Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

• Название: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
• Анкор: 4_Rabochaya_tetrad_po_FNP.pdf
• Дата: 28.02.2018
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: 4_Rabochaya_tetrad_po_FNP.pdf
• Тип: Задача; #16037
• страница: 7 из 9

9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
2
tg
y
x
z
⋅
=
в точке
)
1
,
,
1
(
2 0
π
M
10. Исследовать функцию
xy
y
x
z
3 3
3
−
+
=
на экстремум.
11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью
0 3
2 4
2 2
2
=
−
+
−
+
−
+
+
yx
yz
z
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
xy
y
x
z
2
+
+
=
2 2
при
3 0
≤
≤ x
,
3 0
≤
≤ y
,
3 0
≤
+
≤
y
x
13. Из всех треугольников с основанием
a
и с углом
α
при вершине найти треугольник с наибольшей площадью.

46
Вариант 16
1. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, если
y
x
x
y
x
y
x
z
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2 2
1
)
(
ln arcsin tg
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
08 0
4
,
05 0
2
при
,
3 3
2
±
=
±
=
−
=
y
x
x
y
z
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
для функции
y
x
z
x
z
e
y
u
−
−
+
=
arccos при
)
,
(
,
)
,
(
,
)
(
s
t
z
z
s
t
y
y
s
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
xy
z
y
x
z
u
+
=
)
(
cos
2
5. Вычислить
u
d
2 для функции
1
−
2
=
y
x
u
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной зависимостью
2 2
−
⋅
=
y
x
x
y
y
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно зависимостью
z
y
x
e
y
xz
−
+
=
Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Вычислить
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
, если
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
2 1
y
v
x
u
e
x
e
y
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
2 2
+
=
y
x
z
в точке
)
5
,
2
,
1
(
0
M
10. Исследовать функцию
2 2
)
2
(
−
−
=
y
x
z
на экстремум.
11. Вычислить значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной зависимостью
0 4
4 2
2 2
=
−
−
−
−
+
+
xy
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
x
y
z
+
2
=
в области
3
≤
2
−
≥
2
x
y
x
y
,
13. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок
δ
и внутренней ёмкостью
V
так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.

47
Вариант 17
1. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, если
x
y
y
y
x
x
y
z
−
−
=
2 4
1
cos arccos
)
(sin
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
)
(
sin
2
y
x
z
−
=
при o
o
1 60
±
=
x
, o
o
2 30
±
=
y
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
z
x
z
y
u
2 5
1
arcsin
)
3
(
ln
+
−
=
при
)
,
(
,
)
(
,
)
(
s
t
z
z
t
y
y
s
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
z
y
x
xyz
u
sin
2
5. Вычислить
u
d
2 для функции
)
2
sin(
y
x
y
u
−
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно
x
y
x
y
tg
2
=
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно зависимостью:
2 2
2
)
(
ln
x
y
z
y
x
z
−
+
=
−
+
. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Вычислить
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
, если
⎩
⎨
⎧
=
+
=
−
0
yv
ux
y
u
v
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
169 2
2 2
=
+
+
z
y
x
в точке
)
12
,
4
,
3
(
0
M
10. Исследовать функцию
2 2
4 4
2
y
xy
x
y
x
z
−
−
−
+
=
на экстремум.
11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью
0
=
1
−
2
−
−
−
+
+
2 2
2
z
y
z
y
z
y
x
, во всех стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 2
+
3
=
−
1
x
y
z
при
1 0
,
0 1
,
1 0
≤
−
≤
≤
≤
−
≤
≤
y
x
y
x
13. Найти прямоугольный параллелепипед с длиной диагонали
d
, имеющий наибольший объём.

48
Вариант 18
1. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, если
(
)
y
x
y
x
y
x
y
z
2 2
1
sin arctg
)
2
ln(
+
+
−
=
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
x
y
z
=
при
02
,
0 5
,
01
,
0 2
±
=
±
=
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
)
(
,
)
(
,
)
,
(
если
,
arctg
t
z
z
s
y
y
s
t
x
x
u
z
x
y
z
y
x
=
=
=
−
=
+
3 1
2 3
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
yz
x
yz
x
u
−
−
=
2
)
(
cos
5. Вычислить
u
d
2 для функции
)
(
sin
y
x
u
+
3
=
2
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно
x
y
y
x
−
= arctg
1
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно зависимостью:
z
x
y
z
y
x
3 2
3
+
−
=
+
−
. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Функции
(
)
y
x
u ,
и
(
)
y
x
v ,
заданы параметрически:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
1
=
=
x
e
x
y
e
v
y
x
u
Вычислить частные производные
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
0
=
−
2 1
x
y
z
arctg в точке
)
,
,
(
8
π
0 1
1
M
9. Исследовать функцию
2 2
4 4
2 2
y
x
y
x
z
−
−
+
=
на экстремум.
10. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью
0
=
2
+
+
+
+
2
+
+
4 2
2 2
z
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 2
2x
y
z
−
=
в области
100
,
1 2
2 2
2
≤
+
≥
+
y
x
y
x
12. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, площадь которого наибольшая.

