Лекция 7. Лекция 7 Дисперсия диэлектрической и магнитной проницаемости

• Название: Лекция 7 Дисперсия диэлектрической и магнитной проницаемости
• Дата: 22.01.2018
• Размер: 325.74 Kb.
• Имя файла: Лекция 7.docx
• Тип: Лекция; #34898
• страница: 2 из 3

Р = = – NE ,

Где N – число электронов во всех атомах единицы объема вещества. По определению электрической индукции D = εE = Е +4πР. Отсюда получаем следующее выражение для ε:

ε(ω) = 1 – . (7.16)

Фактическая область применения этой формулы начинается от дальнего ультрафиолета у самых легких элементов или от рентгеновских частот у более тяжелых элементов. И заметим, что данная формула работает и для частот (длин волн) выше границы применимости макроскопической теории, т.е. может ω/2π >> с/a или λ << a .

Итак, из выражения (7.16) видно, что для очень больших частот ε(ω) растет с увеличением частоты, приближаясь к единице снизу.
7.4. Связь вещественной и мнимой частей диэлектрической и магнитной проницаемостей – уравнения Крамерса – Кронига. Свойства функции ε(ω).

Ранее мы установили связь между D и E, которая для монохроматических полей имеет вид D = ε(ω)E (7.9), где функция ε(ω) определяется как ε(ω) = 1 + (7.10). При этом ε(ω) комплексная ε(ω) = ε^′(ω) + i ε^′′(ω) (7.11) и ε^′(ω) – четная, а ε^′′(ω) – нечетная функции. Кроме того, сразу отметим еще одно свойство последней, – она всегда положительная ε^′′(ω) > 0 (μ^′′(ω) > 0). Эта составляющая, как будет показано ниже, определяет потери (диссипацию) переменного электромагнитного поля на переполяризацию и перемагничевание вещества, идущие на нагрев последнего (как при гистерезисе) и согласно второму закону термодинамики – энтропия растет и, соответственно, ε^′′(ω) > 0 .

Между вещественной и мнимой частями диэлектрической (и магнитной) проницаемости имеется определенная связь, установленная Крамерсом и Кронигом (H.A.Kramers, R.L. Kronig) в 1927 г, которая имеет вид:

ε^′(ω) – 1 = (7.17)

ε^′′(ω) = – , (7.18)

где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл от полюсного выражения понимается в смысле его главного значения:

= +
Так как ε^′′(ω) нечетная функция, то (7.17) можно переписать еще и так

ε^′(ω) – 1 = = + =, произведя в первом интеграле замену переменной x на –x и учтя, что ε^′′(–x) = – ε^′′(x) получим

= + = =

= = , и окончательно имеем:

ε^′(ω) – 1 = . (7.19)

Для проводников в точке ω = 0, как мы ранее отметили, функция ε(ω) имеет полюс (особенность при ω → 0), вблизи которой ε(ω) = (7.15). Эта мнимая добавка, соответственно, присутствует и в выражении (7.18) для мнимой составляющей диэлектрической проницаемости ε^′′(ω) и для проводников оно имеет вид:

ε^′′(ω) = – + . (7.20)

Формулы (7.17) и (7.19) для вещественной части диэлектрической проницаемости ε^′(ω) остаются прежними.

Из приведенных выражений для ε^′(ω) и ε^′′(ω) особенно существенна формула (7.17) (или (7.19)). С ее помощью можно вычислить ε^′(ω), если для данного тела известна хотя бы приближенная формула для ε^′′(ω), полученная, например, империческим путем, лишь бы при ω > 0 величина ε^′′(ω) была положительной ε^′′(ω) > 0 (это ее необходимое физическое свойство, отмеченное ранее). При этом, вычисление по формуле (7.17 или 7.19) дает функцию для ε^′(ω) не противоречащую никаким физическим требованиям для нее, т.к. знак и величина ε^′(ω) не ограничиваются никакими физическими условиями. Это обстоятельство и дает возможность использовать формулу (7.17 или 7.19) даже по приближенной функции ε^′′(ω). Напротив, формула (7.18) при использовании в общем случае произвольной функции ε^′(ω) не обеспечивает автоматическим образом положительность результата вычисления (положительность значения функции ε^′′(ω) – ее основного физического свойства).

