Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

• Название: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
• Анкор: 4_Rabochaya_tetrad_po_FNP.pdf
• Дата: 28.02.2018
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: 4_Rabochaya_tetrad_po_FNP.pdf
• Тип: Задача; #16037
• страница: 4 из 9

2. Исследование функции на границе области – задача условного экстремума функции
xy
z
=
при условии
1 2
2
=
+ y
x
. Функция
Лагранжа имеет вид
(
)
(
)
1
,
,
2 2
−
+
λ
+
=
λ
y
x
xy
y
x
L
. Стационарные точки определяются из системы
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=
λ
+
=
∂
∂
=
λ
+
=
∂
∂
1 0
2 0
2 2
2
y
x
y
x
y
L
x
y
x
L
Вычитая из первого уравнения второе, получим:
(
)
(
)
0 2
=
−
λ
−
−
x
y
x
y
,
(
)(
)
0 2
1
=
λ
−
− x
y

27
Подставляя
x
y
=
в третье уравнение, получим точки:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2 1
;
2 1
2
M
и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
2 1
;
2 1
3
M
. Не выясняя, будет ли в этих точках экстремум, вычислим:
( ) ( )
2 1
3 2
=
= M
z
M
z
При
2 1
=
λ
x
y
−
=
. Подставляя это в третье уравнение, получим точки
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2 1
;
2 1
4
M
и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2 1
;
2 1
5
M
. Значения функции в этих точках равны:
( ) ( )
2 1
5 4
−
=
= M
z
M
z
Следовательно, наибольшее значение функции равно
2 1
=
наиб
z
в точках
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2 1
;
2 1
2
M
и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
2 1
;
2 1
3
M
, а наименьшее
2 1
−
=
наим
z
в стационарных точках
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2 1
;
2 1
4
M
и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2 1
;
2 1
5
M
Решение задачи 13.1
Обозначим длины ребер прямоугольного параллелепипеда через
y
x
,
и
z
(рис. 3). Тогда его объем можно вычислить по формуле
xyz
V
=
По условию
a
z
y
x
12
=
+
+
. Выразим из этого равенства
y
x
a
z
−
−
= 12
и подставим в формулу для объема. Получим
(
)
2 2
12 12
xy
y
x
axy
y
x
a
xy
V
−
−
=
−
−
=

28
x
y
z
Рис. 3.
Исследуем функцию
( )
y
x
V
,
на экстремум. Стационарная точка определяется из системы:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
−
=
∂
∂
=
−
−
=
∂
∂
0 2
12 0
2 12 2
2
x
xy
ax
y
V
y
xy
ay
x
V
Поскольку
0
≠
x
и
0
≠
y
, то
⎩
⎨
⎧
=
−
−
=
−
−
0 2
12 0
2 12
x
y
a
y
x
a
, или
a
y
x
4
=
=
Вычислим вторые производные в стационарной точке
(
)
a
a
M
4
,
4
y
x
V
2 2
2
−
=
∂
∂
,
x
y
V
2 2
2
−
=
∂
∂
,
y
x
a
y
x
V
2 2
12 2
−
−
=
∂
∂
∂
( )
a
M
x
V
A
8 2
2
−
=
∂
∂
=
,
( )
a
M
y
V
С
8 2
2
−
=
∂
∂
=
,
( )
a
M
y
x
V
B
4 2
−
=
∂
∂
∂
=
Определитель
0 48 16 64 2
2 2
2
>
=
−
=
−
=
Δ
a
a
a
B
AC
Следовательно, в точке
M
есть экстремум, а так как
0
<
A
и
0
<
C
, то это максимум. Поскольку максимум единственный, то это наибольшее значение. Значит, наибольший объем будет иметь параллелепипед с равными длинами ребер:
a
z
y
x
4
=
=
=
Решение задачи 13.2
Приведем уравнение прямой
16 9
4
=
+ y
x
к нормальному виду
(см. приложение). Для этого разделим обе его части на число
97 9
4 2
2
=
+
=
n
. Получим

