12 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. (1). Лекция 12 кривые второго порядка. Поверхности второго порядка. План лекции Введение
![]()
|
Лекция №12 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. План лекции Введение. Канонические формы уравнений кривых второго порядка. Канонические формы уравнений поверхностей второго порядка. Кривые второго порядка (эллипсис, гипербола, парабола) как конические сечения были известны математикам д. Греции. С помощью этих кривых решались некоторые задачи на построение (удвоение куба и др.), оказавшиеся недоступными при использовании циркуля и линейки. Дальнейшие успехи в теории кривых второго порядка связаны с созданием в 17 в. нового геометрического метода - метода координат. Кривые второго порядка часто встречаются в различных явлениях природы и в человеческой деятельности. В науке они приобрели особое значение после того, как немецкий астроном И.Кеплер открыл из наблюдений, а английский ученый И.Ньютон теоретически обосновал закон движения планет, один из которых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которых находится Солнце. Следующие примеры относятся к отдельным типам конических сечений: параболу описывает камень, брошенный наклонно к горизонту; в некоторых механизмах пользуются зубчатыми колесами эллиптической формы; гипербола служит графиком обратной пропорциональности. Такие многообразные применения имеют и поверхности второго порядка. Кривые второго порядка. Канонические формы уравнения кривых второго порядка. Определение 1. Кривой второго порядка называется множество точек ![]() ![]() Канонические уравнения кривых второго порядка. Эллипсис (рис.1а) ![]() ![]() А) Б) Рис.1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если положить ![]() получим параметрическое уравнение эллипса: ![]() ![]() Характеристическое свойство эллипса: эллипсом называется геометрическое место точек ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.2 Рис.3 Характеристическое свойство гиперболы: гиперболой называется геометрическое место точек ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Парабола ![]() ![]() ![]() Характеристическое свойство параболы: параболой называется геометрическое место точек ![]() ![]() ![]() ![]() 4 ![]() ![]() 5) Пара параллельных прямых ![]() ![]() 6) Пара совпадающих прямых ![]() ![]() ![]() ![]() 7) Точка ![]() 8) Пустое множество ![]() 3. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Определение 2. Поверхности второго порядка называется множество всех точек ![]() ![]() Канонические уравнения поверхностей второго порядка. 1) Эллипсоид ![]() ![]() ![]() ![]() Все плоские сечения эллипсоида - эллипсы. При ![]() ![]() 2) Гиперболоиды ![]() а) ![]() ![]() ![]() ![]() б ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Параболоиды а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4) Конус ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5) Пара пересекающихся плоскостей ![]() ![]() ![]() ![]() Или ![]() 6 ![]() ![]() 7) Пара совпадающих плоскостей ![]() 8) Цилиндры Поверхность называется цилиндрической, если она получена движением прямой (образующей) параллельно фиксированной прямой по плоской кривой (направляющей). ![]() ![]() ![]() ![]() а ![]() ![]() б) ![]() ![]() в) ![]() ![]() 9) Прямая ![]() ![]() 10) Точка ![]() 11)Пустое множество ![]() ![]() Кривыми и поверхностями, рассмотренными в этой лекции, исчерпываются все кривые и поверхности второго порядка. |