Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

• Название: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
• Анкор: 4_Rabochaya_tetrad_po_FNP.pdf
• Дата: 28.02.2018
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: 4_Rabochaya_tetrad_po_FNP.pdf
• Тип: Задача; #16037
• страница: 8 из 9

5. Вычислить
u
d
2 для функции
y
x
e
y
x
u
)
(
−
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, если
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
1 1
x
y
x
y
arctg
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно зависимостью
0
=
+
−
+
+
−
3 2
2
y
z
x
z
y
x
)
(
cos
. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ .
8. Вычислить
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
, если
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
=
2
x
e
y
e
y
u
x
v
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
0
=
1
+
+
2
−
x
y
x
z
ln в точке
)
1
,
1
,
1
(
0
M
10. Исследовать функцию
)
(
y
x
y
x
z
+
−
2
=
2
на экстремум.
11. Вычислить значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно зависимостью
0 1
2 2
4 2
2 2
=
+
+
−
+
+
+
yz
y
x
z
y
x
, во всех стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 2
y
x
x
z
+
−
=
в области
9 2
2
≤
+ y
x
13. На гиперболе
4 2
2
=
− y
x
найти точку, наименее удалённую от точки
( )
2
,
0
P

52
Вариант 22
1. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ , если
( )
xy
y
x
y
x
x
y
z
2
)
(
ln arcsin sin
−
+
+
=
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
2 2
y
x
z
−
=
при
05
,
0 4
;
1
,
0 5
±
=
±
=
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
для функции
( )
)
,
(
,
)
(
,
)
(
если
,
cos
s
t
z
z
t
y
y
s
x
x
e
u
y
z
x
x
y
xz
=
=
=
−
=
+
−
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции:
xyz
z
y
x
u
4
−
−
=
4 3
2
5. Вычислить
u
d
2 для функции
)
(
cos
y
x
u
2
−
=
2
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно:
x
y
e
y
x
y
⋅
−
=
3
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно:
2 2
−
3
+
=
−
2
+
z
y
x
z
y
x
)
ln(
Вычислить частные производные
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ .
8. Вычислить
x
u
∂
∂ ,
y
u
∂
∂ ,
x
v
∂
∂ и
y
v
∂
∂ , если
⎩
⎨
⎧
=
=
−
x
vy
y
x
u
)
sin(
2
)
cos(
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
0
=
3
−
+
+
2 2
2
z
y
x
в точке
)
1
,
1
,
1
(
0
M
10. Исследовать функцию на экстремум
2 2
)
1
(
2
+
+
−
=
y
x
x
z
11. Вычислить значения функции
(
)
y
x
z
,
, заданной неявно зависимостью
0 2
2 2
2 2
=
+
+
+
−
+
+
yz
y
x
z
y
x
, во всех стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
x
z
3
−
5
=
в области
4
,
,
≤
−
≥
≥
y
x
y
x
y
13. В эллипс
12 3
2 2
=
+ y
x
вписать равнобедренный треугольник с основанием, параллельным большой оси эллипса так, чтобы площадь треугольника была наибольшей.

53
Вариант 23
1. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ , если
3 2
4 1
)
(
sin arccos tg
y
y
x
xy
y
x
z
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
y
x
y
z
ln
=
при
1
,
0
;
05
,
0 1
±
=
±
=
e
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
( )
)
ln(
sin
4 1
y
x
z
u
z
x
y
−
+
=
+
при
)
(
,
)
,
(
,
)
(
t
z
z
s
t
y
y
s
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции:
)
sin(
z
x
y
z
u
x
y
−
−
=
5. Вычислить
u
d
2 для функции
)
(
sin xy
u
2 3
1
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно:
x
y
y
x
y
tg
=
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно:
z
y
x
z
y
x
2
−
+
2 4
=
+
−
3
Вычислить частные производные
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ .
8. Вычислить
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
, если
⎩
⎨
⎧
3
=
+
2
=
−
yu
v
xv
u
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
0 2
)
(
)
(
)
(
=
−
+
+
−
+
−
y
x
z
z
x
y
y
x
x
в точке
(
)
1
,
0
,
1 0
M
10. Исследовать функцию
x
y
x
y
z
−
+
+
=
2 2
3
на экстремум.
11. Вычислить значения функции
(
)
y
x
z
,
, заданной неявно зависимостью
0 4
3 2
2 2
=
+
−
+
+
+
+
xz
y
x
z
y
x
, во всех стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
x
y
x
z
+
−
+
=
4 2
2 2
в области
4 4
2 2
≤
+ y
x
13. На параболе
x
y
4
=
2
найти точку, наименее удалённую от прямой
0
=
4
+
− y
x