49
Вариант 19
1. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ , если
(
)
x
y
x
y
y
x
xy
z
−
+
+
=
−
2 3
4 1
ctg arccos tg
1
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
y
x
z
cos tg
⋅
=
при o
o o
o
5
,
0 60
,
1 45
±
=
±
=
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
)
,
(
,
)
(
,
)
(
если
,
arcsin
2 1
s
t
z
z
t
y
y
s
x
x
e
u
y
x
z
z
y
x
=
=
=
−
=
−
+
−
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
z
y
x
z
u
y
x
−
−
+
=
5. Вычислить
u
d
2 для функции
)
(
cos
3 4
2 6
y
x
xy
u
−
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно
y
x
y
xy
+
= 4
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно зависимостью:
)
4
(
sin
2 2
z
y
x
x
y
z
+
−
+
−
=
. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Функции
(
)
y
x
u ,
и
(
)
y
x
v ,
заданы параметрически:
⎩
⎨
⎧
=
=
x
vy
y
ux
)
cos(
)
sin(
Вычислить частные производные
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
0 4
4 2
3
=
−
+
−
y
xz
z
в точке
)
2
,
2
,
1
(
0
−
M
10. Исследовать функцию
)
(
2 2
)
25 7
5
(
y
xy
x
e
y
x
z
+
+
−
−
+
=
на экстремум.
11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью
0 4
2 2
2
=
+
+
−
−
+
+
yz
z
y
x
z
y
x
в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
1
+
−
+
=
2 2
xy
y
x
z
в области
4
≤
1
−
≥
2
y
x
y
,
13. Из всех прямоугольников с заданной площадью
S
найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.

50
Вариант 20
1. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ , если
[
]
x
yx
x
y
xy
z
−
−
−
=
1
ln arcsin
)
1
(
tg
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
2 2
y
x
z
+
=
, если
02
,
0 4
;
01
,
0 2
±
=
±
=
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
( )
( )
z
x
y
x
z
u
2 2
3 1
cos
+
−
+
=
, если
)
,
(
,
)
,
(
,
)
(
s
t
z
z
s
t
y
y
s
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
(
)
z
y
x
xyz
u
3 2
2 1
1
sin
−
+
−
=
5. Вычислить дифференциал
u
d
2 для функции
y
x
u
x
y
4
+
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной:
)
(
sin
xy
y
y
x
−
1
=
−
1
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно зависимостью:
x
y
z
e
z
y
x
−
+
=
2 2
+
+
2
. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Функции
(
)
y
x
u ,
и
(
)
y
x
v ,
заданы параметрически:
⎩
⎨
⎧
1
=
−
=
−
2
x
yv
y
v
xu
Вычислить частные производные
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
2 2
2 2
2 2
=
+
−
+
−
+
xz
yz
xy
z
y
x
в точке
)
0
,
0
,
1
(
0
M
10. Исследовать функцию
y
x
y
xy
x
z
ln
10
ln
4 2
2
−
−
+
+
=
на экстремум.
11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью
0 2
2 2
2
=
+
+
+
+
+
+
z
x
z
y
x
z
y
x
, во всех стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
x
z
−
−
= 1
в области
4 2
2
≤
+ y
x
13. Из всех треугольников, имеющих данный периметр
P
. найти наибольший по площади.

51
Вариант 21
1. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ , если
(
)
[
]
x
y
x
x
y
xy
x
z
3 2
3 1
sin arctg cos
−
−
−
=
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
xy
e
z
=
при
05 0
±
0
=
1 0
±
5
=
,
;
, y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
)
sin(
)
ln(
2 2
1 2
2
z
y
x
z
y
x
u
−
+
−
+
−
=
, при
)
,
( s
t
x
x
=
,
( )
s
t
y
y
,
=
,
)
,
( s
t
z
z
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
y
x
z
xyz
u
2
−
2
−
3
=
)
(
cos