Лекция, 2017, осень гидростатика1 Вопросы к лекции Задачи гидростатики. Допущения при выводе законов гидростатики

• Название: Лекция, 2017, осень гидростатика1 Вопросы к лекции Задачи гидростатики. Допущения при выводе законов гидростатики
• Дата: 13.05.2018
• Размер: 387.5 Kb.
• Имя файла: 2-ya_lektsia_gidrostatika-1_2017_osen.doc
• Тип: Лекция; #43528

2-я лекция, 2017, осень

2. ГИДРОСТАТИКА-1

Вопросы к лекции:

1. Задачи гидростатики. Допущения при выводе законов гидростатики.

2. Силы, действующие в жидкости. Метод сечений. Гидростатическое давление.

3. Закон Паскаля. Свойство гидростатического давления в точке. Равновесие тетраэдра.

4. Основное уравнения гидростатики. Вид. Вывод. Составляющие гидростатического напора.

5. Дифференциальные уравнения Эйлера равновесия жидкости: вид, дифференциал давления. Интегрирование уравнений Эйлера для простейшего случая.

6. Пьезометрическая высота. Измерение избыточного давления и вакуума с помощью

пьезометров.
2.1. Задачи гидростатики. Допущения при выводе законов гидростатики.
Гидростатикой называется раздел механики жидкости и газа, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое применение.

Задача гидростатики – вычисление распределения давления в однородной весомой жидкости, иначе говоря, определение поля давления.

В гидростатике жидкость рассматривается в состоянии абсолютного и относительного покоя. Пример абсолютного покоя: жидкость находится в резервуаре неподвижном относительно земли. Пример относительного покоя: жидкость находится в железнодорожной цистерне и движется вместе с ней прямолинейно и равноускоренно.

При выводе законов гидростатики учитываются следующие допущения.

1. В неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения - напряжение сжатия, т. е. гидростатическое давление. Напряжением называется внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади, то есть отношение результирующей силы к площади σ=R/S.

2. В неподвижных жидкостях отсутствуют касательные напряжения, действие вязкости не учитывается.

3. На поверхности рассматриваемого неподвижного объема жидкости силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости и являются сжимающими.

4. Внешняя поверхность жидкости рассматривается, как поверхность раздела с газообразной средой или твердыми стенками.

5. Для вывода законов гидростатики применяется "принцип отвердевания", когда небольшой объем жидкости произвольной конфигурации выделяется внутри сосуда и рассматривается, как твердое тело. Принцип отвердевания не связан с физическим отвердевание, изменением объема или кристаллизацией. Это идеальное отвердевание без перемещения частиц и изменения объема.

6. На жидкость, находящуюся в состоянии относительного покоя действуют только массовые и поверхностные силы.

2.2. Силы, действующие в жидкости

Массовыесилы пропорциональны массе жидкости, а для однородной жидкости, ее объему. К ним относятся сила тяжестии силы инерции, действующие нажидкость при покое и при относительном покое в ускоренно движущихся сосудах.

Поверхностныесилы непрерывно распределены по поверхности жидкости, при равномерном их распределении пропорциональны площади этой поверхности. Поверхность жидкости это не только поверхность раздела жидкости и газа. Поверхность может быть образована при рассмотрении равновесия любого объема, выделенного в жидкости с использованием «принципа отвердевания».

Выделяем объем внутри жидкости (рис.1), затем выносим его как бы отдельно от всего объема, заменяем действие всего объема на вырезанный объем и действие вырезанного объема на оставшуюся жидкость внутренними силами, уравновешиваем силы. Внутренние силы действуют внутри тел, внешние между телами системы и телами вне системы. При разделении выделенного объема на две части внутренние силы будут действовать попарно в виде равных и противоположных сил, действующих на разделенные части, внешние, как были так и останутся, и действуют по одиночке. При суммировании внутренние силы взаимно уничтожаются, остаются только внешние силы. Для получения представления о внутренних силах, их необходимо сделать внешними.



Рис.2.1 Метод сечений.

