Работа. Применение матричной алгебры на практике
 Скачать 1.18 Mb.
|
|
МОУ СОШ № 2 с углубленным изучением отдельных предметов Применение матричной алгебры на практике. Работу выполнила: Щукина Юлия 10 м класс МОУ СОШ №2 с углублен- ным изучением отдельных предметов Руководитель: Ковалева Елена Александровна г. Лысьва, 2007г. Содержание
Введение Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов, состоящая из m строк и n столбцов. Матричная алгебра – раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. В наше время тема матриц и матричной алгебры является актуальной. Матрицы проникли почти во все отрасли человеческой деятельности. В матема-тике они используются при исследовании систем m линейных уравнений с n неиз-вестными. В экономике – при отражении соотношений затрат, производственных и экономических структур. В технике – при расчете сооружений. В физике матри-цы применены для повышения точности вычисления значений полей вблизи неоднородности и т.д. Меня заинтересовала тема матричной алгебры, и я решила найти способы применения матриц на практике, в обыденной жизни. Чтобы применить матрицы, нужно правильно составить математическую модель реально ситуации, решить полученную матрицу, выбрать правильный ответ. Практика – это критерий истинности знаний, и моя работа покажет, что сложные и непонятные с первого взгляда матрицы, определители и их свойства могут быть применимы в технике, физике, экономике, а так же и в обычной жизни. Матрицы. Матричная алгебра Историческая справка: Впервые матрицы как математическое понятие появилось в работах У.Гамиль-тона, А.Кэли и Дж.Сильвестра в середине 19в. Основы теории матриц созданы К.Вейерштрассом и Г.Фробениусом во второй половине 19в. И начала 20в. Совре-менное обозначение – две вертикальные черточки – ввёл А.Кэли (1841). Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:  Для любого элемента a іј первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращенно прямоугольную таблицу типа m x n можно записать так: А=(a іј), где i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n. Виды матриц. Векторы. Если число строк матрицы не равно числу столбцов (mn), то матрица называ-ется прямоугольной. Если число строк равно числу столбцов (m=n), то матрица называется квадратной. Число строк или столбцов квадратной матрицы называется её порядком. Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: Диагональ, содержащую элементы  ,  , …,  , будем называть главной, а диагональ, содержащую элементы  , …,  - побочной (вспомогательной).Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали. Такие матрицы называют диаго-нальными. Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, т.е. == …= , то такая диагональная матрица называется скалярной.Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. В прямоугольной матрице типа m*n возможен случай, когда m=1. при этом получается матрица-строка. В случае, когда n=1, получаем матрицу-столбец. Такие матрицы-строки и матрицы-столбцы иначе будем называть векторами. Равенство матриц. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны: aіј=bіј Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа m*n, либо квадратные одного и того же порядка n. Если в матрице типа m*n переставить строки со столбцами, получим матрицу типа n*m, которую будем называть транспорнированной матрицей. В том случае, когда матрица состоит из одной строки (матрица-строка), транспо- нированная матрица является матрицей-столбцом. Линейные операции над матрицами: Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа m*n, или квадратные порядка n. Мы видим, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:
2) Сочетательный закон сложения: (А+В)+С=А+(В+С), где А, В, С – либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа m*n. Из сказанного выше вытекает равенство А+0=А, т.е. существует такая нулевая матрица (того же порядка или того же типа), что её сумма с матрицей А любого типа равна матрице А. Для любой матрицы А существует матрица –А такая, что А+(-А)=0, т.е. матрица, противоположная А. Произведением матрицы А на число k называется такая матрица k А, каждый элемент которой равен k a іј. Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы. Умножение матриц: Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Чтобы найти элемент первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Чтобы найти элемент первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки ( и  ) на соответствующие элементы второго столбца (b12 и b22) и полученные произведения сложить.Аналогично находятся элементы Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, матрицы произведения, нужно все элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц. Для них справедливы следующие правила: 1) Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. 2) В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице. Свойства умножения матриц:
Возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго порядка. Пусть дана квадратная матрица второго порядка. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число Определитель второго порядка записывается так: Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагонадей. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице называется число: а11а22а33+а21а32а13+а12а23а31-а13а22а31-а12а21а33-а11а23а32 Определитель третьего порядка записывается так: detA=  При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Сарруса) Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а11 а22 а33) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а11 а23 а31). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (а13 а22 а31) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а12 а21 а33 и а11 а23 а32). Основные свойства определителей: 1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствую-щими столбцами (т.е. транспонировать). Это свойство называется свойством равноправности строк и столбцов. 2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный.  3) Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.  4) Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю. 5) Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. 6) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца) , умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины. 7) Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали:  Определение обратной матрицы: Квадратная матрица А называется вырожденной, если её определитель равен нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю. Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу. Обозначив единичную матрицу через  , запишем  .Если обратная матрица существует, то матрица называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы. Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования. Теорема: Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. чтобы её определитель был отличен от нуля. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Минором М іј элемента a іј определителя D=  , где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определи-теля вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.Например, минор  , соответствующий элементу  определителя  Получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец.  Алгебраическим дополнением элемента a іј определителя D называется минор М іј этого элемента, взятый со знаком  . Алгебраическое дополнение элемента a іј принято обозначать А. таким образом,  Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков. 1. Найти определитель матрицы А. 2. Найти алгебраические дополнения всех элементов a іј матрицы А и записывают новую матрицу. 3. Поменять местами столбцы полученной матрицы (транспонировать матрицу) 4. Умножить полученную матрицу на 1/D Решение простейших матричных уравнений. Пусть дана система уравнений  Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных  Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов:  Тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так: АХ=В или  Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А – невырожденная (D0): тогда существует обратная матрица. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем  Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде  следует  .Алгоритм решения матричных уравнений: 1) Найти обратную матрицу. 2) Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов. 3) Пользуясь определением равных матриц, записать ответ. Решение линейных уравнений по формулам Крамера. Теорема Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов. Когда определитель системы равен нулю она может иметь либо бесконечное множество решений, либо не иметь корней. Пример: Решить систему уравнений:  Вычислим определитель системы  и определители   Найдем значения х и у по формулам Крамера  Итак, решение системы (3;-1). Решение систем линейных уравнений методом Гаусса При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход). При выполнении прямого хода используют следующие преобразования: 1)Умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число 2)Сложение и вычитание уравнений 3)Перестановку уравнений системы 4)Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю. Пример: Решить систему уравнений:  Переставим третье уравнение на место первого. Запишем расширенную матрицу:  Чтобы в первом столбце получить а21=а31=0, умножим первую строку сначала на 3, а затем на 2 и вычтем результаты из второй и третьей строк.  