Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

• Название: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
• Анкор: 4_Rabochaya_tetrad_po_FNP.pdf
• Дата: 28.02.2018
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: 4_Rabochaya_tetrad_po_FNP.pdf
• Тип: Задача; #16037
• страница: 5 из 9

4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
8 7
6
z
y
x
x
u
z
y
+
=
5. Вычислить
u
d
2 для функции
y
x
y
x
u
+
=
5 4
6. Вычислить
y′
и
y ′′
, если
( )
x
y
задана неявно:
)
ln(
y
x
y
−
=
7. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, если
( )
y
x
z
,
задана неявно:
z
e
z
y
x
=
+
+
8. Функции
(
)
y
x
u
,
и
(
)
y
x
v
,
заданы параметрически:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
1
=
⋅
=
⋅
x
e
x
y
e
y
v
x
u
Вычислить частные производные
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
a
x
y
z
tg
⋅
=
в точке
(
)
a
a
M
a
,
,
4
ѓО
0
10. Исследовать
y
x
xy
z
20 50
+
+
=
на экстремум при
0
,
0
>
> y
x
11. Найти значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно зависимостью
0 1
4 3
2 2
2
=
−
+
−
+
−
+
xz
xy
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 2
y
x
z
+
=
в области
100 2
2
≤
+ y
x
13. На сфере
1 2
2 2
=
+
+
z
y
x
найти точку, сумма квадратов расстояний до которой от
n
данных точек,
n
i
,...,
1
=
, была бы минимальной.

35
Вариант 5
1. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, если
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
+
−
y
x
y
x
y
x
x
y
z
1
arctg ctg
)
(
ln
3 2
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения
y
x
z
cos sin
⋅
=
при o
o o
o
1 60
,
2 30
±
=
±
=
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
функции
)
arcsin(
3 2
z
y
x
u
z
y
x
−
+
−
=
−
,
)
,
(
,
)
(
,)
(
s
t
z
z
t
y
y
s
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
z
xy
xy
z
u
−
+
⋅
=
1
)
sin(
5. Вычислить
u
d
2 для функции
y
x
xe
u
−
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, если
x
y
y arctg
=
7. Функция
( )
y
x
z ,
задана неявно: sin(
)
x y z
x
y
z
− +
=
+ +
2 3
Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Функции
(
)
y
x
u ,
и
(
)
y
x
v ,
заданы параметрически:
⎩
⎨
⎧
=
+
=
−
0 2
vu
ux
x
v
u
Вычислить частные производные
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
y
x
z
arctg
=
в точке
( )
4 0
,
1
,
1
π
M
10. Исследовать функцию
y
x
y
x
z
ln ln
18
−
2
−
+
=
2 2
на экстремум при
0
>
0
>
y
x
,
11. Найти значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно
0 3
6 2
2 2
2 2
2
=
−
−
+
−
+
+
+
xy
z
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
xy
y
x
z
+
+
=
2 2
в области
1
≤
+ y
x
13. Тело состоит из прямого кругового цилиндра, завершённого прямым конусом. При данной полной поверхности тела, равной
Q
, определить его измерения так, чтобы объём тела был бы наибольшим.

36
Вариант 6
1. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
для функции
)
(
arcsin
)
(tg cos
x
y
x
xy
z
y
x
3
−
+
=
3 1
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
3 2
+
=
y
x
z
при
,
,
,
02 0
±
11
=
01 0
±
4
=
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
для функции
)
ln(
x
z
e
u
y
x
z
−
+
=
+
, если
)
(
,
)
(
,
)
,
(
t
z
z
s
y
y
s
t
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
)
(
cos
z
y
x
xe
u
yz
−
+
−
=
5. Вычислить
u
d
2 для функции
x
e
u
y
x
⋅
=
−
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, если
y
x
y
x
y
−
−
=
)
sin(
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно: sin(
)
x z
z x y
+
=
+ −
3
Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Функции
(
)
y
x
u ,
и
(
)
y
x
v ,
заданы параметрически:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
+
2 2
y
e
y
v
xu
x
u
Вычислить частные производные
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
0
=
8
+
−
+
)
)(
(
z
xy
z
y
x
в точке
)
3
,
1
,
2
(
0
M
10. Исследовать функцию
y
x
xy
x
z
12 15 3
2 3
−
−
+
=
на экстремум.
11. Найти значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно зависимостью
0 6
2 2
2 2
2
=
−
+
−
+
+
+
yz
xy
x
y
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
y
x
z
2 4
2 2
−
+
=
при
1
≤
x
,
1 0
≤
−
≤
x
y
,
1 0
≤
+
≤
y
x
13. Найти прямоугольник данного периметра
p
2
, который вращением вокруг одной из сторон образует тело наибольшего объёма.

