Лекция 5. Закон больших чисел. Лекция 5 Закон больших чисел
 Скачать 2.79 Mb.
|
|
1 Лекция № 5 Закон больших чисел Закон больших чисел (ЗБЧ) представляет собой ситуацию, когда сово- купное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, независящему от случая. Все основные формулы и выводы следующего раз- дела этих лекций (математической статистики) основаны на результатах ЗБЧ Мы рассмотрим здесь только некоторые важные теоремы, являющиеся яркими представителями в соответствующих областях и применяемые ниже, хотя число похожих теорем больше сотни (при самых различных предполо- жениях, подходящих для разнообразных жизненных ситуаций). 1. Теорема Чебышева Прежде всего, посмотрим (приводим без доказательства) на теорему П.Л. Чебышева (1821 – 1894). Он унаследовал крупное, процветающее поме- стье. Но, чтобы составить состояние своим сёстрам, необходимое как прида- ное (надо сказать, что в то время состояние переходило лишь по мужской линии), он играл на бирже. И очень успешно (и сумел-таки составить выгод- ную компанию своим сестрам и выдать их замуж), а в игре ему помогали его научные результаты! Теорема Чебышева. Пусть: а) n X X X , , , 2 1 - независимые случайные величины; б) существуют ) ( i X M и ) ( i X D для всех n i , , 2 , 1 ; в) C X D i ) ( (при некотором положительном C ) для всех n i , , 2 , 1 . Тогда: 1 ) ( ) ( ) ( lim 2 1 2 1 n X M X M X M n X X X P n n n при любом 0 . Следствие. Если независимые случайные величины n X X X , , , 2 1 имеют одинаковые математические ожидания a X M i ) ( , n i , , 2 , 1 , и C X D i ) ( , n i , , 2 , 1 , то 1 lim 2 1 a n X X X P n n . То есть (в общем случае) среднее арифметическое в пределе не отли- чается от математического ожидания (с вероятностью 1 )! 2 Пример. Посмотрим на ситуацию в страховом бизнесе. Пусть i X - убыток какого-то страхователя (того, кто страхуется) при наступлении стра- хового случая. Понятно, что все эти убытки имеют примерно одно и же ма- тематическое ожидание: a X M i ) ( . Тогда (по следствию из теоремы Чебышева) средний убыток всех страхова- телей: n X X X n 2 1 есть величина постоянная! 2. Центральная предельная теорема Это на самом деле группа теорем, устанавливающих связь с нормаль- ным законом распределения величины X с функцией плотности распределе- ния вероятности (рис. 9.1): e a x x 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( , где ) (X M a , ) ( 2 X D параметры распределения. Рис. 9.1. Плотность распределения нормальной случайной величины Приведём формулировку одной из таких теорем (приводим без доказательст- ва). Теорема Ляпунова. Если: а) n X X X , , , 2 1 - независимые случайные величины; б) существуют i i a X M ) ( и 2 ) ( i i X D для всех n i , , 2 , 1 ; в) существуют величины i i i m a X M 3 и 0 lim 2 / 3 1 2 1 n i i n i i n m то закон распределения величины n i i n X Y 1 (при n ) не- ограниченно приближается к нормальному закону с математическим ожи- данием n i i a 1 и дисперсией n i i 1 2 , т.е.: 3 ) ( 2 1 2 1 lim 2 1 2 1 2 z dt e z a Y P z t n i i n i i n n , где ) (z dt e z t 2 2 2 1 есть известная нам функция Лапласа. Смысл теоремы состоит в том, что чем сложней случайная величина, чем больше факторов, влияющих на ее значение, тем ближе она к нормально распределенной случайной величине. Следствие. Если независимые случайные величины n X X X , , , 2 1 имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии a X M i ) ( , 2 ) ( i X D , n i , , 2 , 1 и существуют величины m a X M i i 3 , то закон распределения величины n i i n X n Y 1 1 при n неограниченно приближается к нормальному закону с теми же параметрами a и . ________________________ Пример. Пусть i X - потребление электроэнергии жильцами квартиры номер i в многоквартирном, многоэтажном доме. Тогда по теореме Чебыше- ва среднее потребление: a n X n i i 1 , а по теореме Ляпунова величина: n i i n X n Y 1 1 является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения (т.е. будет отличаться от величины a , как нормально распределённая случай- ная величина). ________________________ Пример. Представим величину Бернулли n Y (количество наступления события A в серии из n испытаний) в виде суммы независимых величин, так называемых «индикаторов» каждого из испытаний: n k i n X Y 1 Здесь i X - случайные величины - «индикаторы испытания»: p q p X М i 0 1 ) ( , pq p q p X D i 2 2 2 0 1 ) ( i X 1 0 i p p p q 1 4 Тогда по свойствам математического ожидания и дисперсии случайная ве- личина Бернулли n X будет иметь следующие параметры: np X М Y М n i i n 1 ) ( ) ( , npq X D Y D n i i n 1 ) ( ) ( , npq Y n ) ( , а в соответствии с центральной предельной теоремой при большом количест- ве испытаний ( n ), она будет иметь распределение, близкое к нормаль- ному закону, с параметрами np a и npq : npq np Y Y F n n 2 1 ) ( . 3. Теорема Бернулли Важнейшее методологическое значение для теории вероятностей и ма- тематической статистики имеет следующая теорема о частоте события. В се- рии испытаний Бернулли частоту события определим как: n Y A n n ) ( . Теорема Бернулли. Если количество испытаний велико, то частота события в испыта- нии является нормальной случайной величиной с математическим ожида- нием, равным вероятности события. Действительно, поскольку частота события ) ( A n в силу центральной теоремы при n является величиной нормальной, а в силу основных свойств математического ожидания и дисперсии имеет математическое ожи- дание p М n ) ( и дисперсию n pq D n / ) ( В соответствии с формулами Муавра – Лапласа, величина отклонения частоты и вероятности события имеет следующую вероятность: ) ( p P n 1 2 2 n pq n для любого 0 Таким образом, с ростом количества испытаний частота события стремится к его вероятности. |