Са. Лекции 3-4. Лекция 3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент функции

• Название: Лекция 3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент функции
• Дата: 12.11.2022
• Размер: 245.01 Kb.
• Имя файла: Лекции 3-4.docx
• Тип: Лекция; #784356

ЛЕКЦИЯ 3

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент функции.

цель лекции: ввести понятие касательной плоскости и нормали к поверхности, производной по направлению и градиента; рассмотреть примеры составления уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности

ключевые слова (термины): касательная плоскость, нормаль к поверхности, производная по направлению, градиент

основные вопросы (положения) и краткое содержание:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида: (1.24)

Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Все касательные прямые к поверхности (1.24) в точке лежат в одной плоскости. Эту плоскость называют касательной плоскостью. Прямая проведенная через точку поверхности (1.24) перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к этой плоскости.

Приведем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке без вывода:

1. 
   Ур-е касательной плоскости: (1.25)
   
2. 
   уравнение нормали: (1.26)
   

Если уравнение поверхности задано в форме или , то уравнения (1.25) и (1.26) примут вид соответственно:

(1.27) (1.28)

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности шара в точке .

Решение. ,

_при имеем .

Следовательно, уравнение касательной плоскости будет иметь вид

или

Уравнение нормали: или .


Производная по направлению. Градиент

Пусть функция непрерывна в некоторой области D, и точке из этой области соответствует на поверхности точка , а точке соответствует точка .



Обозначим направление вектора через ,а углы, которые он образует осями координат через и . При перемещении точки по направлению вектора на величину получается приращение .

Отношение выражает среднюю скорость изменения функции в направлении на участке , а предел этого отношения при выражает мгновенную скорость изменения функции z в точке Р в направлении .

Производной функции двух переменных в данном направлении называется предел отношения при условии, что , то есть .

Если функция дифференцируема в точке , то её полное приращение в этой точке можно записать так: ,где - бесконечно малые функции при .

Так как , то .

Переходя к пределу при , получим формулу для вычисления производной по направлению (1.32)

В случае функции трех переменных формула для вычисления производной по направлению примет вид: (1.33)

Пример 1. Найти производную функции в направлении , составляющем с положительным направлением оси Ох угол .

Решение.Найдем частные производные .

Так как , то . Тогда .

Подставляя все выражения в (7.32), получим: .

Пример 2.Дана функция . Найти производную этой функции в точке в направлении вектора , где .

Решение.Найдем сначала координаты вектора :

.

Вычисляем направляющие косинусы полученного вектора:

.

Частные производные исходной функции в точке А равны:

, .

Подставляя все найденные значения в формулу(7.33), будем иметь:

.

Градиентом функции называется вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке , и обозначается .

Теперь правую часть формулы (1.33) можно представить в виде скалярного произведения единичного вектора на :

или ,

где - угол между вектором и направлением .

Из последней формулы следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения , когда , т.е при . Значит, направление градиента совпадает с направлением , вдоль которого функция меняется быстрее всего, т.еградиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции.

Наибольшая скорость изменения функции в точке равна: .

В этом заключается физический смысл градиента.

Пример 1. Вычислить градиент функции в точке .

Решение. Вычислим значения частных производных данной функции в точке : .Значит, градиент будет равен: .

Вопросы для самоконтроля:

1.Что называется касательной плоскостью? нормалью к поверхности?

2. Дать определение производной по направлению, градиента.
критерии оценки достижения обучающимися результатов обучения:

Даны в силлабусе.

рекомендуемая литература: Дана в силлабусе.

ЛЕКЦИЯ 4

Экстремум функции двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в заданной области

цель лекции: ввести понятие экстремума функции двух переменных; рассмотреть примеры нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в заданной области

ключевые слова (термины): экстремум, наибольшее и наименьшее значение

основные вопросы (положения) и краткое содержание:

1. 
   Необходимые условия существования экстремума.
   

Говорят, что функция имеет в точке максимум, если в окрестности этой точки выполняется неравенство:

Говорят, что функция имеет в точке максимум, если в окрестности этой точки выполнится неравенство:

Теорема. Если функция имеет в точке экстремум и в этой точке существуют частные производные и , то в этой точке: , _.

Точки, в которых частные производные функции равны нулю называютсякритическими или стационарными точками функции.

Приведенные условия существования экстремума не являются достаточными, о чем свидетельствует следующий пример , .

Частные производные равны нулю в точке (0;0), но функция в этой точке экстремума не имеет, так как в окрестности этой точки функция принимает значения разных знаков, а в самой точке .

Т.е. для нахождения экстремума функции двух переменных необходимо каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию.

2. 
   Достаточные условия существования экстремума.
   

Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывны частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е. .

Тогда при

1. 
   имеет максимум, если:
   

и

2. 
   имеет минимум, если
   

и

3. 
   не имеет экстремума, если .
   

Пример. Исследовать на экстремум функцию: .

Решение: Найдем критические точки:

Приравнивая эти функции к нулю и решая полученнуюсистемууравнений: Находим: .

Т.е. мы получили одну критическую точку .

Далее находим частные производные второго порядка:

, ,

На основании достаточного условия существования экстремума определяем, что исследуемая функция имеет в точке минимум.

Найдем .

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции в некоторой замкнутой области D. Этих значений функция достигает либо во внутренних точках области, которые являются стационарными точками функции, либо на границах области. Значит, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необходимо:

1. 
   Найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки нет необходимости;
   
2. 
   Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области; если граница области состоит из нескольких участков, то исследование проводится для каждого участка в отдельности;
   
3. 
   Сравнить все полученные результаты, и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значения.
   

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой .

Решение.



Находим стационарные точки: .

Из системы находим стационарную точку . Полученная точка лежит внутри заданной области. Вычислим значение функции в этой точке: .

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

Отрезок ОА задается уравнением , а . При функция есть функция одной переменной х. Находим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке .

.

То есть - стационарная точка, .

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА:



Граница ОВ задается уравнением , а . При функция есть функция одной переменной у. Находим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке .



Значит - стационарная точка, .

Значения функции на концах отрезка ОВ равны:

.

Отрезок АВ задается уравнением . Подставим это выражение в исходную функцию, получим функцию одной переменной:

.

Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке . .

То есть - стационарная точка, .

Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее.

Сравним полученные результаты и выберем среди них наибольшее и наименьшее значение функции в заданной замкнутой области.

Итак, наибольшего значения функция достигает в точке , а наименьшего - в точке : .

Вопросы для самоконтроля:

1.Что называется максимумом функции двух переменных? минимумом функции двух переменных?

2. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

3. Сформулируйте достаточное условие существования экстремума.

4. Как находится наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области?

критерии оценки достижения обучающимися результатов обучения:

Даны в силлабусе.

рекомендуемая литература:Дана в силлабусе.