29 0
9 16 97 9
97 4
=
−
+
y
x
Для расстояния от точки
( )
y
x
M
,
до этой прямой справедлива формула (см. приложение):
97 16 97 9
97 4
−
+
=
y
x
r
Все точки эллипса и начало координат находятся по одну сторону от прямой (рис. 4), значит под знаком модуля отрицательное число. Тогда
97 16 97 9
97 4
+
−
−
=
y
x
r
Исследуем на условный экстремум функцию
( )
97 16 97 9
97 4
,
+
−
−
=
y
x
y
x
z
при условии
9 9
2 2
=
+ y
x
Функция Лагранжа имеет вид:
(
)
(
)
9 9
97 16 97 9
97 4
,
,
2 2
−
+
λ
+
+
−
−
=
λ
y
x
y
x
y
x
L
Рис. 4.
Для стационарных точек справедлива система
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=
λ
+
−
=
∂
∂
=
λ
+
−
=
∂
∂
9 9
0 18 97 9
0 2
97 4
2 2
y
x
y
y
L
x
x
L

30
Из первых двух уравнений системы:
λ
=
λ
=
97 2
1
,
97 2
y
x
Подставив эти выражения в третье уравнение, найдем множители
Лагранжа
97 6
5
±
=
λ
и определим
5 12
±
=
x
и
5 3
±
=
y
Стационарные точки:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5 3
;
5 12 1
M
при
97 6
5
=
λ
и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
5 3
;
5 12 2
M
при
97 6
5
−
=
λ
Используем достаточные условия условного экстремума.
Поскольку
x
x
2
=
ϕ′
,
y
y
18
=
ϕ′
,
λ
=
∂
∂
2 2
2
x
L
,
λ
=
∂
∂
18 2
2
y
L
, а
0 2
=
∂
∂
∂
y
x
L
, то определитель
(
)
2 2
2 2
9 72 72 648 18 0
18 0
2 2
18 2
0
x
y
x
y
y
x
y
x
+
λ
−
=
λ
−
λ
−
=
λ
λ
=
Δ
Следовательно, функция имеет условный минимум при
0 97 6
5
>
=
λ
и условный максимум при
0 97 6
5
<
−
=
λ
Следовательно, точка
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5 3
;
5 12 1
M
наименее удалена от данной прямой, а точка
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
5 3
;
5 12 2
M
наиболее удалена.

31
Вариант 1
1. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ , если
(
)
xy
xy
z
y
x
−
+
=
1
arcsin sin tg
2. Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции
y
x
z arctg
=
при
02
,
0 1
±
=
x
,
03
,
0 1
±
=
y
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ для функции
z
y
x
e
u
z
y
x
2 3
arctg
+
=
+
, если
)
(
,
)
(
,
)
,
(
t
z
z
t
y
y
s
t
x
x
=
=
=
4. Найти все производные второго порядка для функции
z
x
y
x
y
z
z
y
x
u
2 4
3 4
2 3
+
+
=
5. Вычислить
u
d
2 для функции
y
x
u
=
6. Вычислить
y′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно
x
y
x
y
arctg
2
=
7. Найти частные производные
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ для функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно
z
y
x
z
y
x
+
+
=
+
+
)
(
ln
8. Вычислить
x
u
∂
∂ ,
y
u
∂
∂ ,
x
v
∂
∂ и
y
v
∂
∂ для функций
(
)
y
x
u
,
и
(
)
y
x
v
,
, заданных параметрически
⎩
⎨
⎧
=
−
=
+
0
v
y
u
x
v
u
9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
0 16 2
3 2
2 2
2
=
+
−
+
+
−
+
xz
yz
xy
z
y
x
в точке
(
)
3 2
1 0
,
,
M
10. Исследовать на экстремум функцию
(
)
y
x
e
z
y
x
+
2
−
5
=
−
2
11. Найти значения функции
(
)
y
x
z
,
, заданной зависимостью
0
=
8
+
−
8
+
+
2
+
2 2
2 2
z
xz
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
27
+
9
−
+
=
3 3
xy
y
x
z
в области
4 0
≤
≤ x
,
4
≤
≤
0
y
13. Положительное число
a
разложить на
n
положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных их величин была наименьшей.