37
Вариант 7
1. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
для функции
)
(
arctg
))
ln(
(
tg
x
y
x
y
x
z
y
x
−
+
+
+
=
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
3 2
2
y
x
z
+
=
, если
03
,
0 1
,
02
,
0 2
±
=
±
=
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
для функции
)
sin(
arctg
2
y
x
u
x
z
+
+
=
, при
)
,
(
,
)
(
,
)
,
(
s
t
z
z
s
y
y
s
t
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
y
x
z
z
yx
u
−
2
−
=
)
(cos
5. Вычислить
u
d
2 для функции
x
y
x
u
)
cos(
−
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
заданной неявно
y e
x
xy
=
+
2
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно: ln(
)
x
y z
x z
−
+
= −
2
Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Функции
(
)
y
x
u ,
и
(
)
y
x
v ,
заданы параметрически:
⎩
⎨
⎧
2
=
=
x
vy
y
ux
)
cos(
)
sin(
. Вычислить
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
8
=
2
+
2
z
y
z
x
в точке
)
1
,
2
,
2
(
0
M
10. Исследовать функцию
z
x
xy
x
y
=
−
+
+
2 5
3 2
2 2
на экстремум.
11. Найти значения функции
(
)
y
x
z
,
, заданной неявно зависимостью
0 2
3 2
4 2
2 2
=
−
+
+
+
+
+
+
xy
z
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
x
z
2
+
=
в области
2
≤
+
≤
0 2
≤
≤
0 2
≤
≤
0
y
x
y
x
,
,
13. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с круглым поперечным сечением, поверхность которой равна
Q
, имеет наибольшую вместимость?

38
Вариант 8
1. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ для функции
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
+
y
x
y
x
x
y
z
1 4
1
)
cos(
arctg ctg
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения
1
+
=
y
x
z
при
05
,
0 3
,
01
,
0 2
±
=
±
=
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
для функции
( )
z
y
x
y
x
z
u
2
+
+
5
=
−
arccos
, при
)
,
(
,
)
(
)
(
t
s
z
z
s
y
y
t
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
z
x
y
x
yz
u
−
1
−
−
=
2
)
(sin
5. Вычислить
u
d
2 для функции
x
y
u
3 2
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, если
( )
2 1
−
+
=
x
y
y
x
tg
7. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
. функции
(
)
y
x
z
,
, если
x y
z e
xyz
− +
=
3
8. Функции
(
)
y
x
u
,
и
(
)
y
x
v
,
заданы параметрически:
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
3
=
2 2
1
−
y
v
y
x
u
x
u
. Вычислить
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
0
=
+
4
+
2 2
x
z
z
в точке
)
4
,
1
,
0
(
0
−
M
10. Исследовать функцию
)
(
2 2
2 2
)
2
(
y
x
e
y
x
z
+
−
+
=
на экстремум.
11. Найти значения функции
(
)
y
x
z
,
, заданной неявно зависимостью
0
=
4
−
+
−
+
3
+
+
3 2
2 2
xy
y
z
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
−
4
+
3
=
y
x
z
при
1 0
,
1 0
,
1 1
≤
+
≤
≤
−
≤
≤
≤
−
y
x
x
y
x
13. В полушар радиуса
R
вписать прямоугольный параллепипед наибольшего объёма.

39
Вариант 9
1. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, если
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
=
+ y
x
x
y
x
yx
z
1
arccos
)
(cos
2
ln
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
y
x
z
tg sin
2
⋅
=
при
03
,
0
,
02
,
0 4
2
±
=
±
=
π
π
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
для функции
x
z
z
y
x
e
u
tg
2
+
=
−
при
)
(
,
)
(
,
)
,
(
s
z
z
t
y
y
s
t
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
z
y
x
z
xy
u
−
−
+
−
=
2 1
2
)
(
ln
5. Вычислить
u
d
2 для функции
xy
e
x
y
u
−
=
4 5
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно
y
x
x
y
−
⋅
=
arcsin
7. Функция
( )
y
x
z
,
задана неявно зависимостью:
x
y
z
z
y
x
+
−
=
+
−
2 2
. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Вычислить
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
, если:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
−
2 1
vx
e
vy
e
y
u
x
u
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
y
x
y
xy
x
z
2 2
2 2
+
−
+
−
=
в точке
)
1
,
1
,
1
(
0
M
10. Исследовать функцию
2 2
)
1
(
−
+
=
y
x
z
на экстремум.
11. Найти значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно зависимостью
0 2
2 4
2 2
=
−
−
−
+
+
+
+
yz
xz
xy
z
y
z
y
x
, в стационарных точках.