Лекция. Лекция 20. Лекция 20 Основы динамики сооружений Учебные вопросы 20 Предмет и задачи динамики сооружений

• Название: Лекция 20 Основы динамики сооружений Учебные вопросы 20 Предмет и задачи динамики сооружений
• Анкор: Лекция
• Дата: 18.09.2021
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: Лекция 20.doc
• Тип: Лекция; #233757
• страница: 2 из 3

Рис.14.3

Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на балку будут действовать в качестве внешних сил инерционные силы , (i = 1,2,3,...,n). Применяя метод сил, перемещение произвольной массы y_i (t) записывается в виде суммы:

, (14.11)

где - перемещение i-ой массы от статической единичной силы, приложенной к k-ой массе от статической единичной силы по направлению соответствующей инерционной силы.

Подставляя выражение инерционных сил в систему уравнений (14.11), получим:

, (i = 1,2,3,...,n). (14.12)

Система дифференциальных уравнений движения (14.12), опи­сывающая свободные колебания заданной балки, представляет со­бой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго по­рядка с постоянными коэффициентами, решение которой в общем случае записывается в виде:

. (14.13)

Рассмотрим одно частное произвольное решение соответствую­щее r-ой форме колебаний:

. (14.14)

Подставляя (14.14) в (14.12) получим:

, (14.15)

которое распадается на две группы уравнений:

(14.16)

и

(14.17)

Решение уравнения (14.16) записывается в виде:

, (r = 1,2,3,...,n). (14.18)

Как видно из (14.18), по произвольной форме r = 1,2,3,...,n коле­бания происходят по гармоническому закону с частотой . Здесь  - частота собственных колебаний заданной системы, соответст­вующая r-ой форме.

Согласно (14.14) - является перемещением i-ой массы при r-ой форме колебания, значения которой определяется из решения системы алгебраических уравнений (14.17).

Система (14.17) относительно (i = 1,2,3,...,n) имеет различ­ные решения. Очевидно, решение º 0 свидетельствует об отсут­ствии движения системы, т.е. состояние покоя системы, которое нас не интересует.

Система (14.17) может иметь решения, отличные от нулевого лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

, (14.19)

где принято обозначение .

Раскрывая определитель (14.19), получаем уравнения n-ой степени относительно , а при его решении получим n значений  . Каждому значению (r = 1,2,3,...,n) будет соответствовать своя собственная частота:

,

и свой собственный вектор:

.

При этом собственные формы упругих систем ортогональны между собой:

, (r,k = 1,2,3,...,n;    r ¹ k). (14.20)

Величины непосредственно из решения (14.17) определить нельзя, они могут быть найдены с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. по существу могут быть найдены от­ношения между . Принимая обозначения система (14.17) преобразуется в вид:



Последняя система имеет одно лишнее уравнение, так как име­ем n уравнений относительно (n-1) неизвестных . Отбрасывая одно из этих уравнений, решая оставшуюся систему определяют все неизвестные .

Далее, полагая _, по формуле определяются все остальные амплитуды перемещений масс при r-ой произволь­ной форме колебаний.

Возвращаясь к выражению (14.13) с учетом (14.18) можем запи­сать:

(14.21)

Учитывая, что , A_r и B_r являются произвольными постоян­ными, решение (14.21) можно записать в более удобной форме:

и можно выразить через начальные условия каждой массы при t = 0, которыми являются перемещения i-ой массы и ее скорости , и следовательно, задача о свободных колеба­ниях системы с произвольным числом свободы будет полностью решена.
14.5. Вынужденные колебания систем с произвольным числом

степеней свободы при действии вибрационной нагрузки
Рассматриваем установившиеся вынужденные колебания системы (рис.14.4) без учета внешнего или внутреннего сопротив­ления. Будем считать, что внешнюю нагрузку можно разложить по направлениям перемещений сосредоточенных масс, а составляю­щие ее обозначим , (i = 1,2,3,...,n).



Рис.14.4
Таким образом, роль внешних сил здесь будут играть величины:

. (14.22)

Канонические уравнения метода сил в данном случае записы­ваются в виде:

  (r = 1,2,3,...,n). (14.23)

Подставляя (14.22) в (14.23) и после ряда преобразова­ний, получим:

(i = 1,2,3,...,n). (14.24)

Здесь - амплитудное значение перемещения i-ой массы, вызванное действием системы внешних сил .

Частное решение системы уравнений (14.24) записывается в виде:

, (14.25)

где - амплитуда перемещения i-ой массы; - частота вынуж­денных колебаний системы.

Выражение для определения инерционных сил принимает вид:

Z_i (t) =  , (14.26)

где - амплитудные величины инерционных сил.

Принимая обозначение

(14.27)

и с учетом (14.26) систему уравнений можно преобразовать к сле­дующему виду:

(14.28)

решение которого записывается в виде:

. (14.29)

Здесь D и D_i - соответственно, определитель системы (14.28) и определитель, полученный из D заменой элементов (k = 1,2,..., n) соответствующими свободными членами (i = 1,2,..., n), т.е.

;

. (14.30)

Нетрудно заметить, что определитель D совпадает по форме с выражением (14.19), и поэтому при , т.е. при стремлении зна­чения частоты вынужденных колебаний к частоте собственных ко­лебаний заданной системы, получим , следовательно и соответственно, и согласно (14.26) , т.е. будет иметь место резонанс.

График зависимости от частоты имеет вид, приведенный на рис.14.5.



Рис.14.5
Однако увеличение амплитуды колебаний при резонансе до бесконечности является абстракцией. В действительности всегда имеются контуры, ограничивающие величину амплитуды , в частности внутреннее трение материала конструкции или внешнее сопротивление. Поэтому в действительности при происходит значительное увеличение , при этом оставаясь конечной величи­ной.

