Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
![]()
|
2. Исследование функции на границе области – задача условного экстремума функции xy z = при условии 1 2 2 = + y x . Функция Лагранжа имеет вид ( ) ( ) 1 , , 2 2 − + λ + = λ y x xy y x L . Стационарные точки определяются из системы ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = λ + = ∂ ∂ = λ + = ∂ ∂ 1 0 2 0 2 2 2 y x y x y L x y x L Вычитая из первого уравнения второе, получим: ( ) ( ) 0 2 = − λ − − x y x y , ( )( ) 0 2 1 = λ − − x y 27 Подставляя x y = в третье уравнение, получим точки: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 ; 2 1 2 M и ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 1 ; 2 1 3 M . Не выясняя, будет ли в этих точках экстремум, вычислим: ( ) ( ) 2 1 3 2 = = M z M z При 2 1 = λ x y − = . Подставляя это в третье уравнение, получим точки ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 ; 2 1 4 M и ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 ; 2 1 5 M . Значения функции в этих точках равны: ( ) ( ) 2 1 5 4 − = = M z M z Следовательно, наибольшее значение функции равно 2 1 = наиб z в точках ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 ; 2 1 2 M и ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 1 ; 2 1 3 M , а наименьшее 2 1 − = наим z в стационарных точках ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 ; 2 1 4 M и ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 ; 2 1 5 M Решение задачи 13.1 Обозначим длины ребер прямоугольного параллелепипеда через y x , и z (рис. 3). Тогда его объем можно вычислить по формуле xyz V = По условию a z y x 12 = + + . Выразим из этого равенства y x a z − − = 12 и подставим в формулу для объема. Получим ( ) 2 2 12 12 xy y x axy y x a xy V − − = − − = 28 x y z Рис. 3. Исследуем функцию ( ) y x V , на экстремум. Стационарная точка определяется из системы: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − = ∂ ∂ = − − = ∂ ∂ 0 2 12 0 2 12 2 2 x xy ax y V y xy ay x V Поскольку 0 ≠ x и 0 ≠ y , то ⎩ ⎨ ⎧ = − − = − − 0 2 12 0 2 12 x y a y x a , или a y x 4 = = Вычислим вторые производные в стационарной точке ( ) a a M 4 , 4 y x V 2 2 2 − = ∂ ∂ , x y V 2 2 2 − = ∂ ∂ , y x a y x V 2 2 12 2 − − = ∂ ∂ ∂ ( ) a M x V A 8 2 2 − = ∂ ∂ = , ( ) a M y V С 8 2 2 − = ∂ ∂ = , ( ) a M y x V B 4 2 − = ∂ ∂ ∂ = Определитель 0 48 16 64 2 2 2 2 > = − = − = Δ a a a B AC Следовательно, в точке M есть экстремум, а так как 0 < A и 0 < C , то это максимум. Поскольку максимум единственный, то это наибольшее значение. Значит, наибольший объем будет иметь параллелепипед с равными длинами ребер: a z y x 4 = = = Решение задачи 13.2 Приведем уравнение прямой 16 9 4 = + y x к нормальному виду (см. приложение). Для этого разделим обе его части на число 97 9 4 2 2 = + = n . Получим 29 0 9 16 97 9 97 4 = − + y x Для расстояния от точки ( ) y x M , до этой прямой справедлива формула (см. приложение): 97 16 97 9 97 4 − + = y x r Все точки эллипса и начало координат находятся по одну сторону от прямой (рис. 4), значит под знаком модуля отрицательное число. Тогда 97 16 97 9 97 4 + − − = y x r Исследуем на условный экстремум функцию ( ) 97 16 97 9 97 4 , + − − = y x y x z при условии 9 9 2 2 = + y x Функция Лагранжа имеет вид: ( ) ( ) 9 9 97 16 97 9 97 4 , , 2 2 − + λ + + − − = λ y x y x y x L Рис. 4. Для стационарных точек справедлива система ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = λ + − = ∂ ∂ = λ + − = ∂ ∂ 9 9 0 18 97 9 0 2 97 4 2 2 y x y y L x x L 30 Из первых двух уравнений системы: λ = λ = 97 2 1 , 97 2 y x Подставив эти выражения в третье уравнение, найдем множители Лагранжа 97 6 5 ± = λ и определим 5 12 ± = x и 5 3 ± = y Стационарные точки: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5 3 ; 5 12 1 M при 97 6 5 = λ и ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 5 3 ; 5 12 2 M при 97 6 5 − = λ Используем достаточные условия условного экстремума. Поскольку x x 2 = ϕ′ , y y 18 = ϕ′ , λ = ∂ ∂ 2 2 2 x L , λ = ∂ ∂ 18 2 2 y L , а 0 2 = ∂ ∂ ∂ y x L , то определитель ( ) 2 2 2 2 9 72 72 648 18 0 18 0 2 2 18 2 0 x y x y y x y x + λ − = λ − λ − = λ λ = Δ Следовательно, функция имеет условный минимум при 0 97 6 5 > = λ и условный максимум при 0 97 6 5 < − = λ Следовательно, точка ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5 3 ; 5 12 1 M наименее удалена от данной прямой, а точка ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 5 3 ; 5 12 2 M наиболее удалена. 