СЛАУ. Задание 4
 Скачать 485.49 Kb.
|
      Задание 4 Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
Умножим 1-ую строку на (7). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (7). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Определим ранг основной системы системы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля. Ранг этой системы равен rangA=3. Определим ранг расширенной системы системы.
Ранг этой системы равен rangB=3. rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - 6x3 = - 36 - 12x4 5x2 - 3x3 = - 3 - x4 x1 + 3x2 = 1 + 3x4 Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4, то есть нашли общее решение: x3 = 6 + 2x4 x2 = 3 + x4 x1 = - 8 Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения. Задание 5 Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Определим ранг основной системы системы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля. Ранг этой системы равен rangA=2. Определим ранг расширенной системы системы.
Ранг этой системы равен rangB=2. rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2,x3, значит, неизвестные x2,x3 – зависимые (базисные), а x1,x4 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - 4x3 = 6x4 x2 - 9x3 = - x1 + 14x4 Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2,x3 через свободные x1,x4, то есть нашли общее решение: x3 = - 3/2x4 x2 = - x1 + 1/2x4 Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения. |