Разделим вторую строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и вычтем из третьей строки:  Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица. Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные. Получаем ответ (1;2;3). Системы линейных уравнений Рассмотрим систему из m уравнений с п неизвестными. Систему a11x1+a12x2 + ... + a1nxn = b1, a21х1+а22х2 + ... +а2nхп = b2, ………………………….. am1x1+am2x2 + ... + amnxn=b1, мы можем кратко записать в виде Аx = b. (1) Система задается своей расширенной матрицей A*, получаемой объединением матрицы системы A и столбца свободных членов b. Транспонируем матрицу А системы (1) и рассмотрим систему из п линейных уравнений a11yl+a21y2 + ... + am1ym=0, а12у1+а22у2 + ... + аm2ут = 0, (2) a1ny1+a2ny2 + ... + аmпyт=0. с т неизвестными, матрицей АТи свободными членами, равными нулю. Она называется сопряженной однородной системой для системы (1). Если у - столбец высоты т из неизвестных, то систему (2) можно записать как АТу = 0, или, лучше, в виде yTА = 0, (3) где 0 - нулевая строка длины п. Для того чтобы система (1) имела решения, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной однородной системы (3) удовлетворяло уравнению yTb  b1yl+...+ bmym = 0. (4)Приведенная система. Сопоставим системе линейных уравнений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентов: Ах= 0. (5) По отношению к системе (1) она называется приведенной. Если х0 - решение системы (1). Столбец х также будет ее решением тогда и только тогда, когда найдется такое решение у приведенной системы (5), что х = х0 + у. Это предложение сводит задачу описания множества решений системы линейных уравнений к описанию множества решений ее приведенной системы. Матрица F, состоящая из столбцов высоты n, называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей A размеров т  п, если:а) AF= О; б) столбцы Fлинейно независимы; Если фундаментальная матрица существует, то каждый ее столбец в силу условия а) - решение системы. Столбцы фундаментальной матрицы называются фундаментальной системой решений. Столбец х будет решением системы Ах = 0 тогда и только тогда, когда существует такой столбец с, что х = Fc. (6) Общее решение системы линейных уравнений. Если х0 - некоторое решение системы (1), a F - фундаментальная матрица ее приведенной системы, то столбец x = х0 + Fc (7) при любом с является решением системы (1). Наоборот, для каждого решения х найдется такой столбец с, что оно будет представлено формулой (7). Выражение, стоящее в правой части формулы (7), называется общим решением системы линейных уравнений. Если f1, ..., fn-r - фундаментальная система решений, а с1 ,..., сn-r- произвольные постоянные, то формула (10) может быть написана так: х = х0 + c1f1 + ....+ сn-rfn-r (8) Если А - матрица системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Если det А = 0, то сиcтема либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений. Применение матриц на практике Матрицы нашли применение во многих отраслях человеческой деятельности.
Предположим, что у нас есть ковш экскаватора, который перемещается в верхней части треугольной системе координат XYZ. Ковш экскаватора име- ет сложную поверхность, и его удобней представить в виде куба, в кото- рый он заключен, и в дальнейшем работать уже с восемью координатами вершин куба. Матрицу размеров ковша можно задать через восемь коорди- нат куба, каждая из которых описывается тремя координатами XYZ. Присвоим l, w, h значения (где l – длина, w – ширина, h – высота ковша) и с помощью функции patch отобразим её и наглядно увидим созданную фигу- ру.
Пример В десятом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчи-ков. Тогда число девочек в классе оказалось в два раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. Тогда число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду? Решение: Пусть х – число девочек, у – число мальчиков в классе. В понедельник было (х-1) девочек, (у-5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т.е. х-1=2(у-5). Во вторник было (х-9) девочек, (у-1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчи-ков в 1,5 раза больше, т.