В теории дисперсии принято записывать выражение для ε^′(ω) в виде

ε^′(ω) – 1 = – , (7.21)

где e и m – заряд и масса электрона, а функция f(ω)dω (здесь x заменено на ω, ведь x это та же частота) называется силой осцилляторов в интервале частот dω. Сравнивая выражение (7.21) с (7.19) получим

f(ω) = ωε^′′(ω). (7.22)

Отметим, у металлов f(ω) стремится к конечному пределу при ω → 0 (ε^′′(ω) = смотри (7.20) и (7.15)).

При достаточно больших значениях ω в подынтегральном выражении в (7.19) можно пренебречь x по сравнению с ω, и не писать главного значения интеграла. (В этом случае оставшееся подынтегральное выражение не имеет особенностей – функция ε^′′(x) > 0 и конечная, т.е. ω больше любых собственных резонансных часто вещества.) Тогда (7.19) примет вид:

ε^′(ω) – 1 = – . (7.23)

Выражение (7.23) дает поведение ε^′(ω) при очень больших частотах. Но с другой стороны, это же поведение мы уже получили ранее, и оно описывается формулой (7.16). Так как результат должен быть одинаковым, независимо от способа его получения, то сравнение обоих выражений (7.16) и (7.23) с учетом (7.22) дает:

= = N, (7.24)

где N – полное число электронов в единице объема вещества. Соотношение (7.24) носит название – правило сумм.

Если ε^′′(ω) не имеет особенности при ω = 0 (например, диэлектрики), то в формуле (7.19) можно перейти к пределу при ω → 0, и мы получим

ε^′(0) – 1 = . (7.25)

Если же точка ω = 0 является особой для функции ε^′′(ω) (проводник – металлы), то для вычисления указанного предела (ω → 0) необходимо предварительно заменить в подынтегральном выражении ε^′′(ω) на

ε^′′(ω) – (тем самым мы, как бы исключаем эту особую точку у ε^′′(ω), т.к. при ω → 0 она равна ε^′′(ω) = (7.15)). Кроме того, эта замена не меняет значение интеграла, т.к. в результате “добавка” тождественно равна нулю –

= – , а последний интеграл и соответственно “добавка” равны нулю

= 0.

Для диэлектриков формулу (7.25) можно переписать в виде

ε₀ – 1 = , (7.26)

где черта над ω² обозначает усреднение с помощью силы осцилляторов:

= .

Это выражение (7.26) может быть полезным при различных оценках величин ε₀.

Особенность для магнитной проницаемости.

Все изложенные результаты (с небольшим видоизменением) относятся и к магнитной проницаемости μ(ω). Отличие связано прежде всего с тем, что при увеличении частоты функция μ(ω) сравнительно рано теряет физический смысл. Поскольку релаксационные процессы при установлении магнитных моментов атомов и молекул весьма велики из-за значительной массы последних, а в ферромагнетиках еще и длина волны переменного электромагнитного поля становится сравнимой (и даже меньше) с размерами доменов. Поэтому, например, применять формулы Крамера – Кронига к μ(ω) надо следующим образом. Вместо бесконечного рассматриваем конечный интервал значений ω (от 0 до ω₁), простирающийся до таких частот, при которых μ еще имеет смысл, но уже перестает меняться и ее мнимую часть можно считать равной нулю; соответствующее вещественное значение μ обозначим как μ₁. Тогда формулу (7.19) надо писать в виде:

μ^′(ω) – μ₁ = . (7.27)
В противоположность ε₀, значение μ₀ = μ(0) может быть как меньше, так и больше 1. Изменение же μ(ω) вдоль мнимой оси по-прежнему является монотонным убыванием – на этот раз от μ₀ до μ₁< μ₀.
7.4. Прозрачные среды.

Рассмотрим теперь поведение диэлектрической проницаемости ε(ω) в области (в диапазоне частот) прозрачности среды, т.е. где электромагнитные волны распространяются в среде с небольшим затуханием. В этом случае мнимая часть ε^′′(ω) диэлектрической проницаемости отлична от нуля! но! очень мала, поэтому из-за последнего говорят, что в области прозрачности мнимой частью диэлектрической проницаемости можно пренебречь т.е. ε (ω) ≈ ε^′(ω).

