Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Вариант 27 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если xy z y x y x + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 1 arccos ctg ) ( ln 3 3 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции y x z = , если 4 , 0 2 , 1 , 0 3 ± = ± = y x 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции ( ) x y z z y x u − − = − 3 2 2 sin , если ) ( , ) , ( , ) , ( t z z s t y y s t x x = = = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции 3 2 − 2 − = z y x yz x u ) ( cos 5. Вычислить u d 2 для функции ( ) ( ) 2 2 − = y x u x y cos 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно 2 2 2 y x e y xy + = 7. Функция ( ) y x z , задана неявно:. z y x x z y 3 + − = 2 − − 2 ) ( ln Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если: ⎩ ⎨ ⎧ − = + 1 = x v uy y xv ) cos( ) sin( 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением 1 = − + + 2 2 2 xy z y x в точке ( ) 0 , 1 , 1 0 M 10. Исследовать функцию xy y x z 6 − + = 3 3 на экстремум 11. Вычислить значения функции ( ) y x z , , заданной неявно зависимостью 0 4 8 2 2 2 = + − + + + z xz z y x , в стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x z − − 10 = в области 64 2 2 ≤ + y x 13. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна. 58 Вариант 28 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если y x x xy x y z − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 4 1 ) ( cos arcctg tg 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции y x z tg ctg − = , при 1 0 , 01 0 4 4 ± = ± = π π y x 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции ( ) y x z xy z e u + − − = cos 2 , если ) , ( , ) ( , ) ( s t z z t y y s x x = = = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции ( ) 3 2 − 1 − = xyz z u x y sin 5. Вычислить u d 2 для функции ( ) 2 − 2 − = y x e u y x 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно y x xy y − 1 = ) sin( 7. Функция ( ) y x z , задана неявно: x y z x z y 4 + − 1 2 = − ) ( ln Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − 1 = − x e e vx uy v y x u 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности y e e z z x y x − + = в точке ( ) 1 , 1 , 0 0 M 10. Исследовать функцию 2 2 1 y x z + − = на экстремум. 11. Вычислить значения функции ( ) y x z , , заданной неявно зависимостью 0 6 6 2 2 2 2 2 = + − + + + z yz z y x во всех стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ) y x z , заданной неявно 2 2 5 − = 2 + y x z , в области 0 ≤ − 2 ≤ ≤ 0 x y x , 13. В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объёма. 59 Вариант 29 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если ( ) y x y xy y x z − + − = arccos ) ln( 2 1 sin 2 2 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции y x z ln = , при 01 , 0 1 ; 1 , 0 ± = ± = y e x 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ функции ( ) z y x z y x u 2 2 sin 2 2 1 ) ln( + + + − = , при ) , ( , ) , ( , ) ( s t z z s t y y t x x = = = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции 2 − 2 − − = z y x z xy u ) ( cos 5. Вычислить u d 2 для функции ( ) ( ) 2 2 sin y x u y x + = 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , если 2 2 − 2 = y x y xy 7. Функция ( ) y x z , задана неявно зависимостью 2 2 2 ) 3 2 ( cos z y x z x y + + = − + . Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = x u v y vy xu ) ( sin ) ( cos 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 3 2 2 2 = + + − + + xz z yz xy y x в точке ( ) 0 , 1 , 1 0 M 10. Исследовать функцию ) ( 2 2 2 + 2 + − = y xy x e z y x на экстремум. 