шпора по аналит геометрии и линейной алгебре. Действия над матрицами
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
1. Матрица, понятия: Матрецей называется прямоугольная таблица, состоящая из m-строк и n-столбцов. На пересечении строк и столбцов стоят элементы матрицы, которые номеруются двумя индексами: первый-номер строки, второй-номер столбца. Если число n строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной n-ого порядка. Элементы, стоящие в квадратной матрице на диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, образуют главную диагональ матрицы. Диаголь, идущая от правого верхнего угла к левому нижнему, называется побочной диагональю. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят некоторые элементы, а на всех остальных местах нули, называется диагональной матрицей. Матрица называется треугольной, если у нее выше главной диагонали и на главной диагонали стоят некоторые элементы, а ниже главной диагонали стоят нули. Единичная матрица-матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на всех остальных местах нули. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой, и обозначается О. Элемент строки матрицы называется крайним, если он отличен нуля, а все элементы, расположенные левее него равны нулю или их нет. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой ее строки расположен правее крайнего элемента предыдущей строки. Матрица называется канонической, если у нее вначале главной диагонали стоят подряд единицы, а остальные элементы равны нулю. Действия над матрицами: Сложение: Сложение определено для матриц одинаковой размерности, при этом элемент первой матрицы на позиции (i,j), прибавляется к элементу на позиции (i,j) второй матрицы. Уможение на число: Для того, чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент умножить на это число. Матрицу -А = (-1)А называют противоположной к матрице А. Разность двух матриц А и В можно свести к сложению: А - В = А + (-В). Для матриц одинаковой размерности и для любых действительных чисел а и в справедливы следующие свойства: 1) А + В = В + А (коммутативность); 2) (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность); 3) А + О = О + А = А (существование нулевого элемента); 4) А + (-А) = (-А) + А = О (существование противоположной матрицы); 5) 1А = А; 6) а(вА ) = (ав)А , где а, в - числа; 7) а-(А + В) = аА + аВ; 8) (а + в)А = аА + вА. Умножение двух матриц: В результате умножения матрицы А размерностью mхs на матрицу В размерностью sxn, получается матрица С размерностью mxn, где элемент с(ij) матрицы С = АВ, стоящей на позиции (i,j), получается по следующему правилу: берем i-тую строку матрицы А и j-тый столбец марицы В, умножаем первый элемент строки на первый элемент столбца, второй элемент строки на второй элемент столбца и тд., полученные произведения складываем. Операция вводится только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк 2 матрицы. Умножение матриц не обладает свойством коммуникативности: АВ ≠ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами (при условии, что возможны соответствующие действия): 1) (AB)C = A(BC) (ассоциативность); 2) a(AB) = (aA)B = A(aB), где a - любое число; 3) (A + B) C = AC + BC (дистрибутивность); 4) C(A +B) = CA + CB; 5) AE = EA = A, где А - квадратная матрица; Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Транспонирование: Транспонирование матрицы-это замена строк столбцами. Результатом транспонирования матрицы А размерности mxn, является матрица  размерности nxm.Свойства операции транспонирования: 1) (АТ)Т = А ; 2) (А + В)Т = А Т+ ВТ; 3) (АВ)Т = ВТА Т; 4) (ХА)Т= Х-(АТ), где X - число. Квадратная матрица А называется симметрической, если =А. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если = - А.2. Определителем (детерменантом) каждой квадратной матрицы называется число, которое ставится в соответсвии этой матрицы по определенному правилу. Правило Саррюса: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть уравнения со знаком плюс, есть произведение элементов главной диагонали матрицы А, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемое, входящее в уравнение со знаком минус, строится таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали. 3. Свойства определителей: 1) Определитель не меняется при транспонировании, т. е. |А| = | |. Для определителя строки и столбцы равноправны, поэтому все свойства, сформулированные для строк, верны и для столбцов.2) Если в определителе какие-либо две строки (столбца) равны, то такой определитель равен нулю. 3) Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя. 4) Если в определителе поменять местами какие-либо две строки (столбца), то определитель меняет знак. 5) Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то такой определитель равен нулю. 6) Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на одно и то же число А, то определитель не изменится. 7) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором - вторые. 8) Определитель матрицы, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. 4. Разложение определителя по строке(столбцу) Теорема Лапласа: Определитель n-ого порядка матрицы А равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. Алгебраическим дополнением некоторого элемента i и j некоторого порядка называется минор, взятый со знаком «+», если сумма четное число, если нечетное, то со знаком «–» . Минором некоторого элемента a(i,j) определителя n-го порядка матрицы А называется определитель порядка (n-1), полученный из определителя матрицы А путем вычеркивания i-строки и j-столбца. Вычисление определителей n-го порядка: разложение определителя по строке (столбцу). Минором элемента называется определитель порядка n=-1, полученный вычеркиванием i строки и j столбца. Алгебраическим дополнением некоторого определителя n-ого порядка называется его минор взятый со знаком плюс (если четное) и минус (если нечет). Aij=(-1)^i+j * Mij Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов некоторой строки или столбца этой матрицы на их алгебраические дополнения. Т: Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на алгебраическое дополнение соответствующее элементу другой строки равна нулю 5. Обратная матрица. Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае. Если А-невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица  такая, что: А=А=Е, где Е-единичная матрица. Матрица называется обратной к матрице А.Вычисление с помощью присоединенной матрицы: Если квадратная матрица А невырожденная, то обратная матрица для нее находится по следующей формуле: =  * , где -присоединенная матрица, полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений к элементам матрицы А.Метод элементарных преобразований: Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие: 1) Перестановка строк (столбцов) 2) Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля. 3) Прибавление к элементам строки (столбца) соответсвующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число. Для данной матрицы А n-ого порядка строим прямоугольную матрицу  =(А|Е) размера nx2n, приписывая к А справа единичную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу к виду (Е|В), что всегда возможно, если А невырождена. Тогда В=.6. Линейная зависимость строк Строка А является линейной комбинацией строк (B, C, D..) с коэфицентами (λ, μ, υ..), если выполняется условие: А= λВ +μС+…+ υD или  =λ |