Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Задача 5 Вычислить u d 3 для функции ( ) 2 cos y x u − = Справочный материал Для дифференциала третьего порядка (третьего дифференциала) справедлива формула = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = 3 3 dy y dx x u d ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 dy y u dy dx y x u dy dx y x u dx x u ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = Решение задачи Вычислим производные первого порядка: ( ) 2 sin y x x u − − = ∂ ∂ ; ( ) ( ) ( ) 2 2 sin 2 2 sin y x y y y x y u − = − − − = ∂ ∂ Вычислим производные второго порядка: ( ) 2 2 2 cos y x x u − − = ∂ ∂ ; ( ) ( ) ( ) = − − + − = ∂ ∂ y y x y y x y u 2 cos 2 sin 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 cos 4 sin 2 y x y y x − − − = ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos 2 2 cos y x y y y x y x u − = − − − = ∂ ∂ ∂ Вычислим производные третьего порядка: ( ) 2 3 3 sin y x x u − = ∂ ∂ ; ( ) ( ) − − − = ∂ ∂ y y x y u 2 cos 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − − − y y x y y x y 2 sin 4 cos 8 2 2 2 ( ) ( ) 2 3 2 sin 8 cos 12 y x y y x y − − − − = ; 11 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 sin 2 2 sin y x y y y x y x u − − = − − = ∂ ∂ ∂ ; ( ) ( ) ( ) = − − − − = ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 3 sin 4 cos 2 y x y y x y x u ( ) ( ) 2 2 2 sin 4 cos 2 y x y y x − + − = Третий дифференциал заданной функции имеет вид: ( ) ( ) ( ) ( ) + − − − = dy dx y x y dx y x u d 2 2 3 2 3 sin 6 sin ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − + 2 2 2 2 sin 2 cos 6 dy dx y x y y x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 sin 2 cos 3 4 dy y x y y x y − + − − Задача 6 Вычислить y′ для функции ( ) x y , заданной неявно 2 2 2 y x e x y + = Справочный материал Если уравнение ( ) 0 , = y x F задает функцию ( ) x y , явный вид зависимости которой не известен, то производную y′ определяют из формулы y F x F y ∂ ∂ ∂ ∂ − = ′ , если 0 ≠ ∂ ∂ y F Решение задачи Поскольку уравнение 2 2 2 y x e x y + = можно записать в виде 0 2 2 2 = − + y x e x y , то функция ( ) 2 2 2 , y x e x y y x F + − = . Тогда 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 y x y x y x e y x x e x xe y + + + − ⋅ − − − = ′ Упрощая полученное выражение, запишем ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 y x y x e y x x xe y + + − + = ′ Задача 7 Найти частные производные x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ для функции ( ) y x z , , заданной неявно xz z y x = + ⋅ ) ( ln Справочный материал Если уравнение ( ) 0 , , = z y x F задает в окрестности точки однозначную дифференцируемую функцию ( ) y x z z , = , то во всех точках, где выполняется условие 0 ≠ ∂ ∂ z F , частные производные функции ( ) y x z z , = вычисляются по формулам z F y F y z z F x F x z ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ; Решение задачи Уравнение xz z y x = + ⋅ ) ( ln можно записать в виде 0 ) ( ln = − + ⋅ xz z y x . Тогда ( ) xz z y x z y x F − + ⋅ = ) ( ln , , ( ) z x z y x z y x y z z x z y x x z z y x z 2 ; 2 2 ln − + + − = ∂ ∂ − + − + − = ∂ ∂ 13 Задача 8 Вычислить x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ для функций ( ) y x u , и ( ) y x v , , заданных параметрически системой ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = + 2 2 y vx uy x vy ux Справочный материал Для определения частных производных x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ из заданной системы следует: 1. Последовательно продифференцировать оба уравнения системы по переменной x , а затем по переменной y 2. Полученные линейные относительно неизвестных x u ∂ ∂ , y u ∂ ∂ , x v ∂ ∂ и y v ∂ ∂ системы решить по формулам Крамера (см. приложение). Решение задачи 1. Продифференцируем оба уравнения системы по переменной x Получим систему относительно неизвестных x u ∂ ∂ и x v ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ 0 2 v x x v y x u x x v y u x x u , или ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ v x v x x u y u x x v y x u x 2 2. Теперь продифференцируем оба уравнения системы по переменной y . Получим систему относительно неизвестных y u ∂ ∂ и y v ∂ ∂ 14 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ y x y v u y y u y v y v x y u 2 0 , или ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ u y y v x y u y v y v y y u x 2 3. Для решения полученных систем используем формулы Крамера. Определители этих систем равны и вычисляются по правилу 2 2 y x x y y x − − = − = Δ Вспомогательные определители первой системы равны yv ux x x v y u x − + − = − − = Δ 2 1 2 2 , uy xy xv v y u x x + − = − = Δ 2 2 2 Теперь найдем решение первой системы, используя формулы Крамера 2 2 2 2 2 2 2 2 y x vy ux x y x vy ux x x u + + − = − − − + − = ∂ ∂ ; 2 2 2 2 2 2 y x vx uy xy y x uy vx xy x v + − − = − − + + − = ∂ ∂ Вспомогательные определители второй системы равны uy y vx x u y y v + − = − − − = Δ 2 1 2 2 , vy ux xy u y y v x + − = − − = Δ 2 2 2 Решение второй системы имеет вид: 2 2 2 2 2 2 2 2 y x uy vx y y x uy y vx y u + − − = − − + − = ∂ ∂ ; 2 2 2 2 2 2 y x xy vy ux y x vy ux xy y v + − − = − − + − = ∂ ∂ 15 Полученные формулы для частных производных имеют смысл при 0 2 2 ≠ + y x . В точке ( ) 0 , 0 функции ( ) y x u , и ( ) y x v , не дифференцируемы. Задача 9.1 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением 2 2 5 y x z + = в точке ( ) 1 , 4 , 3 0 − M Задача 9.2 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением 0 2 2 4 2 2 2 = − − + + − yz xy z y x в точке ( ) 1 , 1 , 1 0 − − M Справочный материал Если поверхность задана явным уравнением ( ) y x f z , = , то уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , , y x f y x M имеют вид: ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , y y y x y z x x y x x z z z − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + = - уравнение касательной плоскости; ( ) ( ) 1 , , 0 0 0 0 0 0 0 − − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − z z y x y z y y y x x z x x - канонические уравнения нормали. В этих уравнениях ( ) 0 0 0 , y x f z = - значение функции ( ) y x f , в точке касания. Если поверхность задана неявно зависимостью ( ) 0 , , = z y x F , то уравнения касательной и нормали к этой поверхности в точке ( ) 0 0 0 0 , , z y x M имеют вид: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 = − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + − ∂ ∂ z z M z F y y M y F x x M x F , 16 - уравнение касательной; ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 M z F z z M y F y y M x F x x ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − - уравнения нормали. Решение задачи 9.1 Поверхность задана явным уравнением ( ) y x f z , = . Частные производные имеют вид ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 5 2 2 5 5 y x x x y x y x x x z + − = + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − − ; ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 5 2 2 5 5 y x y y y x y x y y z + − = + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − − Значения частных производных в точке ( ) 4 , 3 − равны ( ) ( ) 25 3 125 15 16 9 5 3 4 , 3 3 − = − = + ⋅ − = − ∂ ∂ x z ; ( ) ( ) 25 4 125 20 16 9 5 4 4 , 3 3 = = + ⋅ = − ∂ ∂ y z Уравнение касательной плоскости ( ) ( ) 4 25 4 3 25 3 1 + + − − = − y x z , 0 50 25 4 3 = − + − z y x Уравнения нормали 1 1 25 4 4 25 3 3 − − = + = − − z y x , 25 1 4 4 3 3 − − = + = − − z y x Решение задачи 9.2 Поверхность задана неявно уравнением ( ) 0 , , = z y x F , где ( ) 2 2 4 , , 2 2 2 − − + + − = yz xy z y x z y x F Частные производные имеют вид 17 y x x F 2 2 + = ∂ ∂ , z x y y F − + − = ∂ ∂ 2 2 , y z z F − = ∂ ∂ 8 Значения частных производных в точке ( ) 1 , 1 , 1 0 − − M равны 0 = ∂ ∂ x F , 5 = ∂ ∂ x F , 7 − = ∂ ∂ z F Уравнение касательной плоскости ( ) ( ) ( ) 0 1 7 1 5 1 0 = + − + + − z y x , 0 2 7 5 = − − z y Уравнения нормали 7 1 5 1 0 1 − + = + = − z y x Задача 10 Исследовать на экстремум функцию ( ) xy y x e z y x 2 2 2 2 + − = + Справочный материал Экстремум функции ( ) y x f z , = следует искать только в стационарных точках, которые определяются из системы ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 0 y z x z Если ( ) 0 0 0 , y x M – стационарная точка и функция ( ) y x f z , = дважды дифференцируема, то в этой точке вычисляются вторые производные: ( ) 0 0 2 2 , y x x z A ∂ ∂ = , ( ) 0 0 2 2 , y x y z C ∂ ∂ = , ( ) 0 0 2 , y x y x z B ∂ ∂ ∂ = Функция имеет экстремум, если определитель 0 > = Δ C B B A и не имеет экстремума, если 0 < Δ . При 0 > Δ экстремум является максимумом, если 0 < A и минимумом, если 0 > A |