|
тор. Интегральное исчисление функций одного переменного
Интегральное исчисление функций одного переменного
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекция 1. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл и его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям. Опр. Функция называется первообразной функции на , если
.
Пример. – первообразная функции на интервале Теорема 1 (об арифметических свойствах первообразной).
Пусть и – первообразные функций и соответственно. Тогда функция – первообразная функции (
Док-во: , т.е. функция – первообразная функции Теорема 2 (об общем виде первообразной).
Пусть – первообразная функции . Тогда любая первообразная функции имеет вид
, где
Док-во: т.к. ,
то – тоже первообразная функции . Покажем, что любая первообразная имеет вид .
Пусть – первообразная функции . Рассмотрим функцию
:
. Рассмотрим произвольные . т.е. . Значит,
Опр. Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции .
Обозначение: .
Пусть – первообразная функции . Тогда
, где – произвольная постоянная.
Пример.
Свойства неопределенного интеграла:
или
, где
Док-во:
, где – первообразная функции
. Т.к. – первообразная , то . Пусть и – первообразные функций и соответственно.
Тогда функция – первообразная функции ( . Отсюда
Таблица интегралов:
. (Т.к. при
( )
,
, (длинный логарифм)
,
или (высокий логарифм)
Примеры.
Интегрирование подстановкой и по частям.
Подведение под знак дифференциала
Пусть – первообразная функции на , т.е.
.
Рассмотрим замену , где – дифференцируемая на функция, .
Рассмотрим сложную функцию , . Тогда имеем:
,
т.е. – первообразная для , т.е.
,
или ,
или ,
Примеры.
.
Замена переменной
Поменяем в (1.2.1) местами и : ,
где определена на , дифференцируема на , причем .
Пусть обратная функция . Заменим на :
Т.е.
Примеры.
=
Интегрирование по частям
Пусть функции и дифференцируемы на . Тогда , т.е. Док-во: , т.е.
,
т.е. ,
Примеры.
=
=
.
, Следовательно: ,
т.е.
. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
, .
Выделим полный квадрат, получим табличный интеграл (10-13)
Примеры.
.
.
, .
Выделим в числителе производную квадратного трехчлена , т.е. представим числитель в виде
где – находится с помощью выделения полного квадрата. Аналогично
где
. Примеры.
Интегрирование тригонометрических функций
, где или – нечетное натуральное число (например, )
Пример.
, где – четные. Используем формулы понижения степени
Пример.
где (т.е. ). Используем формулы
Пример.
. Понижение показателя с использованием формул
Пример.
где Понижение степени с использованием формул:
и т.д. Пример.
+c, где
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
, где .
Подстановка .
Пример.
, где .
Подстановка ,
Пример.
Интегрирование иррациональных функций
.
Замена , –общий знаменатель (Н.О.К. ). Пример.
Замена Пример.
.
Выделив полный квадрат, получим интеграл одного из видов:
Замена
Пример.
.
Замена .
Пример.
.
Замена
Пример.
Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:
(«неберущиеся» интегралы). |
|
|