Главная страница
Навигация по странице:

  • Определение 14.2.

  • Определение 14.3.

  • Рис. 14.4.  Определение 14.5.

  • 14.2. Свойства функций, непрерывных в точке. ♦ Теорема 14.1.

  • Лекция 14. Непрерывность функции. Лекция 14. Непрерывность функции. 14 Определения непрерывности функции. Определение 14. 1


    Скачать 273.5 Kb.
    НазваниеЛекция 14. Непрерывность функции. 14 Определения непрерывности функции. Определение 14. 1
    АнкорЛекция 14. Непрерывность функции.doc
    Дата31.03.2018
    Размер273.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаЛекция 14. Непрерывность функции.doc
    ТипЛекция
    #17453

    Лекция 14. Непрерывность функции.
    14.1. Определения непрерывности функции.
    Определение 14.1. Функция называется непрерывной в точкеa, если она удовлетворяет следующим трём условиям:

    1) определена в точке а (то есть существует );

    2) имеет конечный предел функции при ;

    3) этот предел равен частному значению функции в точке а, то есть .

    Определение 14.2. Функция называется непрерывной справа (слева) в точкеa, если правое (левое) предельное значение этой функции в точке a существует и равно частному значению .

    Пример 14.1.

    Приведём примеры непрерывных функций:

    1) , так как .

    2) при .

    3) Функция свойством непрерывности в точке не обладает.
    Определение непрерывности в точке а может быть записано и так:

    ,

    то есть для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции. Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью её графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).

    Дадим аргументу а приращение . Тогда функция получит приращение , определяемое как разность наращенного и исходного значений функции (см. рис. 14.1):

    .

    Рис. 14.1.




    Определение 14.3. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

    Определение 14.4. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва функции.

    Например, функция Дирихле разрывна в каждой точке .
    Точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом.

    1) Если , то а называется точкой устранимого разрыва функции . При этом значение может быть и не определено.

    2) Если , то а называется точкой разрыва с конечным скачком функции . Значение может быть любым, а может быть и не определено.

    3) Конечный скачок и устранимый разрыв функции называются разрывами I рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов и .

    Все другие разрывы называются разрывами II рода. В точке разрыва II рода хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
    Пример 14.2. 1) Пусть Очевидно, , но (рис. 14.2). Следовательно, – точка устранимого разрыва функции . Если положить , то разрыв устраняется.



    Рис. 14.2.


    2) Пусть Здесь , (рис. 14.3). Следовательно, – точка разрыва с конечным скачком функции . При переходе через точку значения функции меняются скачком от значений, сколь угодно близких к 1 при к значению, равному 0 в точке , и значениям, сколь угодно близким к 0 при .



    Рис. 14.3.


    3) Пусть . Определим односторонние пределы: , . Точка – точка разрыва функции II рода (рис. 14.4).



    Рис. 14.4. 


    Определение 14.5. Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в любой точке . Функция непрерывна на интервале или на сегменте , если

    ; .
    14.2. Свойства функций, непрерывных в точке.
    Теорема 14.1. 1) Если функции и определены на и непрерывны в точке a, то их алгебраическая сумма (разность) , произведение и частное являются функциями, непрерывными в точке a.

    Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств пределов функций. ■
    2) Если функция непрерывна в точке а и , то существует такая окрестность точки а, в которой .

    Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента в соответствии с определением 14.3 можно получить как угодно малое приращение функции , так что знак функции в окрестности точки а не изменится. ■
    3) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , и , то сложная функция непрерывна в точке .

    Доказательство. Малому приращению аргумента в силу определения 14.3 соответствует как угодно малое приращение , приводящее, в свою очередь, в силу того же определения непрерывности функции к как угодно малому приращению
    Свойство 3 может быть записано в виде

    ,

    то есть под знаком сложной функции можно переходить к пределу.
    Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.
    Пример 14.3. Доказать непрерывность функции .

    Найдём . Таким образом, получили, что , следовательно, по определению 14.3 функция является непрерывной на всей числовой оси.
    Отметим ещё некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке:

    1) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 14.5).







    Рис. 14.5.







    2) Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (см. рис. 14.6).






    Рис. 14.6.







    3) Если функция непрерывна на отрезке и значения её на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка такая, что (cм. рис. 14.7).






    Рис. 14.7.








    написать администратору сайта