11. Вычислить значения функции ( ) y x z , , заданной зависимостью 0 2 2 4 4 2 2 2 = + − + + + z xz z y x , в стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ) y x z , , заданной неявно y x z 4 5 4 + = − , в области 4 2 2 ≤ + y x 13. В прямой круговой конус с углом α 2 в осевом сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью. 60 Вариант 30 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если [ ] xy y x y x xy z − − − = tg ) cos( 3 1 ln 2 2 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции y x z cos sin + = , при 2 0 , 1 0 3 6 ± = ± = π π y x 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции y x z z y x e u 2 4 1 cos 2 − + − + = , если ) ( , ) ( , ) , ( t z z s y y s t x x = = = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции ) ( sin 2 3 2 xyz u z y x − = − 5. Вычислить u d 2 для функции ) 4 ( 3 2 y x e u y x − = − 6. Вычислить y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = y x x y arctg 2 7. Функция ( ) y x z , задана неявно ) ( sin 2 zx x y z + − = . Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ , если ⎩ ⎨ ⎧ = = − ) ( sin ) ( cos 2 vy ux vx uy 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности ( ) 0 ln 2 = − + + y z z y x в точке ( ) 1 , 1 , 1 0 M 10. Исследовать функцию 2 2 1 − 2 + 3 = ) ( x y z на экстремум/ 11. Вычислить значения функции ( ) y x z , , заданной зависимостью 0 2 4 2 2 2 2 2 = − + + + + z xz z y x , в стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ) y x z , , заданной неявно y y x x z 4 − + + = 1 + 2 2 , в области 1 ≤ − 0 ≤ ≤ 1 − x y x , 13. Найти наименьшее значение суммы m -й и n -й степеней ( ) 0 > 0 > n m , двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно a 61 Приложение Таблица производных основных элементарных функций ( ) 1 − α α α = ′ x x ( ) x x 2 cos 1 tg = ′ ( ) 1 = ′ x ( ) x x 2 sin 1 ctg − = ′ ( ) x x 2 1 = ′ ( ) 2 1 1 arcsin x x − = ′ 2 2 1 1 x x − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) 2 1 1 cos arc x x − − = ′ ( ) x x e e = ′ ( ) 2 1 1 arctg x x + = ′ ( ) a a a x x ln ⋅ = ′ ( ) 2 1 1 arcctg x x + − = ′ ( ) x x 1 ln = ′ ( ) x x ch sh = ′ ( ) a x x a ln 1 log = ′ ( ) x x sh ch = ′ ( ) x x cos sin = ′ ( ) x x 2 ch 1 th = ′ ( ) x x sin cos − = ′ ( ) x x 2 sh 1 cth − = ′ Правила дифференцирования 1. ( ) 0 = ′ c ; 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g x f ′ ± ′ = ′ ± ; 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g x f x g x f ′ ⋅ + ⋅ ′ = ′ ⋅ ; 62 4. ( ) ( ) ( ) x f c x f c ′ ⋅ = ′ ⋅ ; 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x g x f x g x f x g x f 2 ′ ⋅ − ⋅ ′ = ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ; 6. ( ) ( ) ( ) x u x x u f x u f y ′ ⋅ ′ = ′ = ′ Формулы Крамера Решение линейной системы ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 2 22 21 1 12 11 b x a y a b y a x a , у которой определитель 0 22 21 12 11 ≠ = Δ a a a a , вычисляется по формулам Δ Δ = 1 x , Δ Δ = 2 y , где 22 2 12 1 1 a b a b = Δ и 2 21 1 11 2 b a b a = Δ Нормальное уравнение прямой α p x y x y O N P Рис. 5. Если вектор OP , модуль которого равен p перпендикулярен прямой и образует угол α с осью Ox (рис. 5), то, выбирая на 63 прямой произвольную точку ( ) y x N , и вычислив проекцию вектора { } y x ON , = на вектор { } α α = sin , cos p p OP , получим ( ) p p py px OP OP ON ON = α + α = = sin cos , Пр OP , или p y x = α + α sin cos Перенося все слагаемые в левую часть, получим уравнение 0 sin cos = − α + α p y x , в котором p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, α - угол, который составляет этот перпендикуляр с осью Ox . Это уравнение называется нормальным уравнением прямой. Чтобы привести уравнение прямой 0 = + + C By Ax к нормальному виду, следует разделить обе его части на число 2 2 B A n + ± = , т.е. записать в виде 0 2 2 2 2 2 2 = + ± + + + B A C y B A B x B A A Знак ± выбирается противоположным знаку C Расстояние от точки до прямой Если уравнение прямой приведено к нормальному виду 0 sin cos = − α + α p y x , то расстояние от точки ( ) y x M , до этой прямой определяется по формуле p y x r − α + α = sin cos Поскольку ( ) ( ) p r p r p y r p x p OM r − + α + + α + = − = sin cos Пр OK , или p y x r − α + α = sin cos (рис. 6). 64 α p r x y M x y K O Рис. 6. Формула p y x r − α + α = sin cos получена при условии, что точка M и начало координат находятся по разные стороны от прямой (рис. 6). Если точка M и начало координат находятся по одну сторону от прямой, то α − α − = sin cos y x p r При любом расположении точки M справедливо p y x r − α + α = sin cos |