«Принцип отвердевания»: если какая-либо система тел, находится в равновесии, можно выделить в ней часть, которая также будет в равновесии, при этом равновесие системы не нарушится. К цилиндру (рис.1) приложены внешние силы, мысленно выразрезаем его из объема жидкости и рассматриваем его равновесие. Теперь внутренние силы, действовавшие на нижнюю часть, станут внешними. Эти силы распределены по площади сечения, их действие должно уравновешивать действие внешних сил, так как цилиндр должен оставаться в равновесии. В этом состоит метод РОЗУ: режем, отбрасываем, заменяем, уравновешиваем.



Рис.2.2.Поверхностная сила, действующая на площадку в жидкости.

В общем случае поверхностная силаΔR, действующая па площадке ΔS , направлена под некоторым углом к ней, и раскладывается на нормальную ΔРи касательную к площадке ΔТсоставляющие (рис. 2.2). Первая называется силой давления в жидкости, а вторая - силой трения в жидкости при наличии движения жидкости.

Гидростатическим давлением в точке покоящейся жидкости называется напряжение сжатия

где Ра - давление в точке А; ΔS - элементарная площадка, со­держащая точку А,

ΔР - сжимающая сила, действующая на пло­щадку ΔS.

В международной системе единиц физических величин еди­ницей измерения давления является 1 Н/м² - паскаль (Па), используются и кратные единицы – килопаскаль, и мегапаскаль

1 Па = 10^-3 кПа= 10^-6 МПа.

Другие определения давления. В задачнике под ред. Куколевского [1] :«давление направлено по нормали к площадке, его величина не зависит от ориентировки площадки в пространстве и является функцией координат точек жидкости: Р =f (x,y,z)», откуда следует, что давление является направленной величиной.

В Зельдовиче-Мышкисе[2]: «..пусть в некоторой точке давление равно р; и это, конечно, величина скалярная».

У Прандтля[3]: « …результирующая сила, отнесенная к единице площади сечения, называется напряжением. …Напряжение на площадке, подобно силе, является вектором».

Касательная составляющая напряжения - результат действия сил вязкости, возникающих при движении жидкости. При отсутствии движения касательные напряжения в жидкости отсутствуют. В статике рассматривается действие только одной составляющей (рис.1) силы ΔР, действующей нормально к площадке ΔS.

2.3. Закон Паскаля. Свойство гидростатического давления в точке.

Выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и равными δx, δy и δz, грани этого тетраэдра перпендикулярны соответствующим координатным осям х, у, z. (рис.2.3). Применим к выделенному объему «принцип отвердевания» и рассмотрим условия равновесия тетраэдра.



Рис.2.3 Элементарный объем, выделенный в объеме жидкости. Ребра параллельны координатным осям. δРх,δРу,δPz – силы давления, действующие перпендикулярно граням.

Площади граней тетраэдра:



Площадь наклонной грани и косинусы, определяющие расположение наклонной грани и координатных осей:



Объем тетраэдра W = δxδyδz/6.

Массовыесилы (F) пропорциональны массе жидкости, для однородной жидкости ее объему, их направление может быть произвольным и соответствует направлению ускорения, с которым движется вся жидкость.

Суммарная элементарная массовая сила, действующая на выделенный объем

δF = δmА,

где δm – масса элементарного объема (тетраэдра), А – ускорение, которое вызвано действием массовых сил, таких как сила тяжести и сила инерции.

Равновесие элементарного тетраэдра рассматривается при действии на его грани сил давления и элементарной суммарной массовой силы δF.

Проекции ускорения А на оси координат: Х, У и Z.

Давление жидкости, действующее на тетраэдр по его граням-площадкам, обозначим: р_х, р_у,р_z, р_n,

Силы давления жидкости, действующие на грани нормальные к осям

Оx:δР_х = р_х*δS_x, площадь грани - δS_x= (δyδz/2)=δS_n* Cos(n ^x),

Оу: δР_у = р_у*δS_у, площадь грани - δS_у= (δхδz/2),

Оz: δР_z = р_z*δS_z, площадь грани - δS_z= (δxδy/2),

на наклонную грань: δР_n= р_n*δS_n,

проекция суммарной массовой силы на ось Ох: δF_x =Xδm= Х [ρ(δxδyδz/6)].

