Са. Лекции 3-4. Лекция 3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент функции
![]()
|
ЛЕКЦИЯ 3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент функции. цель лекции: ввести понятие касательной плоскости и нормали к поверхности, производной по направлению и градиента; рассмотреть примеры составления уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности ключевые слова (термины): касательная плоскость, нормаль к поверхности, производная по направлению, градиент основные вопросы (положения) и краткое содержание: Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида: ![]() Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке ![]() ![]() Все касательные прямые к поверхности (1.24) в точке ![]() ![]() Приведем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности ![]() ![]() Ур-е касательной плоскости: ![]() уравнение нормали: ![]() Если уравнение поверхности задано в форме ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности шара ![]() ![]() Решение. ![]() ![]() при ![]() ![]() Следовательно, уравнение касательной плоскости будет иметь вид ![]() ![]() Уравнение нормали: ![]() ![]() Производная по направлению. Градиент Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Обозначим направление вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отношение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Производной функции двух переменных ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() Переходя к пределу при ![]() ![]() В случае функции трех переменных ![]() ![]() Пример 1. Найти производную функции ![]() ![]() ![]() Решение.Найдем частные производные ![]() Так как ![]() ![]() ![]() Подставляя все выражения в (7.32), получим: ![]() Пример 2.Дана функция ![]() ![]() ![]() ![]() Решение.Найдем сначала координаты вектора ![]() ![]() Вычисляем направляющие косинусы полученного вектора: ![]() Частные производные исходной функции в точке А равны: ![]() ![]() Подставляя все найденные значения в формулу(7.33), будем иметь: ![]() Градиентом функции ![]() ![]() ![]() ![]() Теперь правую часть формулы (1.33) можно представить в виде скалярного произведения единичного вектора ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Из последней формулы следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения , когда ![]() ![]() ![]() Наибольшая скорость изменения функции ![]() ![]() ![]() В этом заключается физический смысл градиента. Пример 1. Вычислить градиент функции ![]() ![]() Решение. Вычислим значения частных производных данной функции в точке ![]() ![]() ![]() Вопросы для самоконтроля: 1.Что называется касательной плоскостью? нормалью к поверхности? 2. Дать определение производной по направлению, градиента. критерии оценки достижения обучающимися результатов обучения: Даны в силлабусе. рекомендуемая литература: Дана в силлабусе. ЛЕКЦИЯ 4 Экстремум функции двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в заданной области цель лекции: ввести понятие экстремума функции двух переменных; рассмотреть примеры нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в заданной области ключевые слова (термины): экстремум, наибольшее и наименьшее значение основные вопросы (положения) и краткое содержание: Необходимые условия существования экстремума. Говорят, что функция ![]() ![]() ![]() Говорят, что функция ![]() ![]() ![]() Теорема. Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Точки, в которых частные производные функции ![]() Приведенные условия существования экстремума не являются достаточными, о чем свидетельствует следующий пример ![]() ![]() Частные производные равны нулю в точке (0;0), но функция в этой точке экстремума не имеет, так как в окрестности этой точки функция принимает значения разных знаков, а в самой точке ![]() Т.е. для нахождения экстремума функции двух переменных необходимо каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию. Достаточные условия существования экстремума. Пусть в некоторой области, содержащей точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Исследовать на экстремум функцию: ![]() Решение: Найдем критические точки: ![]() Приравнивая эти функции к нулю и решая полученнуюсистемууравнений: ![]() ![]() Т.е. мы получили одну критическую точку ![]() Далее находим частные производные второго порядка: ![]() ![]() ![]() На основании достаточного условия существования экстремума определяем, что исследуемая функция имеет в точке ![]() Найдем ![]() Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции ![]() Найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки нет необходимости; Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области; если граница области состоит из нескольких участков, то исследование проводится для каждого участка в отдельности; Сравнить все полученные результаты, и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значения. Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции ![]() ![]() Решение. ![]() Находим стационарные точки: ![]() Из системы ![]() ![]() ![]() Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границах области. Отрезок ОА задается уравнением ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() То есть ![]() ![]() Вычислим значения функции на концах отрезка ОА: ![]() Граница ОВ задается уравнением ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит ![]() ![]() Значения функции на концах отрезка ОВ равны: ![]() Отрезок АВ задается уравнением ![]() ![]() Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке ![]() ![]() То есть ![]() ![]() Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее. Сравним полученные результаты и выберем среди них наибольшее и наименьшее значение функции в заданной замкнутой области. Итак, наибольшего значения функция достигает в точке ![]() ![]() ![]() Вопросы для самоконтроля: 1.Что называется максимумом функции двух переменных? минимумом функции двух переменных? 2. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума. 3. Сформулируйте достаточное условие существования экстремума. 4. Как находится наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области? критерии оценки достижения обучающимися результатов обучения: Даны в силлабусе. рекомендуемая литература:Дана в силлабусе. |