Теория геометрических построений на плоскости. Лекция №3. Теория геометрических построений на плоскости( Мухаме. Лекция 3. Теория геометрических построений на плоскости (29. 10) Постановка задачи
 Скачать 25.33 Kb.
|
|
Мухаметгалиева А.Д. (НАЧ-222кз) Лекция №3. Теория геометрических построений на плоскости (29.10) Постановка задачи В произвольной задаче на построение требуется по данным фигурам построить фигуру, удовлетворяющую определенным в условии требованиям. Проблема решения задач на построение является одной из древнейших геометрических проблем, истоки решения которой восходят к Платону (4 в. до н. э.) В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. В современных геометрических школьных курсах рассматриваются задачи на построение с помощью циркуля и линейки, поэтому далее будем считать, что все построения осуществляются только с помощью этих инструментов. Понятие построенной фигуры Рассмотрим в пространстве плоскость, в которой будем осуществлять построения, и назовем ее основной плоскостью. Точки, прямые и окружности основной плоскости назовём основными фигурами. Для формулировки и решения задач на построение выделим некоторое множество основных фигур и будем каждый элемент этого множества называть построенной фигурой. Считается, что построенная фигура удовлетворяет следующим двум требованиям: 1) Точки, прямые и окружности, заданные условиями задачи на построение, считаются построенными фигурами. Множество заданных основных фигур конечно. 2) Существует хотя бы одна построенная прямая. На любой построенной прямой или окружности существуют по крайней мере две построенные точки. Постулаты построений В общем виде постановка задачи на построение циркулем и линейкой выглядит следующим образом: дано конечное множество основных построенные фигур и описано свойство, характеризующее искомую непостроенную фигуру; требуется, применяя постулаты 1-5, получить конечное множество основных фигур, содержащее искомую фигуру. 1. Построение прямой, проходящей через две построенные точки. 2. Построение окружности с центром в построенной точке и с радиусом, равным отрезку с концами в построенных точках. 3. Построение точки пересечения двух построенных прямых, если они пересекаются. 4. Построение точек пересечения построенной окружности и построенной прямой, если они пересекаются. 5. Построение точек пересечения двух построенных окружностей, если они пересекаются. Основные построения Построение 1. Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку. Построение 2. Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу. Построение 3. Построить треугольник по трем сторонам. Построение 4. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Построение 5. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам. Построение 6. Построить биссектрису данного неразвернутого угла. Построение 7. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка. Построение 8. Построить середину данного отрезка. Построение 9. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярно данной прямой (два случая). Построение 10. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельно данной прямой. Построение 11. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. Построение 12. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катет. Построение 13. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку. Этапы решения задач на построение Задача на построение решается в следующие четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Анализ состроит в установлении существующих связей, зависимостей между данными фигурами и искомой фигурой с целью выяснения последовательности построений, приводящей к решению задачи. Для проведения анализа задачу полагают решенной и выполняют схему, изображающую искомую и данные фигуры, при помощи которой восстанавливают последовательность построений, приводящую к построению искомой фигуры. Построение непосредственно состоит в последовательном осуществлении при помощи циркуля и линейки шагов построений, которые приводят к построению искомой фигуры. Этап построения сопровождается чертежом и последовательным описанием шагов построения. Доказательство заключается в установлении факта, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям условиям задачи. Как правило при доказательстве ссылаются непосредственно на шаги построения. Исследование состоит в ответах на вопросы, имеет ли задача решение и, если имеет, то сколько и при каких условиях. Типы задач на построение Для определения числа решений различают два типа задач на построение. К первому типу относятся задачи, в которых требуется определить положение искомой фигуры относительно данных фигур. В этом случае фигуры, полученные в качестве решения, удовлетворяющие условиям задачи и отличающиеся своим положением относительно данных фигур, считаются различными. Ко второму типу относятся задачи, решения которых сводятся друг к другу в результате движений плоскости. В этом случае все равные друг другу фигуры, каждая из которых является решением, удовлетворяющим условиям задачи, считаются одним решением. Вопросы. 1. Сформулируйте аксиому линейки и циркуля. Аксиома линейки. Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения: построить отрезок, соединяющий две построенные точки; построить прямую, проходящую через две построенные точки; построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку. Аксиома циркуля. Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения: построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы); построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы этих дуг. 2. Сформулируйте постулаты построений. 1. Построение прямой, проходящей через две построенные точки. 2. Построение окружности с центром в построенной точке и с радиусом, равным отрезку с концами в построенных точках. 3. Построение точки пересечения двух построенных прямых, если они пересекаются. 4. Построение точек пересечения построенной окружности и построенной прямой, если они пересекаются. 5. Построение точек пересечения двух построенных окружностей, если они пересекаются. 3. Сформулируйте основные построения. Построение 1. Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку. Построение 2. Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу. Построение 3. Построить треугольник по трем сторонам. Построение 4. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Построение 5. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам. Построение 6. Построить биссектрису данного неразвернутого угла. Построение 7. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка. Построение 8. Построить середину данного отрезка. Построение 9. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярно данной прямой (два случая). Построение 10. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельно данной прямой. Построение 11. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. Построение 12. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катет. Построение 13. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку. 4. Назовите этапы решения задачи на построение. Задача на построение решается в следующие четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. 5. Какие типы задач на построение Вы знаете и в чем их отличие? К первому типу относятся задачи, в которых требуется определить положение искомой фигуры относительно данных фигур. В этом случае фигуры, полученные в качестве решения, удовлетворяющие условиям задачи и отличающиеся своим положением относительно данных фигур, считаются различными. Ко второму типу относятся задачи, решения которых сводятся друг к другу в результате движений плоскости. В этом случае все равные друг другу фигуры, каждая из которых является решением, удовлетворяющим условиям задачи, считаются одним решением. |