Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 2 2 y x z − = в области 16 2 2 ≤ + y x 13. В данный прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма. 40 Вариант 10 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если x y x y x y x z + 2 3 + − = 2 arctg )) (ln( sin 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения 2 2 y x z + = при 05 , 0 4 ± = x , 07 , 0 3 ± = y 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции ( ) ) ln( sin z y x u y x z − + − = 2 1 + 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции yz x u z y x − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 tg 5. Вычислить u d 2 ля функции ) 2 ( sin 2 y x u − = 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно ( ) 2 2 + + = y x y x y cos 7. Функция ( ) y x z , задана неявно: x y z z y x − 2 + = + − ) sin( Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Функции ( ) y x u , и ( ) y x v , заданы параметрически: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 = 2 0 = − y v x u vy ux Вычислить частные производные x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 2 2 1 y x z + + = в точке. ) 3 , 1 , 1 ( 0 M 10. Исследовать функцию 2 ) 1 ( + − = y x z на экстремум. 11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью 0 8 2 2 2 2 = + + − − − + + xz z x y z y x , в стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 2 − = x y z в области 9 ≤ + 2 2 y x 13. Данное положительное число a разложить на три слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. 41 Вариант 11 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если 2 arccos ) (tg ln y x y x y x y x z − − − − = 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения xy e y x z ) ( + = при 2 , 0 1 ± = x , 01 , 0 1 ± = y 3. Написать формулы для t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ , если ) sin( ) ln( 2 1 y z x z y x u + − − + − = при ) (t x x = , ) (s y y = , ) , ( s t z z = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции y x z xyz u − 5 1 2 − = ) ( cos 5. Вычислить дифференциал второго порядка для функции 2 2 + = y x e u 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно 2 2 − + = x y xy y ) sin( 7. Функция ( ) y x z , задана неявно зависимостью: z y x z y x + − 2 = − − ) ln( . Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = + 0 1 2 x v y u yv xu 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 1 2 2 2 − = − + z y x в точке ) 3 , 2 , 2 ( 0 M 10. Исследовать функцию y x y xy x z 6 3 2 2 − − + + = на экстремум. 11. Вычислить значения функции ( ) y x z , , заданной зависимостью 0 4 4 10 2 2 = + + + − + yz xz z y x , во всех стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции xy y x z 2 − + = 2 2 в области 1 ≤ + y x 13. На плоскости даны три точки ( ) 1 1 , y x , ( ) 2 2 , y x , ( ) 3 3 , y x с массами 1 m , 2 m , 3 m . При каком положении точки ( ) y x P , момент инерции системы относительно этой точки будет наименьшим. 42 Вариант 12 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + x y x xy y x z arcsin ctg ) sin( 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции 2 , 0 1 , 1 , 0 при , ln ± = ± = = x e y x y x z 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции ( ) x y z y x e u − + = 27 + cos при ) , ( , ) ( , ) , ( s t z z t y y s t x x = = = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции ) ( sin 2 2 − − − = 2 z xy u z y xy 5. Вычислить u d 2 , если y x x u − = 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно x y e x y ⋅ = 2 3 1 7. Функция ( ) y x z , задана неявно зависимостью: x z y x z − + = − 3 ) cos( . Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ . 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = + 3 2 v y u x uy vx 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности ) ln( 2 2 + = y x z в точке ) , , ( 0 0 1 0 M 10. Исследовать функцию ) 3 6 8 ( 2 2 3 2 y xy x e z y x + − = + на экстремум. 11. Вычислить значения функции ( ) y x z , , заданной зависимостью 0 2 6 4 2 2 = + + + − + yz xy x z x , во всех стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции x y z − = в области 1 0 , 0 1 ≤ ≤ ≤ ≤ − y x 13. В эллипсоид 1 9 1 4 2 2 2 = + + z y x вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма. 43 Вариант 13 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если x y x xy y x z + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = arctg cos 2 1 tg 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении x e z y sin ⋅ = при 02 , 0 1 , 01 , 0 2 ± = ± = π y x 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции ) ln( 3 z y x z u y x − + + = − при ) , ( , ) , ( ,) , ( s t z z s t y y s t x x = = = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции z y x yz x u 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + + = 2 ) ( sin 5. Вычислить u d 2 для функции y x e y x u + + = ) ( 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно ) ln( 2 y x x y − ⋅ = 7. Функция ( ) y x z , задана неявно зависимостью: e z x y z x − = + + 2 2 2 . Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если: ⎩ ⎨ ⎧ = − = − xu y v yv u x ) sin( ) cos( 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением x y z arctg = в точке ) , 1 , 1 ( 4 0 π M 10. Исследовать функцию ) ln( 2 2 y x xy z + = на экстремум. 11. Вычислить значения функции ( ) y x z , , заданной неявно зависимостью 0 2 2 2 2 2 = + − − + + + yz z y x z y x , во всех стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 , 2 2 ≤ + − = y x y x z в области 2 ≤ + y x 13. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длины рёбер a 12 , найти параллелепипед с наибольшим объёмом. 44 Вариант 14 1. Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ для функции ( ) ) ( arccos sin ln x y x z y x y x − − 2 − = 2 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения xy x z 2 + = 2 , при 2 0 ± 15 = 01 0 ± 2 = , , , y x 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции ( ) zx y z y x e u − 4 1 + − = tg 4. Вычислить все производные второго порядка для функции xy xy yz z y x u + + = 5. Вычислить u d 2 для функции ) sin( ) ( xy y x u 2 − = 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно: x y x y arctg 2 2 1 ⋅ = 7. Функция ( ) y x z , задана неявно зависимостью: 2 2 2 4 z y x z y + + = − . Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ = ⋅ 2 1 x v y u e y e x 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением y x y z ln + = в точке ) , , ( 1 1 1 0 M 10. Исследовать функцию ) ( 2 2 2 2 ) ( y x e y x z + − + = на экстремум. 11. Вычислить значения ( ) y x z , заданной неявно зависимостью 0 3 3 2 2 2 2 = + − − + + + yz z x z y y x , в стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции x y x z − + = 2 2 2 в области 0 , 100 2 2 ≥ ≤ + y y x 13. Внутри четырёхугольника найти точку, сумма квадратов расстояний до которой от вершин была бы наименьшей. 45 Вариант 15 1. Найти x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если [ ] ( ) x x y x y x y z 2 4 1 sin arctg ) ( cos − − − − = 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции 4 , 0 4 , 3 , 0 3 при , ± = ± = − = y x z y x x y 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции x y z x u arctg ) 2 ( ln 5 1 + − = при ) , ( ), ( ,) ( s t z z t y y s x x = = = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции y x z z xy u 2 2 ) ( sin − + − = 5. Вычислить дифференциал второго порядка для функции y x e y x u ) ( + = 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно ) cos( 2 2 xy y x y ⋅ − = 7. Функция ( ) y x z , задана неявно зависимостью: z y x z y x − + = + − ) 2 sin( . Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если ⎩ ⎨ ⎧ = − = + y vx u vy ux 2 |