шпора по аналит геометрии и линейной алгебре. Действия над матрицами
 Скачать 5.1 Mb.
|
 + μ +…+ υ , где j=1,2,…,k.Строки (А, В,…, С) являются линейно зависимыми (ЛЗ), если найдутся такие числа (α, β,…, γ) не все равные нулю, что справедливы равенства: αА+βВ+…+γС=О, в котором О=(0, 0,…, 0) обозначает нулевую строку. Строки, не являющиеся ЛЗ, называются линейно независимыми (ЛНЗ). Строки (А, В,…, С) называются линейно независимыми (ЛНЗ), если равенство: αА+βВ+…+γС=О возможно лишь в том случае, когда все коэфиценты (α, β,…, γ) равны нулю. Т. Для того чтобы строки (А, В,…, С) были ЛЗ, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк являлась линейной комбинацией остальных строк. (1) Во всех терминах «строку» можно заменить «столбцом» Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Т. Для того чтобы определитель n-ого порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были ЛЗ. Док-во: 1) Необходимость. Если определитель n-ого порядка равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок r, заведомо меньший n. Но тогда хоты бы одна из строк является не базисной. По теореме о базисном миноре эта строка является линейной комбинацией базисных строк. В эту линейную комбинацию мы можем включить и все оставшиеся строки, поставив перед ними нули. Итак, одна строка является линейной кобинацией остальных. Но тогда по теореме (1) строки определителя ЛЗ. 2) Достаточность. Если строки ЛЗ, то по теореме (1) одна строка  является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки указанную линейную комбинацию, мы, не изменив велечины, получим одну строку, целиком состоящую из нулей. Но тогда определитель равен нулю.7. Ранг матрицы Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель k-ого порядка, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении k-строк и k-столбцов. Предположим, что хотя бы один из элементов  матрицы А отличен от нуля. Тогда найдется такое целое положительное число r, что: 1) у матрицы А имеется минор r-ого порядка, отличный от нуля, 2) всякий минор (r+1)-ого и более высокого порядка (если такие существуют) равен нулю.Число r, удовлетворяющее требованиям 1) и 2), назовем его рангом матрицы А. Тот минор r-ого порядка, который отличен от нуля, назовем базисным минором. Строки и стлобцы, на пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответсвенно базисными строками и базисными столбцами. Т. Базисные строки (столбцы) ЛНЗ. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Свойства ранга матрицы: 1) При транспонировании матрицы ее ранг не меняется. 2) Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку (столбец), то ее ранг не изменится. 3) Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях. Методы вычисления ранга: 1) Метод элементарных преобразований. Утверждение: ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Т. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется. 2) Метод окоймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k-ого порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)-ого порядка, которые содержат в себе (окоймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-ого порядка, и вся процедура повторяется. 8. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащех m-уравнений и n- неизвестных, называется система вида:  (1)При этом через |