е. у-1=1,5(х-9) Математическая модель ситуации составлена:  х-1=2(у-5)у-1=1,5(х-9) Упростим каждое уравнение системы: х-2у=-9 3х-2у=25 Решим уравнение: Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:   А= 1 -2 3 -2 Выпишем и вычислим:  = 1*(-2) -3*(-2)=4 х=-9*(-2)-25*(-2)=68 у=1*25-3*(-9)=52 х= х/ =68/4=17 у= у/ =52/4=13 Получилось, что в классе 17 девочек и 13 мальчиков. Итого в классе – 30 человек. Ответ: 30 учеников. Пример 2: Пусть мебельная фабрика выпускает продукцию четырех видов: стулья, столы, шкафы и диваны. Чтобы сообщить, сколько продукции выпустила фабрика в январе, достаточно указать 4 числа, порядок которых существен. Допустим, первое из них означает число выпущенных в январе стульев, второе – столов, третье – шкафов, а четвертое – диванов. Получаем матрицу-строку: А=(а1, а2, а3, а4) Фабрика может выпустить не четыре наименования продукции, а 10 или 20 раз-личных наименований, которые запишутся в виде матрицы-строки. В общем случае рассматривается матрица: А=(а1, а2, …, аn), где n – произвольное натуральное число (в зависимости от рас-сматриваемой ситуации). Сумма двух таких матриц дает новую матрицу, которая определяет выпуск продукции фабрикой за два месяца. Разность указывает, на сколько изменилось количество изделий, выпускаемых фабрикой за второй месяц по сравнению с первым. Если мы хотим иметь данные не за один месяц, а за k месяцев сразу, то для этого достаточно составить таблицу:   а11 а12 … а1n А= а21 а22 … а2n . . . . . . . . аk1 аk2 … аkn Здесь в первой строке указано количество изделий, выпущенных фабрикой в первый месяц, в следующей строке – продукция второго месяца и т.д. Пусть имеются два предприятия, выпускающие одинаковые изделия. Продукция первого из них в течение k месяцев задается матрицей А, продукция второго – матрицей В. Чтобы описать совместный выпуск продукции обоими предприятиями, надо сложить две матрицы. а11 а12 … а1n b11 b12 … b1n a11+b11 a12+b12 … a1n+b1nА+В= а21 а22 … а2n + b21 b22 … b2n = a21+b21 a22+b22 … a2n+b2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . аk1 аk2 … аkn bk1 bk2 … bkn ak1+bk1 ak2+bk2 … akn+bkn Аналогично можно найти разность количества продукции. Предположим, что нас интересует вопрос: на какую сумму фабрика выпустила изделий в первом, втором, … k-м месяце? Для этого матрицу А, определяющую выпуск n видов изделий за k месяцев, надо умножить на матрицу-столбец, составленную из стоимости этих изделий.  Где с1=а11b1+a12b2+…+a1nbn, c2=a21b1+a22b2+…+a2nbn, …, аk=ak1b1+ak2b2+…+aknbn. Получим сумму, на которую фабрика выпустила определенных изделий. Рассчитаем на примере: Составим матрицу А, описывающую, какое количество продукции выпущено фабрикой за январь: А= (150 430 267 354), где 150 – количество выпущенных в январе стульев, 430 – количество выпущенных в январе столов, 267 – шкафов, 354 – диванов. Пусть матрица В описывает, какое количество продукции фабрика выпустила за февраль: В= (200 490 267 543) Допустим, нам нужно узнать, какое количество продукции фабрика выпустила за январь и февраль. Для этого найдем сумму двух матриц: А+В= (350 920 534 897) Получаем, что фабрика за январь и февраль выпустила 350 стульев, 920 столов, 534 шкафов, 897 диванов. Чтобы узнать, на сколько изменился выпуск продукции в феврале по сравнению с январем, найдем разность матриц: А-В= (50 60 0 189) Получим, что в феврале выпуск продукции увеличился на 50 стульев, 60 столов, 189 диванов. Выпуск шкафов не изменился. Составим матрицу, описывающую выпуск продукции за четыре месяца: В первой строке – продукция первого месяца, во второй – 150 430 267 354 продукция второго и т.д. 200 490 267 543 А= 160 440 277 364 170 450 287 374 Пусть имеется вторая фабрика, выпускающяя такую же продукцию. Пусть количество продукции, выпущенной второй фабрикой за январь и февраль описывается матрицей С: С= (289 316 152 75), где 289 также количество выпущенных стульев, 316 – столов, 152 – шкафов, 75 – диванов. Найдем совместный выпуск в январе и феврале: Q= (539 1236 686 972) Допустим, нас интересует, на какую сумму первая фабрика выпустила продукции в первом, во втором, в k месяце. Для этого домножим матрицу А на матрицу L, описывающую цену на продукцию. 150 430 267 354 100 1494500 200 490 267 543 * 350 2087500 А* L = 160 440 277 364 1000 = 1539000 170 450 287 374 3000 1583500 Получаем сумму, на которую фабрика выпустила изделий за месяц. Заключение В моей работе я доказала, что матрицы могут быть применимы в обыденной жизни. Например, при решении задач о количестве учеников в классе, при строительстве сооружений, в экономике, при подсчете количества выпущенной продукции и её цены. Так же в моей работе присутствует теория о матрицах, правилах действий над ними, изложенная в доступной форме, примеры решения систем уравнений с помощью определителей и т.д. Я убедилась, что любую реальную ситуацию можно представить в виде математи-ческой модели, а затем найти её решения. Литература
|