31 Вариант 1 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если ( ) xy xy z y x − + = 1 arcsin sin tg 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции y x z arctg = при 02 , 0 1 ± = x , 03 , 0 1 ± = y 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ для функции z y x e u z y x 2 3 arctg + = + , если ) ( , ) ( , ) , ( t z z t y y s t x x = = = 4. Найти все производные второго порядка для функции z x y x y z z y x u 2 4 3 4 2 3 + + = 5. Вычислить u d 2 для функции y x u = 6. Вычислить y′ для функции ( ) x y , заданной неявно x y x y arctg 2 = 7. Найти частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ для функции ( ) y x z , , заданной неявно z y x z y x + + = + + ) ( ln 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ для функций ( ) y x u , и ( ) y x v , , заданных параметрически ⎩ ⎨ ⎧ = − = + 0 v y u x v u 9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением 0 16 2 3 2 2 2 2 = + − + + − + xz yz xy z y x в точке ( ) 3 2 1 0 , , M 10. Исследовать на экстремум функцию ( ) y x e z y x + 2 − 5 = − 2 11. Найти значения функции ( ) y x z , , заданной зависимостью 0 = 8 + − 8 + + 2 + 2 2 2 2 z xz z y x , в стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 27 + 9 − + = 3 3 xy y x z в области 4 0 ≤ ≤ x , 4 ≤ ≤ 0 y 13. Положительное число a разложить на n положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных их величин была наименьшей. 32 Вариант 2 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ , если: 1 arctg 2 1 tg cos − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = y x y x z xy 2. Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении значения функции y x z 3 1 + = при 1 0 ± 7 = x , 1 0 ± 9 = y 3. Написать формулы для производных t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ функции y x z z y x u − + + − = 2 ) ( sin , где ) , ( , ) ( , ) ( s t z z t y y t x x = = = 4. Найти все частные производные второго порядка для функции 3 5 4 2 + + + = y x z z y x u ) ( ln 5. Найти u d 2 для функции y x e y x u + 2 − = ) ( 6. Найти y′ и y ′′ для функции ( ) x y , заданной неявно ) ( sin 1 3 2 xy x y − ⋅ = 7. Найти частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ для функции ( ) y x z , , заданной неявно z x z y x + = + + 2 ) ( sin 8. Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ для функций ( ) y x u , и ( ) y x v , , заданных параметрически ⎩ ⎨ ⎧ 1 = + 0 = − v x u y v y u x 9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности y x z cos sin = в точке ( ) 2 1 4 π 4 π 0 , , M 10. Исследовать на экстремум функцию ) ( y x y x z − − 1 = 2 при 0 > x , 0 > y 11. Найти значения функции ( ) y x z , , заданной неявно 0 10 4 2 2 2 2 2 = − − + − + + z y x z y x , в стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 3 2 − − = y x z в области 1 0 , 1 0 , 1 0 ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ y x y x 13. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность. 33 Вариант 3 1. Вычислить x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ для функции: y x xy z y x − + = + arcsin ) (sin ) ( ln 2 2 2. Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении значения функции y x z = , при 3 , 0 3 , 1 , 0 2 ± = ± = y x 3. Вычислить t u ∂ ∂ и s u ∂ ∂ , если ( ) x y z y x u ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + 3 1 cos 4 1 , ( ) ) ( , , , ) ( s z z s t y y t x x = = = 4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции 7 6 5 5 1 − + = 3 2 z y x e u z y x 5. Вычислить u d 2 для функции y x e y x u − + = ) 2 ( 6. Вычислить y′ и y ′′ , если ( ) x y задана неявно: x y x tg y − = 1 3 2 7. Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ функции ( ) y x z , , заданной неявно: y z e z y x − = + + 8. Функции ( ) y x u , и ( ) y x v , заданы параметрически: xv u y u yv − = − = ⎧ ⎨ ⎩ 0 Вычислить частные производные x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ 9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности y e z x cos ⋅ = в точке ) , , 1 ( 0 e M − π 10. Исследовать функцию y y x x z 4 3 3 2 3 2 + + − = на экстремум. 11. Найти значения функции ( ) y x z z , = , заданной неявно 0 10 4 2 2 2 2 2 = − − + − + + z y x z y x , в стационарных точках. 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x y x z 16 12 2 2 + − + = при 25 2 2 ≤ + y x 13. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, поверхность которой равна S, имеет наибольшую вместимость? 34 Вариант 4 1. Вычислить частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ для функции xy xy z y x − + = + 1 arccos ) (cos 4 1 ) ( ln 2 2. Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении значения функции 2 2 y x z + = при 05 , 0 4 ; 1 , 0 3 ± = ± = y x 3. Вычислить t u ∂ ∂ , s u ∂ ∂ , если ( ) 2 4 3 tg 2 z y x u y x z + = − , ( ) ( ) ( ) t z z s t y y s x x = = = , , , |