Работа. Применение двойного интеграла
![]()
|
Министерство Науки и Образования Республики Казахстан Евразийский Национальный Университет имени Л.Н. Гумилева Кафедра «Фундаментальной и прикладной математики» Реферат на тему: Применение двойного интеграла Выполнили: Кадешев О., Ткаченко А., ММФ, МКМ-22. Приняла: Абикенова Ш.К., к.ф.-м.н., ст.пр. кафедры фундаментальной и прикладной информатики Астана, 2012 Содержание двойной интеграл механика 1. Двойной интеграл . Приложения двойных интегралов к задачам механики а) масса плоской пластинки переменной плотности б) статические моменты и центр тяжести пластинки в) моменты инерции пластинки . Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов а) Объём б) Вычисление площади плоской области . Вычисление площади поверхности а) Примеры 1. Двойной интеграл Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как ![]() где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл ![]()
Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник ![]() ![]() Аналогично, пусть множество чисел ![]() ![]() Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области ![]() ![]() Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник ![]() ![]() Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как ![]()
2. Приложения двойных интегралов к задачам механики а) Масса плоской пластинки переменной плотности Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь. Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке. Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения данной точки, т. е. являться функцией ее координат: ![]() ![]() Рис.6. Если бы плотность была постоянной ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при условии ![]() ![]() б) Статические моменты и центр тяжести пластинки. Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках ![]() ![]() Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим ![]() Находим координаты центра тяжести: ![]() Если пластинка однородна, т.е. ![]() ![]() де S - площадь пластинки. в) Моменты инерции пластинки Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси. Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что ![]() ![]() Отметим еще, что интеграл ![]() ![]() В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен ![]() . Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов а) Объём Как мы знаем, объем V тела, ограниченного поверхностью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 7). ![]() ![]() Рис.7 Рис.8 Решение. ![]() ![]() Итак, ![]() Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью ![]() ![]() ![]() ![]() Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов: ![]() или ![]() Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание 2. Если в области D функция ![]() ![]() ![]() б) Вычисление площади плоской области Если мы составим интегральную сумму для функции ![]() ![]() при любом способе разбиения. Переходя к пределу в правой части равенства, получим ![]() ![]() Производя интегрирование в скобках, имеем, очевидно, ![]() Пример 2. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми ![]() ![]() Рис. 9 Решение. Определим точки пересечения данных кривых (Рис.9). В точке пересечения ординаты равны, т.е. ![]() ![]() ![]() Следовательно, искомая площадь ![]() 4. Вычисление площади поверхности Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением ![]() ![]() Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На этой плоскости выделим такую площадку ![]() ![]() ![]() Предел ![]() ![]() ![]() Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через ![]() ![]() Рис. 10 Рис.11 На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.11) ![]() или ![]() Угол ![]() ![]() Следовательно, ![]() Подставляя это выражение в формулу (2), получим ![]() Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл ![]() ![]() Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности ![]() Если уравнение поверхности дано в виде ![]() ![]() ![]() ![]() где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность. а) Примеры Пример 1. Вычислить поверхность ![]() ![]() Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы ![]() ![]() Следовательно, подынтегральная функция примет вид ![]() Область интегрирования определяется условием ![]() ![]() Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением ![]() ![]() Пример 2. Найти площадь той части поверхности цилиндра ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 12 Рис. 13 Решение. На рис.23 изображена ![]() ![]() ![]() ![]() Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями ![]() Следовательно, ![]() Список использованной литературы А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович, Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы , 1971 г.,736с. Н.С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2: Учебное пособие для втузов.-13-е изд. -М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-560с. В.С. Шипачёв, Высшая математика: Учебное пособие для втузов: - М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. |