32
Вариант 2
1. Вычислить
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ , если:
1
arctg
2 1
tg cos
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
y
x
y
x
z
xy
2. Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении значения функции
y
x
z
3 1
+
=
при
1 0
±
7
=
x
,
1 0
±
9
=
y
3. Написать формулы для производных
t
u
∂
∂ и
s
u
∂
∂ функции
y
x
z
z
y
x
u
−
+
+
−
=
2
)
(
sin
, где
)
,
(
,
)
(
,
)
(
s
t
z
z
t
y
y
t
x
x
=
=
=
4. Найти все частные производные второго порядка для функции
3 5
4 2
+
+
+
=
y
x
z
z
y
x
u
)
(
ln
5. Найти
u
d
2 для функции
y
x
e
y
x
u
+
2
−
=
)
(
6. Найти
y′
и
y ′′
для функции
( )
x
y
, заданной неявно
)
(
sin
1 3
2
xy
x
y
−
⋅
=
7. Найти частные производные
x
z
∂
∂ и
y
z
∂
∂ для функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно
z
x
z
y
x
+
=
+
+
2
)
(
sin
8. Вычислить
x
u
∂
∂ ,
y
u
∂
∂ ,
x
v
∂
∂ и
y
v
∂
∂ для функций
(
)
y
x
u
,
и
(
)
y
x
v
,
, заданных параметрически
⎩
⎨
⎧
1
=
+
0
=
−
v
x
u
y
v
y
u
x
9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
y
x
z
cos sin
=
в точке
(
)
2 1
4
π
4
π
0
,
,
M
10. Исследовать на экстремум функцию
)
(
y
x
y
x
z
−
−
1
=
2
при
0
>
x
,
0
>
y
11. Найти значения функции
(
)
y
x
z ,
, заданной неявно
0 10 4
2 2
2 2
2
=
−
−
+
−
+
+
z
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
3 2
−
−
=
y
x
z
в области
1 0
,
1 0
,
1 0
≤
+
≤
≤
≤
≤
≤
y
x
y
x
13. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости
V
имеет наименьшую поверхность.

33
Вариант 3
1. Вычислить
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
для функции:
y
x
xy
z
y
x
−
+
=
+
arcsin
)
(sin
)
(
ln
2 2
2. Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении значения функции
y
x
z
=
, при
3
,
0 3
,
1
,
0 2
±
=
±
=
y
x
3. Вычислить
t
u
∂
∂
и
s
u
∂
∂
, если
( )
x
y
z
y
x
u
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
3 1
cos
4 1
,
( )
)
(
,
,
,
)
(
s
z
z
s
t
y
y
t
x
x
=
=
=
4. Вычислить все частные производные второго порядка для функции
7 6
5 5
1
−
+
=
3 2
z
y
x
e
u
z
y
x
5. Вычислить
u
d
2 для функции
y
x
e
y
x
u
−
+
=
)
2
(
6. Вычислить
y′
и
y ′′
, если
( )
x
y
задана неявно:
x
y
x
tg
y
−
=
1 3
2
7. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
функции
( )
y
x
z ,
, заданной неявно:
y
z
e
z
y
x
−
=
+
+
8. Функции
(
)
y
x
u
,
и
(
)
y
x
v
,
заданы параметрически:
xv u
y
u yv
− =
−
=
⎧
⎨
⎩
0
Вычислить частные производные
x
u
∂
∂
,
y
u
∂
∂
,
x
v
∂
∂
и
y
v
∂
∂
9. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
y
e
z
x
cos
⋅
=
в точке
)
,
,
1
(
0
e
M
−
π
10. Исследовать функцию
y
y
x
x
z
4 3
3 2
3 2
+
+
−
=
на экстремум.
11. Найти значения функции
( )
y
x
z
z
,
=
, заданной неявно
0 10 4
2 2
2 2
2
=
−
−
+
−
+
+
z
y
x
z
y
x
, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
x
y
x
z
16 12 2
2
+
−
+
=
при
25 2
2
≤
+ y
x
13. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, поверхность которой равна S, имеет наибольшую вместимость?

34
Вариант 4
1. Вычислить частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
для функции
xy
xy
z
y
x
−
+
=
+
1
arccos
)
(cos
4 1
)
(
ln
2
2. Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении значения функции
2 2
y
x
z
+
=
при
05
,
0 4
;
1
,
0 3
±
=
±
=
y
x
3. Вычислить
t
u
∂
∂
,
s
u
∂
∂
, если
( )
2 4
3
tg
2
z
y
x
u
y
x
z
+
=
−
,
( )
( )
( )
t
z
z
s
t
y
y
s
x
x
=
=
=
,
,
,