В таком случае в формуле (7.19) взятие главного значения интеграла становится бессмысленным, т.к. x = ω фактически выпадает из области интегрирования. После этого интеграл можно дифференцировать по параметру ω, как обычный интеграл, не имеющий особенностей в подынтегральном выражении. Тогда, произведя дифференцирование выражения (7.19) по частоте ω, получим

≈ = = , т.е.

= . (7.28)

Подынтегральное выражение в (7.28) во всей области интегрирования больше нуля (напомним, что ε^′′(ω) > 0 всегда), следовательно, как само значение интеграла, так и производная будут больше нуля

> 0. (7.21)

Последнее означает, что в области отсутствия поглощения (прозрачности) диэлектрическая проницаемость – монотонно возрастающая функция частоты. Такое поведение функции ε(ω) – ее возрастание с увеличением частоты ω, принято называть нормальной дисперсией. Если наоборот ε(ω) уменьшается с ростом частоты, то – аномальной дисперсией.

Если правую и левую части выражения (7.19) умножить на ω² , то аналогичным образом, в той же области частот (области прозрачности), после взятия производной получим другое неравенство,

[ω² (ε – 1)] = + ω² =, используя для (7.28)

= = =

[ω² (ε – 1)] = > 0,

поскольку, точно также в рассматриваемой области значения подынтегрального выражения всегда положительны. Вычислив производную [ω² (ε – 1)] = 2ω(ε – 1) + ω² < 0, получим следующее неравенство
> . (7.22)

Это неравенство более сильное, чем неравенство (7.21) если диэлектрическая проницаемость ε < 1 или даже отрицательная (ε < 0).

Здесь сразу можно отметить, что неравенства (7.21) и (7.22) (и аналогичные для μ(ω)) автоматически гарантируют выполнение неравенства u < c , т.е. групповая скорость u (скорость распространения энергии или волнового пакета) электромагнитной волны в среде всегда меньше ее скорости в вакууме c (скорости света в вакууме). Например, пусть среда диэлектрик, тогда магнитную проницаемость можно положить равной единице μ = 1 и показатель преломления среды n будет равен n = и вводя n вместо ε в неравенства (7.21) и (7.22), получим:

из (7.21) > 0 → 2n > 0 → т.к. здесь ε и, соответственно n > 1, имеем > 0 → т.к. ω > 0, то ω > 0 → ω + n > n → > n,
итак, > n; (7.23)
из (7.22) = 2n > → ω > → ω + n > , и
окончательно имеем > . (7.24)

Неравенство (7.24) работает для ε < 1 и, соответственно для n < 1. Тогда из выражения для групповой скорости u = = , где k – волновой вектор, модуль которого равен k = = n и неравенств (7.23) и (7.24) получаем, соответственно, два неравенства: u < c/n (для n >1) и u< cn (для n < 1). Из этих неравенств видно, что u < c как при n >1, так и при n < 1. Эти неравенства так же показывают, что групповая скорость всегда больше нуля u> 0, т.е. она направлена в туже сторону, что и волновой вектор.

Вернемся к рассмотрению поведения ε в области прозрачности. Пусть область слабого поглощения простирается в некотором широком диапазоне частот от ω₁ до ω₂ , т.е. ω₂ >> ω₁ и рассмотрим частоты ω (при которых определяем ε (ω)), лежащие в этом диапазоне, так что ω₁ << ω << ω₂. Тогда область интегрирования в (7.19) разбивается на две части: x < ω₁ и x > ω₂. В первой из них можно пренебречь в знаменателе подынтегрального выражения x по сравнению с ω, а во второй, наоборот, – ω по сравнению с x и тогда:

ε (ω) ≈ ε^′( ω) = 1+ – . (7.25)

Область интегрирования от ω₁ до ω₂ отсутствует, т.к. в ней полагаем ε^′′(ω) ≈ 0 и, соответственно, считаем, что интеграл по этому диапазону примерно равен нулю (точнее он, просто, значительно меньше всех трех слагаемых в правой части выражения (7.25) – единицы и двух интегралов). Оба интеграла в (7.25) имеют положительные значения, как и все значения в подынтегральных выражениях, поэтому функция ε(ω) в рассматриваемой области имеет вид a – b/ω², где a и b положительные постоянные. Вторую из них можно выразить через силу осцилляторов N₁

