Лекция 14. Непрерывность функции. Лекция 14. Непрерывность функции. 14 Определения непрерывности функции. Определение 14. 1
Скачать 273.5 Kb.
|
Лекция 14. Непрерывность функции. 14.1. Определения непрерывности функции. Определение 14.1. Функция называется непрерывной в точкеa, если она удовлетворяет следующим трём условиям: 1) определена в точке а (то есть существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен частному значению функции в точке а, то есть . Определение 14.2. Функция называется непрерывной справа (слева) в точкеa, если правое (левое) предельное значение этой функции в точке a существует и равно частному значению . Пример 14.1. Приведём примеры непрерывных функций: 1) , так как . 2) при . 3) Функция свойством непрерывности в точке не обладает. Определение непрерывности в точке а может быть записано и так: , то есть для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции. Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью её графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).
Определение 14.3. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: . Определение 14.4. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва функции. Например, функция Дирихле разрывна в каждой точке . Точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом. 1) Если , то а называется точкой устранимого разрыва функции . При этом значение может быть и не определено. 2) Если , то а называется точкой разрыва с конечным скачком функции . Значение может быть любым, а может быть и не определено. 3) Конечный скачок и устранимый разрыв функции называются разрывами I рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов и . Все другие разрывы называются разрывами II рода. В точке разрыва II рода хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует. Пример 14.2. 1) Пусть Очевидно, , но (рис. 14.2). Следовательно, – точка устранимого разрыва функции . Если положить , то разрыв устраняется.
2) Пусть Здесь , (рис. 14.3). Следовательно, – точка разрыва с конечным скачком функции . При переходе через точку значения функции меняются скачком от значений, сколь угодно близких к 1 при к значению, равному 0 в точке , и значениям, сколь угодно близким к 0 при .
3) Пусть . Определим односторонние пределы: , . Точка – точка разрыва функции II рода (рис. 14.4).
Определение 14.5. Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в любой точке . Функция непрерывна на интервале или на сегменте , если ; . 14.2. Свойства функций, непрерывных в точке. ♦ Теорема 14.1. 1) Если функции и определены на и непрерывны в точке a, то их алгебраическая сумма (разность) , произведение и частное являются функциями, непрерывными в точке a. Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств пределов функций. ■ ♦ 2) Если функция непрерывна в точке а и , то существует такая окрестность точки а, в которой . Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента в соответствии с определением 14.3 можно получить как угодно малое приращение функции , так что знак функции в окрестности точки а не изменится. ■ ♦ 3) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , и , то сложная функция непрерывна в точке . Доказательство. Малому приращению аргумента в силу определения 14.3 соответствует как угодно малое приращение , приводящее, в свою очередь, в силу того же определения непрерывности функции к как угодно малому приращению ■ Свойство 3 может быть записано в виде , то есть под знаком сложной функции можно переходить к пределу. Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения. Пример 14.3. Доказать непрерывность функции . Найдём . Таким образом, получили, что , следовательно, по определению 14.3 функция является непрерывной на всей числовой оси. Отметим ещё некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке:
|