На остальные оси проекции массовой силы Y и Z могут быть записаны в таком же виде.

Составим уравнение равновесия тетраэдра под действием поверхностных и массовых сил в проекциях на ось Ох, учитываем допущение о том, что силы давления жидкости направлены по нормалям к соответствующим площадкам. Проекция сил на ось Ох

δР_х – δР_n + Хδm = 0.

Выразим проекцию силы давления жидкости в этом уравнении через произведение давления на площадь, проекцию массовой силы через произведение проекции ускорения (единичной массовой силы) на массу

р_х(δyδz/2) –р_n[δS_n*Cos(n^x)] + Х*[ρ(δxδyδz/6)] = 0. (2.1)

где Cos(n ^x) – косинус между нормалью к площадке δSn и осью Ох, δm = ρδW=(δxδyδz/6) - масса жидкости в тетраэдре, W = δxδyδz/6 -объем тетраэдра.

Разделив уравнение (2.1) на площадь треугольника δyδz/2, которая равна проекции площади наклонной грани δS_n на плоскость у0z, т. е. δS_n*Cos(n^x) = δSх =δyδz/2, получим

р_х –р_n + X [ρ(δx) /3] =0.

При стремлении объема тетраэдра к нулю, δx, δy, δz также стремятся к нулю. Поэтому последний член уравнения, содержащий множительδx, стремится к нулю.

Давления р_хи р_nбудут стремиться к значениям гидростатического давления в вершине трехгранного угла тетраэдра. При переходе к пределу приδх→0, получим

р_х - р_n = 0 или р_х = р_n.

Аналогично, составляя уравнения равновесия вдоль осей Оу и Оz, находим

р_х = р_у = р_z= р_n

Так как размеры тетраэдра δx, δy, δz взяты произвольно, и наклон площадки δS также произволен и, следовательно, в пределе при стремлении объема тeтраэдра к нулю, давление в его вершине по всем направлениям будет одинаково.

Закон Паскаля: В объеме покоящейся жидкости величина гидростатического давления в точке не зависит от направления площадки, для которой она вычислена. И раз не зависит, значит - скаляр.

Это свойство гидростатического давления имеет место не только при покое, но и при движении идеальной жидкости.

При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством не обладает.

2.3.Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим равновесие жидкости, когда на нее действует одна массовая сила — сила тяжести. На свободную поверхность жидкости, содержащейся в сосуде (рис.2.4), действует давление Р₀. Найдем гидростатическое давление р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.



Рис.2.4 Вывод основного уравнения гидростатики. Z –геометрический напор, Zo-Z –пьезометрический напор, Z+h – гидростатический напор.

Выделим около точки М элементарнyю горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h, воспользуемся «принципом отвердевания» и получим условия равновесия выделенного объема. Сила тяжести G выделенного объема направлена вниз.

Вес жидкости G будет удерживаться силой, действующей на нижнее основание цилиндра и направленной вверх. Это будет сила давления жидкости, которая является внешней по отношению к этому объему.

Запишем условие равновесия выделенного объема в проекции на вертикальную ось. Р и Ро – давления, δS – площадь основания объема, h – высота столба, ρg(h*δS)- вес объема

РδS –P₀δS – ρg(h*δS) = 0 .

вес

Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, так как они нормальны к вертикальной оси. Сократив выражение на δS, найдем

Основное уравнение гидростатики: Р=Р₀+ρgh (2.2.)

Используя его можно определить давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление складывается из давления Р₀ на внешнюю поверхность жидкости и давления, вызываемого весом выделенного объема жидкости, опирающегося на δS.

Давление Р₀ является одинаковым для всех точек объема жидкости, поэтому это давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается во все точки объема и по всем направлениям одинаково.

Давление жидкости как видно из формулы (2.2.) возрастает при увеличении глубины по линейной зависимости и на данной глубине есть величина постоянная.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления.

