тор. Интегральное исчисление функций одного переменного

• Название: Интегральное исчисление функций одного переменного
• Дата: 06.03.2022
• Размер: 127.56 Kb.
• Имя файла: Lektsii_1_IDU.docx
• Тип: Лекция; #384582

Интегральное исчисление функций одного переменного

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


Лекция 1. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл и его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.
Опр. Функция называется первообразной функции на , если

.

Пример. – первообразная функции на интервале
Теорема 1 (об арифметических свойствах первообразной).

Пусть и – первообразные функций и соответственно. Тогда функция – первообразная функции (

Док-во: , т.е. функция – первообразная функции
Теорема 2 (об общем виде первообразной).

Пусть – первообразная функции . Тогда любая первообразная функции имеет вид

, где

Док-во: т.к. ,

то – тоже первообразная функции . Покажем, что любая первообразная имеет вид .

Пусть – первообразная функции . Рассмотрим функцию

:

. Рассмотрим произвольные . т.е. . Значит,

Опр. Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции .

Обозначение: .

Пусть – первообразная функции . Тогда

, где – произвольная постоянная.

Пример.

Свойства неопределенного интеграла:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   или
   
4. 
   , где
   

Док-во:

1. 
   , где – первообразная функции
   
2. 
   .
   
3. 
   Т.к. – первообразная , то .
   
4. 
   Пусть и – первообразные функций и соответственно.
   

Тогда функция – первообразная функции ( . Отсюда

Таблица интегралов:

1. 
   
   
2. 
   . (Т.к. при
   
3. 
   ( )
   

4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    ,
    
11. 
    , (длинный логарифм)
    
12. 
    ,
    
13. 
    или (высокий логарифм)
    
14. 
    
    
15. 
    
    
16. 
    
    
17. 
    
    

Примеры.

Интегрирование подстановкой и по частям.

Подведение под знак дифференциала

Пусть – первообразная функции на , т.е.

.

Рассмотрим замену , где – дифференцируемая на функция, .

Рассмотрим сложную функцию , . Тогда имеем:

,

т.е. – первообразная для , т.е.

,

или ,

или ,


Примеры.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   .
   

Замена переменной

Поменяем в (1.2.1) местами и : ,

где определена на , дифференцируема на , причем .

Пусть обратная функция . Заменим на :



Т.е.


Примеры.

1. 
   
   

=

2. 
   
   

Интегрирование по частям

Пусть функции и дифференцируемы на . Тогда , т.е.
Док-во: , т.е.

,

т.е. ,



Примеры.

1. 
   
   
2. 
   
   

=

=

3. 
   .
   

4. 
   
   

,
Следовательно: ,

т.е.
.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

1. 
   , .
   

Выделим полный квадрат, получим табличный интеграл (10-13)

Примеры.

1. 
   .
   
2. 
   .
   

2. 
   , .
   

Выделим в числителе производную квадратного трехчлена , т.е. представим числитель в виде






где – находится с помощью выделения полного квадрата.
Аналогично



где

.
Примеры.

1. 
   
   

2. 
   
   

Интегрирование тригонометрических функций

1. 
   , где или – нечетное натуральное число (например, )
   

Пример.

2. 
   , где – четные. Используем формулы понижения степени
   

Пример.

3. 
   где (т.е. ). Используем формулы
   

Пример.

4. 
   . Понижение показателя с использованием формул
   

Пример.

5. 
   где Понижение степени с использованием формул:
   

и т.д.
Пример.
+c,
где

6. 
   
   

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

7. 
   , где .
   

Подстановка .

Пример.

8. 
   , где .
   

Подстановка ,



Пример.


Интегрирование иррациональных функций

1. 
   .
   

Замена , –общий знаменатель (Н.О.К. ).
Пример.

2. 
   
   

Замена
Пример.

3. 
   .
   

Выделив полный квадрат, получим интеграл одного из видов:

1. 
   
   

Замена

Пример.

2. 
   .
   

Замена .

Пример.

3. 
   .
   

Замена

Пример.




Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:
(«неберущиеся» интегралы).