54
Вариант 24
1. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ , если
( )
x
x
y
x
y
x
y
z
2 2
1
ln
2
arcsin ctg
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
y
e
z
x
cos
=
при
01
,
0
;,
05
,
0 1
4
±
=
±
=
π
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
2 3
arctg
)
(
cos
5 1
y
x
z
yz
x
u
если
)
(
,
)
,
(
,
)
(
s
z
z
s
t
y
y
t
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
z
y
x
xy
z
u
−
⋅
−
=
2 1
)
(cos
5. Вычислить
u
d
2 для функции
x
y
e
y
x
u
2
+
=
)
(
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно:
)
(
sin yx
x
y
2 3
=
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно.
z
y
x
z
x
y
2 5
)
(
ln
−
+
=
+
−
Вычислить частные производные
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ .
8. Вычислить
x
u
∂
∂ ,
y
u
∂
∂ ,
x
v
∂
∂ и
y
v
∂
∂ , если
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
x
e
y
xu
y
v
3
)
sin(
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
6 4
2 2
3 2
2 2
2
=
+
+
+
+
+
yz
xz
xy
z
y
x
в точке
)
1
,
0
,
1
(
0
M
10. Исследовать функцию
)
2
(
2
y
x
e
z
y
x
+
=
−
на экстремум.
11. Вычислить значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно зависимостью
0
=
3
+
+
+
+
+
2
+
3 2
2 2
yz
xy
z
z
y
x
, во всех стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
x
y
x
z
−
+
−
=
5 2
2 2
1
в области
1 0
,
1 0
≤
≤
≤
≤
y
x
13. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса
R
, чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.

55
Вариант 25
1. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ для функции
y
x
xy
xy
xy
z
3 2
)
(
tg arctg
))
1
(
(cos
−
−
−
=
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
3 3
2 2
2
+
−
=
y
x
z
, при
1
,
0 3
±
=
x
,
2
,
0 2
±
=
y
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
( )
( )
y
x
z
x
z
y
u
−
−
=
2 2
1 1
tg
)
(
,
)
,
(
,
)
,
(
t
z
z
s
t
y
y
s
t
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
z
x
y
x
y
x
u
3
sin
3 2
−
−
=
5. Вычислить
u
d
2 для функции
)
cos(
)
(
xy
y
x
u
+
2
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, если
y
x
x
y
−
=
1 2
arcctg
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно
z
y
x
y
z
−
−
=
−
2 5
1
. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ .
8. Вычислить
x
u
∂
∂ ,
y
u
∂
∂ ,
x
v
∂
∂ и
y
v
∂
∂ , если
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
−
u
x
vy
x
u
2 0
2
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
1 16 9
4 2
2 2
=
+
+
z
y
x
в точке
(
)
4 0
0 0
,
,
M
10. Исследовать функцию
y
x
xy
x
y
z
−
+
−
+
=
2 2
2
на экстремум.
11. Вычислить значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной зависимостью
0 2
2 4
2 2
2
=
+
+
−
+
+
+
z
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
x
z
2 3
4
+
−
=
в области
9 2
2
≤
+ y
x
13. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершённый сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объём его равен
V

56
Вариант 26
1. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, если
(
)
y
y
x
x
y
y
x
z
−
−
−
=
arctg
)
ln(
2 1
tg
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
y
x
z
2
=
cos sin при
1 0
,
05 0
6 2
±
=
±
=
π
π
y
x
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
для функции
)
(
,
)
(
,
)
,
(
если
,
cos
2
s
z
z
t
y
y
s
t
x
x
u
y
x
z
z
e
x
y
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
−
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
( )
x
y
z
x
xy
u
−
−
−
=
2 1
tg
5. Вычислить
u
d
2 для функции
)
sin(
)
(
y
x
y
x
u
−
2
−
3
=
6. Вычислить
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, если
)
(
sin xy
x
y
y
−
=
7. Функция
(
)
y
x
z ,
задана неявно:
( )
z
x
z
y
x
+
2 1
2
=
+
−
)
(
cos
Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
8. Вычислить
x
u
∂
∂ ,
y
u
∂
∂ ,
x
v
∂
∂ и
y
v
∂
∂ , если:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
1 0
y
v
x
u
vy
ux
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
1
)
(
3 1
=
+
+
z
y
x
в точке
(
)
1
,
1
,
1 0
M
10. Исследовать функцию
)
4
(
3 2
x
y
x
y
z
−
−
=
на экстремум.
11. Вычислить значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно зависимостью
0
=
4
−
+
−
+
3
+
+
2 2
2 2
yz
xz
y
z
y
x
, во всех стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
xy
y
x
z
−
4
+
2
=
2 2
в области
0
≤
≤
1
−
1
≤
≤
0
y
x
,
13. На параболе
1
+
2
=
2
x
y
найти точку, наименее удалённую от точки
(
)
0 10,
P

57