Плоскостью сравнения называется любая произвольно взятая относительно сосуда плоскость.

Обозначим Z координату точки М и Z₀ — координату свободной поверхности жидкости, заменив в уравнении (3.1) h на Z₀ -Z, получим

Р=Р₀+hρg = Р₀+(Z₀ - Z)ρg = Ро+ Z₀ρg - Zρg ,

преобразовав и разделив уравнение на ρg,

Z + Р/(ρg) = Z₀+P₀/(ρg). (2.3.)

Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

Z + Р/(ρg) → const

Определения (рис.2.4).

1.Координата Z(точки М относительно произвольной плоскости сравнения)называется геометрическим напором.

2.Величина h = Р/(ρg)= Z - Z₀ называется пьезометрической напором.

3. Сумма Z + h = Z+ Р/(ρg) называется гидростатическим напором.

Геометрический, пьезометрический, гидростатический напоры имеют размерность длины.

2.4. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера и их

интегрирование для простейшего случая.

Рассмотрим равновесие объема жидкости под действием суммарной силы тяжести и силы инерции F переносного движения при относительном покое. Система координат связана с объемом. Мы берем наклоненный объем, чтобы у нас при переходе от т. М к т. N было изменение давления, это более общий случай.

В точке М с координатами х, у иz, действует давление P (рис.2.5).



Рис.2.5 Вывод уравнения равновесия весомой жидкости- уравнений Эйлера.

Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами равными δx, δy и δz. Точка М является одной из вершин параллелепипеда.

Массовые силы. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. На объем действует суммарная массовая сила F (сумма сил тяжести и инерции), которая может быть разложена на проекции по осям координат:

F = Fx+Fy+Fz = δmA,

где А – ускорение, δm – масса элементарного объема.

Поделив суммарную массовую силу на массу δm получим ускорение А, которое у Эйлера называется единичной суммарной массовой силой. Эту единичную силу представим в виде сумы проекций Х, Y, Z на оси координат:

A = F/δm = Fx/ δm +Fy/ δm +Fz/ δm = X +Y + Z ,

Проекции на оси суммарной массовой силы, действующей на массу δm выделенного объема, будут равны произведениям проекций ускорения X,Y,Z, умноженным на массу выделенного объема

Fx = δm*X, Fу = δm*У, Fz = δm *Z.

Поверхностные силы. Давление р есть функция координат x, y и z. Вблизи точки О оно одинаково по всем трем граням параллелепипеда по закону Паскаля.

При переходе от точки М к точке N координата х изменяется на бесконечно малую величину δх, поскольку жидкость весома, давление р получает приращение, равное частному дифференциалу (∂р/∂х)*δх.

Поэтому давление в точке N равно

р + (∂р/∂х)*δх.

где (∂р/∂х) — градиент давления в направлении оси х

Разность давлений в т.М и в т.N равна

р – [р+(∂р/∂х) *δх]= -(∂р/∂х)*δх.

Рассматривая изменение давления в точках по осям перпендикулярным к оси Ох, видим, что они отличаются от давления в т.М аналогичным образом, при этом приращения давления по осям у и z равны (∂р/∂y)*δyи (∂р/∂z)*δz.

Cила давления, действующая на параллелепипед по оси х, равна разности давлений, умноженной на площадь грани:

-(∂р/∂х)δх*(δyδz).

дифференциал давления* площадь

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые поверхностные силы, поэтому уравнения равновесия объема в проекциях на координатные оси запишем в следующем виде:

*

массовая сила - сила давления

Разделим уравнения (2.4) на массу ρ(δхδyδz) параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя δх,δyи δz к нулю, стягивая параллелепипед к исходной точке О.

Система дифференциальных уравнений равновесия жидкости или система уравнений Эйлера

X – (1/ρ)*(∂р/∂х) = 0 *[dx]

Y - (1/ρ)*(∂р/∂y) = 0 *[dy] (2.5)

Z - (1/ρ)*(∂р/∂z) = 0 *[dz]

Умножим первое из уравнений (2.5) на dх, второе на dу третье dz и, сложив все три уравнения, получим

X*dх+У*dy+Z*dz - (1/ρ)*[(∂р/∂х)dx + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = 0

Трехчлен, заключенный в скобках [(∂р/∂х)dx + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] , это полный дифференциал давления

dP = [(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] , (2.6)

Дифференциал давления может быть выражен через проекции ускорений на оси

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz) (2.6а.)

