2 − + − + = ∂ ∂ , ( ) z y x x y z y x z u 2 sin 4 2 12 4 2 2 3 3 2 2 − + − + = ∂ ∂ , ( ) z y x yx z z y x y x u 2 sin 8 9 3 2 4 2 2 2 − + − + = ∂ ∂ ∂ , ( ) z y x x zy z y x z x u 2 sin 2 8 12 3 2 3 3 2 2 − + + + = ∂ ∂ ∂ , ( ) z y x zyx z y x z y u 2 sin 2 4 12 4 3 2 3 2 − + + + = ∂ ∂ ∂ 10 |