Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ Экстремум функции двух переменных может быть и в точках, где функция не является дифференцируемой. ЗАМЕЧАНИЕ Если 0 = Δ экстремум может быть, а может и не быть. Этот случай требует дополнительных исследований. Решение задачи 10 1. Вычислим частные производные первого порядка ( ) ( ) = + + + − = ∂ ∂ + + y x e xy y x e x z y x y x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) y x xy y x e y x 2 2 2 2 2 2 + + + − = + ; ( ) ( ) = − + + − = ∂ ∂ + + y x e xy y x e y z y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) y x xy y x e y x 2 2 4 2 2 2 2 2 − + + − = + 2. Найдем стационарные точки из системы: ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + + − = + + + − + + 0 2 2 4 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x xy y x e y x xy y x e y x y x , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + + − = + + + − 0 2 2 4 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 y x xy y x y x xy y x Первое уравнение системы, умноженное на ( ) 2 − , прибавим ко второму. Получим уравнение 0 6 2 = − − y x , из которого выразим y x 3 − = и подставим в первое уравнение системы. Получим уравнение 0 2 6 6 9 2 2 2 = + − − − y y y y y , из которого определим y 0 4 2 2 = − y y , ( ) 0 2 2 = − y y , 0 1 = y , 2 2 = y 19 Поскольку y x 3 − = , то стационарными точками являются точки ( ) 0 , 0 1 M и ( ) 2 , 6 2 − M 3. Вычислим производные второго порядка ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + − = ∂ ∂ + + y x e y x xy y x e x z y x y x ; ( ) ( ) 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − + − + + − = ∂ ∂ + + y x e y x xy y x e y z y x y x ; ( ) + + + + − = ∂ ∂ ∂ + y x xy y x e y x z y x 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 + − + + y x e y x 4. Определим значения производных второго порядка в стационарной точке ( ) 0 , 0 1 M ( ) 2 0 , 0 2 2 = ∂ ∂ = x z A , ( ) 2 0 , 0 2 2 − = ∂ ∂ = y z C , ( ) 2 0 , 0 2 = ∂ ∂ ∂ = y x z B Определитель 0 8 2 2 2 2 < − = − = Δ . Следовательно, в точке ( ) 0 , 0 1 M нет экстремума. 5. Определим значения производных второго порядка в стационарной точке ( ) 2 , 6 2 − M ( ) 2 2 2 6 2 , 6 − − = − ∂ ∂ = e x z A , ( ) 2 2 2 34 2 , 6 − − = − ∂ ∂ = e y z C , ( ) 2 2 14 2 , 6 − − = − ∂ ∂ ∂ = e y x z B 20 Определитель ( ) 0 196 204 34 14 14 6 4 2 2 2 2 > − = − − − − = Δ − − − − − e e e e e Следовательно, в точке ( ) 2 , 6 2 − M есть экстремум, а поскольку 0 < A и 0 < C , то экстремум – максимум. Задача 11 Найти значения функции ( ) y x z , , заданной зависимостью 0 120 3 2 2 2 = − − + + − yz xz z y x , в стационарных точках. Справочный материал Стационарные точки функции ( ) y x z z , = определяются из системы ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 0 y z x z Если функция ( ) y x z z , = задана неявной зависимостью ( ) 0 , , = z y x F и 0 ≠ ∂ ∂ z F , частные производные функции ( ) y x z z , = вычисляются по формулам z F y F y z z F x F x z ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ; Решение задачи 1. Неявная функция ( ) y x z z , = задана уравнением ( ) 0 , , = z y x F , где ( ) 120 3 , , 2 2 2 − − + + − = yz xz z y x z y x F Поскольку z x x F + = ∂ ∂ 2 , z y y F − − = ∂ ∂ 6 , y x z z F − + = ∂ ∂ 2 , то частные производные определяются по формулам 21 y x z z y y z y x z z x x z − + − − − = ∂ ∂ − + + − = ∂ ∂ 2 6 ; 2 2 2. Система, которой удовлетворяют координаты стационарных точек имеет вид ⎩ ⎨ ⎧ = − − = + 0 6 0 2 z y z x . Из этой системы выразим x и y через z по формулам ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = 6 2 z y z x и подставим их в уравнение 0 120 3 2 2 2 = − − + + − yz xz z y x . Получим 0 120 6 2 36 3 4 2 2 2 2 2 = − + − + − z z z z z , или 0 120 12 10 2 = − z , 1440 10 2 = z , 144 2 = z , 12 ± = z Следовательно, стационарными точками являются точки ( ) 12 , 2 , 6 1 − − M и ( ) 12 , 2 , 6 2 − M Задача 12.1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x xy y x z − − − + = 2 2 в области, ограниченной координатными осями и прямой 3 = + y x Задача 12.2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x z = в области 1 2 2 ≤ + y x Задача 13.1 Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих сумму длин ребер a 12 , найти параллелепипед наибольшего объема. Задача 13.2 На эллипсе 9 9 2 2 = + y x найти точки, наиболее и наименее удаленные от прямой 16 9 4 = + y x 22 Справочный материал Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных Непрерывная функция ( ) y x f z , = , заданная на ограниченном и замкнутом множестве D принимает на этом множестве наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться в точках экстремума и на границе области, поэтому для их отыскания поступают следующим образом: определяют стационарные точки функции и вычисляют