Уравнение (2.6а.) выражает изменение давления dP при изменении координат на dх, dу и dz в случае равновесия жидкости под действием поля сил тяжести и сил инерции переносного движения.

Если рассмотреть действие на жидкость только силы тяжести, и направить ось z вертикально вверх (рис.2.4), то Х = У = 0, Z = - g для этого случая равновесия жидкости получим

dP = - ρg*dz(2.7)

После интегрирования будем иметь

P = - ρg*z + C(2.8.)

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности для которой при Z = Z₀ , Р=Р₀ (см. рис.2.4). Получим

С= Р₀+ ρg*Z₀

Подставим в (2.8.), получим

P= Р₀+( Z₀ -Z) ρg (2.9)

Или

Z+P/( ρg) = Z₀ + P₀/( ρg)=const

Заменяя в уравнении (2.9) разность ( Z₀ -Z) на h — глубину расположения точки М (см.рис. 2.2.), найдем

Р = P₀ + ρgh

Получили то же основное уравнение гидростатики (2.1) или (2.2), которое было выведено иным путем.

2.5. Применение пьезометра для измерения давления.

Пьезометром называется прибор для измерения давления на основе прозрачной трубки, заполненной жидкостью, один конец которой соединен с измеряемой точкой, а второй соединен с атмосферой (рис.2.6.). Пьезо́метр (от греческого слова  пьезо — сжимаю и метрео — измеряю).

По закону о сообщающихся сосудах в резервуаре и трубке, когда они открыты, жидкость одинаковой плотности под действием атмосферного давления устанавливается на одном горизонтальном уровне.

Свободной поверхностью называется поверхность раздела жидкости и газа.

Абсолютным давлением называется полное напряжение сжатия от действия всех внешних сил (поверхностных и массовых), приложенных к жидкости.

Избыточным давлением называется разность между абсолютным и атмосферным давлением.

Любая величина и давление измеряется от принятого уровня отсчета. За уровень отсчета абсолютного давления принимается условный абсолютный ноль напряжения от действия всех внешних сил. Жидкость при абсолютном нуле находится в ненапряженном состоянии, в ней отсутствуют напряжения сжатия.

Если над свободной поверхностью (рис.2.6) давление Р₀ равно атмосферному, это означает, что абсолютное давление над свободной поверхностью равно атмосферному

Р₀=Р_абс=Р_ат,

где Р₀ – давление над свободной поверхностью, Р_ат – атмосферное давление. Обозначение Р₀ принято, как обозначение абсолютного давления над свободной поверхностью. Если закрыть сосуд крышкой над свободной поверхностью можно создать абсолютное давление больше или меньше атмосферного.

Атмосферного давление вызывается силой тяжести воздуха. Нормальному атмосферному давлению на уровне моря соответствует h_рт.ст.=0,76 м ртутного столба или давление в Па

Р_ат= ρ_рт*g*h_рт.ст.=13600*9,81*0,76=101325 Па , около 100кПа.

При средней плотности воды ρ_вод=1000 кг/м³ этому давлению соответствует высота водяного столба

h_вод.ст. = Р_ат/(ρ_вод*g)=101325/1000*9,81=10,328 м.

При средней плотности воздуха ρ_в=1,25 кг/м³ высота воздушного столба

h_в.ст. = Р_ат/(ρ_в*g)=101325/1,25*9,81=8262 м.

При принятой средней плотности воздуха 1,25 кг/м³ отсчет абсолютного давления ведем от точки, расположенной приблизительно в 8-ми километрах над землей.

Вообще-то плотность воздуха по высоте атмосферы уменьшается по экспоненте и поэтому мы используем среднюю плотность воздуха, чтобы создать точку отсчета абсолютного давления.