После определения из (14.29) с учетом (14.22) следует опре­делить амплитудное значение внешних сил:

,(i = 1, 2,..., n), (14.31)

и по значениям (i = 1, 2,..., n) определить амплитудное значе­ние внутренних усилий.

Например, общее выражение для определения амплитудных значений изгибающих моментов от динамических сил R_i (t) для статически неопределимых систем можно записать в виде:

,

где M_ik(k,i = 1,2,..., n) - значение момента в i-ом сечении при действии единичной силы в точке k. 
НАЗАД                      НА ОГЛАВЛЕНИЕ                   ДАЛЕЕ



Главная / Лекции / Расчетно-графические работы / Расчеты строительных конструкций на ЭВМ / Зачетные вопросы / Справочные данные / Литература
14.6. Пример динамического расчета рамы
На раме с размерами, указанными на рис.14.6, в точках 1 и 2 установлены два одинаковых вибратора весом G = 20 кН каждый и весом неуравновешенных частей Р₀ =1,2 кН, размещенные на оси вращения с эксцентриситетом е = 0,015 м. Вибраторы вращаются синфазно с частотой n = 600 об/мин.

Рама выполнена из двух двутавров № 50 (ГОСТ 8239-72), т.е. J_x = 3,29×10^-4 м⁴; W_x =0,157×10^-2 м³. Рама изготовлена из стали с харак­теристиками Е = 2,1×10⁵ МПа, R = 190 МПа.

Пренебрегая собственным весом рамы и внутренним трением мате­риала, требуется:

1. Составить канонические урав­нения по методу сил, определяющие свободные колебания рамы, и полу­чить значения частот и периодов соб­ственных колебаний рамы;

2. Вычислить отношения ампли­туд и графически изобразить возможные формы собственных ко­лебаний рамы;

3. Проверить ортогональность собственных форм колебаний си­стемы;

4. Определить круговую частоту вынужденных колебаний и изо­бразить примерный вид графика коэффициента динамичности;

5. Составить канонические уравнения по методу сил, определя­ющие вынужденные колебания системы, и определить амплитуд­ные значения инерционных сил;

6. Построить статическую эпюру изгибающих моментов от всех вибраторов и эпюру амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном режиме колебания рамы;

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции;

8. Вычислить максимальное значение напряжения в опасном сечении и проверить условия прочности для принятого поперечно­го сечения рамы.

Решение:

Расчетная схема рассматриваемой системы показана на рис.14.6. Под действием периодической возмущающей нагрузки рама совер­шает колебательное движение.



Рис.14.6

Пренебрегая внутренним трением материала рамы и ее собственным весом, упругие перемещения сечений 1 и 2 по принципу независимости действия сил записы­ваются в виде:

(14.32)

где  - перемещение i-ого сечения от статической единичной силы, приложенной в k-ом сечении (i = 1,2; k = 1,2) по направле­нию соответствующей инерционной силы;  ,  - перемеще­ния сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом: 

(14.33)

где

(14.34)

С учетом выражений (14.33) и (14.34) и m₁ = m₂ = m уравнение (14.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде:

(14.35)

где .

Решая систему уравнений (14.35) определяют амплитудные зна­чения инерционных нагрузок (способом Крамера):

,    (i = 1,2), (14.36)

где приняты следующие обозначения:

   

.

Учитывая, что в данном случае P₁ = P₂, амплитуды динами­ческого прогиба и изгибающего момента в произвольном i-ом (i = 1,2,...) сечении могут быть определены по формулам: 

(14.37)

Уравнения движения (14.32) при свободных колебаниях рамы, т.е. при P₁ = P₂ = 0, принимают вид 

(14.38)

Относительно амплитуды перемещения последняя система уравнений преобразуется в виде:

(14.39)

где .

Здесь  - частота собственных колебаний рамы.

Система алгебраических уравнений (14.39) относительно ампли­туды перемещения сосредоточенных масс имеет различные реше­ния. Очевидное решение свидетельствует об отсутст­вии движения системы и не подходит по смыслу поставленной задачи.

Система (14.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

. (14.40)

Раскрыв определитель (14.40), получим квадратное уравнение относительно . После определения с учетом (14.39) вычисляются собственные частоты .

Первая частота называется частотой основного тона собст­венных колебаний. Каждой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания можно изобразить графически. Для этого в уравнения (14.39) следует подставить зна­чение (i = 1, 2), причем:

. (14.41)

При этом одно из двух уравнений (14.39) становится лишним. Пренебрегая первым уравнением (14.39), из второго получим:

,   (i = 1,2). (14.42)

После чего, задавая значение y_ii(i = 1,2), можно вычислить в долях , а  - в долях и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второго тона колебаний.

Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортого­нальности собственных форм записывается в виде:

,   (r,k = 1,2;   r ¹ k). (14.43)

Определив собственные частоты  и и вычислив частоту вынужденных колебаний , необходимо сопоставить с ближай­шей из  или . Во избежание наступления резонансных колеба­ний рекомендуется, чтобы отличалась от любой из частот , не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то следует изменить значение или . Этого можно достичь путем:

- изменения геометрических или физико-механических характеристик материалов элементов рамы;

- уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора.

При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях ра­мы должны удовлетворять условиям прочности.

Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.

1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы

Предварительно определим изгибную жесткость элементов заданной системы:

кН×м².

Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис.14.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х₁ = 1 показана на рис.14.7, б, а от единичных внешних сил - на рис.14.8, а, б.

Сначала рассчитываем раму на действие силы . Канони­ческое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде:

. (14.44)