значения функции в тех стационарных точках, которые содержатся внутри заданного множества; вычисленные значения функции сравнивают между собой и со значениями функции на границе области. Среди них находят наибольшее и наименьшее. Условный экстремум функции двух переменных Если ставится задача найти экстремум функции двух переменных ( ) y x f , при условии ( ) 0 , = ϕ y x (условный экстремум), то определяют функцию Лагранжа, которая имеет вид: ( ) ( ) ( ) y x y x f y x L , , , , λϕ + = λ Тогда стационарные точки, точки в которых может быть условный экстремум, определяются из системы: ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ϕ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 , 0 0 y x y L x L Если ( ) 0 0 0 , y x M – стационарная точка, соответствующая значению 0 λ (множителю Лагранжа), то функция ( ) y x f , имеет в точке 0 M условный экстремум, если определитель 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , , , , 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 ≠ λ ∂ ∂ λ ∂ ∂ ∂ ϕ′ λ ∂ ∂ ∂ λ ∂ ∂ ϕ′ ϕ′ ϕ′ = Δ y x y L y x y x L M y x y x L y x x L M M M y x y x Функция ( ) y x f , имеет в точке 0 M условный минимум, если 0 < Δ и условный максимум, если 0 > Δ ЗАМЕЧАНИЕ Если определитель 0 = Δ , то экстремум может быть, а может и не быть. Решение задачи 12.1 Стационарные точки функции определяются из системы: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − = ∂ ∂ = − − = ∂ ∂ 0 1 2 0 1 2 x y y z y x x z . Решение системы ⎩ ⎨ ⎧ = = 1 1 y x . Стационарная точка ( ) 1 ; 1 1 M находится внутри заданной области (рис.1). Значение функции в этой точке равно ( ) 1 1 − = M z Граница области задается уравнениями: 1. 3 0 , 0 ≤ ≤ = y x . На этой части границы y y z − = 2 – функция одной переменной. Так как 0 1 2 = − = ′ y z при 5 , 0 = y , то наименьшее и наибольшее значения функции могут быть в точке ( ) 5 , 0 ; 0 2 M , а также в граничных точках ( ) 0 ; 0 3 M и ( ) 3 ; 0 4 M Вычислим значения во всех этих точках: ( ) 25 , 0 2 − = M z , ( ) ( ) 6 , 0 4 3 = = M z M z 24 3 3 x y 1 1 1 M 2 M 3 M 4 M 6 M 7 M 5 M Рис. 1. 2. 3 0 , 0 ≤ ≤ = x y . На этой части границы x x z − = 2 . Так как 0 1 2 = − = ′ x z при 5 , 0 = x , то наименьшее и наибольшее значения функции могут быть в точке ( ) 0 ; 5 , 0 5 M , а также в граничных точках ( ) 0 ; 0 3 M и ( ) 0 ; 3 6 M . Вычислим значения во всех этих точках: ( ) 25 , 0 5 − = M z , ( ) 6 6 = M z 3. 3 0 , 3 ≤ ≤ − = x x y На этой части границы ( ) 3 3 3 2 2 2 − − − + = x x x z . Так как ( ) 0 9 6 3 3 2 4 = − = − − − = ′ x x x z , при 5 , 1 = x , то наибольшее и наименьшее значения могут быть в точках ( ) 5 , 1 ; 5 , 1 7 M и в граничных точках ( ) 3 ; 0 4 M и ( ) 0 ; 3 6 M Вычислим ( ) 75 , 0 7 − = M z Следовательно, наибольшее значение функции равно 6 = наиб z в точках ( ) 3 ; 0 4 M и ( ) 0 ; 3 6 M , а наименьшее 1 − = наим z в стационарной точке ( ) 1 ; 1 1 M Решение задачи 12.2 Вычислим частные производные ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ 0 0 x y z y x z 25 Стационарная точка ( ) 0 ; 0 1 M принадлежит области 1 2 2 ≤ + y x (рис.2). Значение функции в этой точке ( ) 0 1 = M z x 2 M 3 M 4 M 5 M 1 M y Рис. 2. Исследование функции на границе можно проводить двумя способами. 1. Границей области является окружность, заданная уравнением 1 2 2 = + y x . Запишем это уравнение в параметрическом виде: ⎩ ⎨ ⎧ = = t y t x sin cos , π ≤ ≤ 2 0 t Подставляя значения ( ) t x и ( ) t y в функцию y x z = , получим функцию t t t z 2 sin 2 1 sin cos = = одной переменной t , заданную на промежутке [ ] π 2 ; 0 . Наибольшее и наименьшее значения эта функция может принимать на концах промежутка при 0 = t , π = 2 t , а также в точках, в которых ( ) 0 = ′ t z Вычислим ( ) t t t z 2 cos 2 2 cos 2 1 = ⋅ = ′ ( ) 0 = ′ t z при 2 4 k t π + π = , где k - целое число. Внутри промежутка [ ] π 2 ; 0 содержатся только точки 4 1 π = t , 4 3 2 π = t , 4 5 3 π = t и 4 7 4 π = t 26 Вычислим значения функции t z 2 sin 2 1 = во всех этих точках. ( ) 5 , 0 2 sin 2 1 1 = π = t z , ( ) 5 , 0 2 3 sin 2 1 2 − = π = t z , ( ) 5 , 0 2 5 sin 2 1 3 = π = t z , ( ) 5 , 0 2 7 sin 2 1 4 − = π = t z Вычислим значение функции t z 2 sin 2 1 = на концах промежутка. ( ) 0 0 = z , ( ) 0 2 = π z Следовательно, наибольшее значение функции равно 5 , 0 , которое достигается в точке ( ) 4 4 sin , cos π π , или ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 1 , и в точке ( ) 4 5 4 5 sin , cos π π , или ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 1 2 1 , Наименьшее значение функции равно 5 , 0 − , которое достигается в точке ( ) 4 3 4 3 sin , cos π π , или ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 2 1 2 1 , и в точке ( ) 4 7 4 7 sin , cos π π , или ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 1 , |