Материалы. Лекция 6. Системы алгебраических уравнений и методы их решения (. Системы алгебраических уравнений и методы их решения Основные понятия Определение. Решением
 Скачать 403.23 Kb.
|
|
Системы алгебраических уравнений и методы их решения Основные понятия Определение. Решением системы уравнений с n переменными называется упорядоченный набор n чисел, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получаем верные числовые равенства. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или установить, что их нет. Если система не имеет решений, то она называется несовместной. Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. Из определения равносильности систем следует, что если в системе уравнений заменить любое из уравнений равносильным ему уравнением, то получим систему, равносильную исходной. Основные методы решения систем уравнений метод подстановки; метод алгебраического сложения; метод разложения на множители (метод расщепления); метод замены переменных; графический. Метод подстановки. Если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение, то полученная система равносильна исходной, то есть следующие системы равносильны: ( ), ( ), ( , ) 0; ( ( ), ) 0. x y x y g x y g y y Упражнение. Решить систему уравнений: 2 4 2 2 5, 25. x y x y Метод алгебраического сложения уравнений основан на том, что если к обеим частям одного из уравнений первоначальной системы прибавить соответствующие второе уравнение, умноженное на число, отличное от нуля, а другое уравнение системы оставить без изменений, то получим систему, равносильную данной. Упражнение. Решить систему уравнений 2 7 8 0, 6 5 20 0. x y x y Метод разложения на множители (метод расщепления). Основывается на переходе от системы 1 2 , , , 0, , 0; n f x y f x y f x y g x y к совокупности систем: 1 2 2 , 0, , 0, , 0, , 0; , 0; , 0. n f x y f x y f x y g x y g x y gf x y Заметим, что это переход по следствию, поэтому могут появиться посторонние решения. Упражнение. Решите системы А) 3 8 0, 2 3 5 0 x y y x y x xy Б) 2 2 1 0, 2 3 0. x x x y Метод замены переменной. Пусть дана система уравнений 1 2 ( , ) 0, ( , ) 0, F x y F x y и пусть функции 1 ( , ) 0 F x y и 2 ( , ) 0 F x y можно представить в виде 1 1 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ), ( , ) , ( , ) ( , ), ( , ) . F x y f x y x y F x y f x y x y Пусть 1 1 ( , ) , ( , ) x y u x y v Тогда первоначальная система преобразуется к виду: 1 2 , 0, , 0. f u v f u v Решаем полученную систему относительно новых переменных, после чего делаем обратную замену и находим первоначальные неизвестные. Упражнение. Решите систему 3 6 3 1, 5 8 2 2. x y x x y y Графический метод. Упражнение. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения. Некоторые виды систем уравнений 1. Симметрические системы уравнений. Опр. Выражение , F x y называется симметрическим, если оно при замене переменных x на y, y на x не изменится. Опр. Выражение , , F x y z называется симметрическим, если оно не меняется при замене любых двух переменных друг на друга. Упражнение. Приведите примеры симметрических выражений с двумя и тремя переменными. Опр. Система, все уравнения которой симметрические, называется симметрической. При решении симметрических систем уравнений используется метод замены переменных. Случай 1. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными. Используется замена: , x y a xy b Случай 2. Симметрическая система трех уравнений с тремя неизвестными. Используется замена: , , x y z a xy xz yz b xyz c Упражнение. Решить системs 3 3 6, 9; xy x y x y 2 2 7, 61; x y xy x y xy 2. Однородные системы уравнений и сводящиеся к ним. Опр. Однородной системой уравнений называется система вида 1 2 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 2 1 1 1 2 1 0 2 , n n n n n n n n n n n n n n n n a x a x y a x y a x y a y d b x b x y b x y b x y b y d Пусть 1 2 0, 0. d d Умножив первое уравнение системы на 2 d , а второе уравнение на 1 d , и сложив эти уравнения, получим уравнение-следствие 1 2 2 1 1 1 2 1 0 0 n n n n n n n n c x c x y c x y c x y c y Полученное уравнение является однородным и имеет очевидное решение 0 x y . Чтобы найти не нулевое решение системы разделим обе части уравнения на n y , тогда уравнение примет вид. 1 2 1 2 1 0 0 n n n n n n x x x x c c c c c y y y y Введем замену x t y . Дальнейшее решение не представляет сложности. Замечание. 1 0 d или 2 0 d , то соответствующее уравнение системы уже является однородным. Упражнение. Решить систему 2 2 2 2 3 2 3, 5 2 5. x xy y x xy y |