Избыточным называется давление, измеренное от нуля, за который принято атмосферное давление, это ноль отсчета избыточного давления. Избыточное давление есть разность между абсолютным давлением и атмосферным давлением в данной точке, избыточное давление над свободной поверхностью равно нулю.

2.5.1. В открытом сосуде абсолютное давление над свободной поверхностью равно атмосферному Р₀ = Р_ат,


Рис.2.6 Использование пьезометра при Р₀=Ратм=Р_абс. h - высота точки измерения относительно свободной поверхности, пьезометрическая высота относительно пьезометрической поверхности (П.П.), Р₀ –абсолютное давление.

Величина избыточного давления над свободной поверхностью, в точке 0

Р _0изб =Р_абс – Р_атм = Р₀ – Р_ат = 0, т.к. Р₀=Р_атм

Величина абсолютного давления над свободной поверхностью в точке 0

Р_0абс=Р_ат.

В точке 1 (рис.2.6), избыточное давление равно



где h – пьезометрическая высота, расстояние от пьезометрической плоскости до точки измерения давления.

Абсолютное давление в точке 1 для открытого сосуда



Уровни равного давления параллельны свободной поверхности.

Горизонтальные плоскости, проведенные по уровням равного давления, называются: 1)поверхностями равного давления или 2)пьезометрическими плоскостями.

Поверхность, соответствующую атмосферному давлению отмечают особо, поскольку от нее идет отсчет избыточного давления, и ее называют пьезометрической плоскостью, соответствующей атмосферному давлению, обозначают: ПП.

Пьезометрической высотой называется заглубление точки, в которой определяется давление, относительно пьезометрической плоскости.

Пьезометрическая плоскость, соответствующая атмосферному давлению проходит на рис.2.6 по свободной поверхности.

На рис.2.6. справа изображен график изменения избыточного давления от глубины жидкости. Ось Р соответствует началу отсчета избыточного давления, ось h – глубине расположения точки, в которой надо измерить давление.

2.5.2.Если резервуар закрыть герметичной крышкой, можно создать над его поверхностью избыток давления, например, компрессором накачать воздух. Давление над свободной поверхностью и в резервуаре увеличится Р₀ > Ратм, уровень жидкости в резервуаре останется без изменений, в пьезометре уровень жидкости поднимется выше свободной поверхности. Диаметр трубки и диаметр резервуара D>>d, поэтому часть жидкости из резервуара, перешедшая в трубку невелика.

Уровень жидкости в пьезометре будет соответствовать атмосферному давлению, и поднимется над свободной поверхностью жидкости на высоту

.

где h_0и – высота подъема жидкости в пьезометре при избыточном давлении над свободной поверхностью. Атмосферное давление, действовавшее на жидкость до увеличения давления над свободной поверхностью, будет продолжать действовать, как постоянная величина на всю глубину сосуда.

Над свободной поверхностью избыточное давление (в точке 0) равно добавке, которую закачали в бак сверх атмосферного

Р_0изб = Р₀-Ратм= ρgh_0и.

абсолютное давление над свободной поверхностью будет суммой атмосферного давления Р_ат и избыточного давления над свободной поверхностью

Р_0абс =Р_ат + Р_0и=Р_ат+ ρgh_0и.



Рис.2.7 Использование пьезометра при Р₀>Pатм

В точке 1 под свободной поверхностью на глубине h₁ величина избыточного давления



где – пьезометрическая высота точки 1 (расстояние от пьезометрической плоскости), h₁ – расстояние от свободной поверхности до точки 1.

В точке 1 абсолютное давление



2.5.3. Опыт Торричели.



Рис.2.8.Опыт Торричелли по определению атмосферного давления

Максимальное значение столба жидкости, соответствующего вакууму в одну атмосферу можно определить, если принять Р_абс = 0.

,

Вакуумметрическая высота столба различных жидкостей :

для воды: h_вмакс = Р/(ρ_водg) = 101325Па/1000*9,81 = 10,328 м в.ст.,

для ртути: h_ртмакс = Р/(ρ_ртg) =101325Па/13600*9,81 = 0,759 м рт. ст.,

для бензина: h_бмакс = Р/(ρ_бензg) =101325Па/760*9,81 = 13,59 м бенз. ст.

2.5.4. Разряжение (вакуум). Если резервуар закрыть герметичной крышкой и откачать из-под нее воздух, давление над свободной поверхностью уменьшится и станет меньше атмосферного Р₀ < Ратм. Уровень жидкости в пьезометре под действием атмосферного давления опустится ниже свободной поверхности жидкости на высоту, соответствующую давлению ΔР=Ратм-Р₀



где h0в – высота опускания жидкости в пьезометре при действии разряжения (Ратм – Р₀).

Над свободной поверхностью разряжение (недостаточное до атмосферного) давление( в точке 0)



Над свободной поверхностью абсолютное давление (в точке 0)





Рис.2.9. Использование пьезометра при разряжении Р₀<Ратм. h₁,h₂ – высоты относительно свободной поверхности, h’,h” – пьезометрические высоты.

Начало отсчета для вакуума (или избыточного давления, как на рис.2.9) в пьезометре, то есть пьезометрическая плоскость, может расположиться под свободной поверхностью (рис.2.9) или даже ниже дна. Часть сосуда, выше пьезометрической поверхности (П.П.), находится в зоне разряжения (вакуума), например, точка 1, где

Р_1абс < Рат,

точка ниже этой поверхности, например, точка 2 находится в зоне избыточного давления, где

Р_2абс > Рат,

Избыточное давление берется со знаком минус по тем осям, которые обозначены на рисунке.

В точке 1, она выше П.П., имеется разряжение (недостаток до атмосферного давления)



В точке 1 абсолютное давление



В точке 2, ниже П.П., имеется избыточное давление



В точке 2 абсолютное давление



где h₁ и h₂ – высоты относительно свободной поверхности, h’,h” – пьезометрические высоты (расстояния от П.П. до точки измерения давления), h_0в – высота, определяющая положение пьезометрической плоскости относительно свободной поверхности.

Задача к 2-й лекции. Определить вакуум над поверхностью жидкости, обеспечивающий равновесие сосуда.



Рис.2.16 К задаче. а) условие, б) применение принципа отвердевания, в) эпюра для абсолютного давления, г) эпюра для избыточного давления, д) эпюра для недостаточного до атмосферного давления (вакуума в сосуде). Сила давления жидкости в сосуде – внутренний силовой фактор, для ее определения надо применить РОЗУ или принцип затвердевания.

Принцип затвердевания, впервые сформулирован Стевином: если деформируемое тело находится в равновесии, замена его или его отдельных частей, телами в абсолютно твердом состоянии, равновесия не нарушит. Считаем жидкость в сосуде твердым телом и рассматриваем условия равновесия части при ее вырезании из сосуда. Убираем стержень, оставляем только сосуд, с затвердевшей жидкостью. На рисунке видно, какая часть оставлена.

Рассматриваем равновесие сосуда под действием внешних и внутренних сил для трех вариантов: при абсолютном, избыточном давлении и вакууме. На рис.5в,г,д указано направление, принятое при составлении уравнений.

1. 1. Абсолютное давление рассматриваем, как сумму атмосферного и избыточного. Поэтому эпюра атмосферного давления на верхней крышке, действует по принятому направлению и Рат входит в уравнение со знаком «+». Эпюра Р_Хабс действует против принятого направления и входит в уравнение со знаком «-». На нижней крышке – соответственно рисунку.


2. Избыточное давление на верхней крышке рис.5г действует противоположно принятому направлению, поэтому в уравнении оно со знаком «-», на нижней крышке со знаком «+».



3.Вакуум на рис.5д на верхней крышке действует по принятому направлению, поэтому сила в уравнение входит со знаком «+», на нижней крышке «-».


При определении давления можно рассматривать искомое давление, как абсолютное, избыточное, вакуум, но нужно помнить о знаке, и более простой вариант решения – использовать избыточное или вакуум, знак укажет, верно ли принято за исходное избыточное давление или вакуум.