N₁ = , ответственных за поглощение в области от 0 до ω₁ (в соответствии с (7.23) и (7.24)) и тогда

ε (ω) = a – . (7.26)

Из последнего выражения следует, что в достаточно широко области слабого поглощения диэлектрическая проницаемость, вообще говоря, может проходить через ноль. Однако в этой связи необходимо отметить (напомнить), что прозрачной в буквальном смысле слова является среда, в которой ε(ω) не только вещественно, но и положительно, т.к. при отрицательном ε волна затухает в глубь среды, хотя в ней и не происходит истинной диссипации энергии (энергия электромагнитного поля не переходит в другие виды энергий, например в тепло).

Для частоты, при которой ε = 0 , индукция D тождественно обращается в нуль и уравнения Максвелла допускают существование переменного электрического поля, удовлетворяющего одному лишь уравнению rot E = 0 при равном нулю магнитном поле. То есть, в этом случае возможно существование продольных электрических волн.

Вернемся к обсуждению дисперсии. Пусть, наконец, в широкой области прозрачности имеется узкая область поглощения (ее называют – «линия» поглощения) вокруг некоторой частоты ω₀. «Линия» поглощения – полоса частот Δω (в рассматриваемом случае она равна γ), центральная частота которой ω₀, соответствует одному из возможных переходов, например атома, из одного энергетического состояния ��₁ в другое ��₂ (��₂ > ��₁), при этом ω₀ = . Рассмотрим окрестность этой частоты, удовлетворяющую условию

γ << |ω – ω₀| << ω₀, (7.27)

где γ – ширина линии. В этой области (в полосе частот γ) в подынтегральном выражении в (7.17) можно заменить x на ω₀ везде, кроме быстроменяющейся функции ε^′′(ω). Тогда получим:

ε (ω) ≈ ε^′( ω) ≈ , (7.28)

где интегрирование производится по линии поглощения. В этой области выражение (7.28) определяет фактически только добавку к итоговому значению ε(ω), вычисляемой по формуле (7.25). Главного значения интеграла мы не пишем, т.к. нашими действиями мы исключили особую точку ω = ω₀ в области интегрирования γ. Однако из выражения (7.28) мы, на первый взгляд, видим, что при ω = ω₀ добавка к ε (ω) у нас обращается в бесконечность. Эта особенность разрешается, если учесть условие (7.27) (линия поглощения имеет конечную ширину γ, а не бесконечно узкую, поэтому и ε^′′(ω₀) тоже имеет конечное значение). Поэтому при расчете ε (ω), когда ω лежит в полосе частот γ, в формуле (7.28) разность частот ω₀ – ω (в знаменателе) заменяется на γ/2, если ω < ω₀ и на – γ/2, если ω > ω₀. Поэтому добавка к ε(ω), (точнее ее модуль) также имеет конечный максимум в полосе γ. Причем их два – слева от ω₀ (ω < ω₀), он положительный и справа (ω > ω₀), – отрицательный, а в центре при ω = ω₀ добавка равна нулю. Эта картина поведения ε^′′(ω) и добавки к ε(ω), рассчитываемой по формуле (7.28) от частоты в полосе частот γ приведена на рис.7.1. Из рисунка видно, что Рис.7.1

в середине области линии поглощения в интервале частот ω от ω₀ – γ/2 до ω₀ + γ/2 мы имеем аномальную дисперсию, а за его пределами, и слева, и справа – нормальную дисперсию. Но при этом отметим, что ширина γ этих линий очень узкая γ << ω₀. Таких линий в области прозрачности может быть много. Они отличаются друг от друга интенсивностью линии поглощения (максимальным значением ε^′′(ω_0i)) и их шириной γ_i.

Таким образом, из всего приведенного выше анализа аналитических свойств функции ε(ω) = ε^′(ω) + i ε^′′(ω) можно привести следующую картину возможного поведения вещественной и мнимой частей диэлектрической проницаемости, например диэлектрика, при изменении частоты от 0 и до бесконечности, точнее до очень высоких частот ω (до ω << 2πс/a, напомним – это условие применимости макроскопических уравнений Максвелла). Эта картина приведена на рис.7.2. Из нее видно, что

Рис.7.2

при частотах 0 ≤ ω < 2πυ/a (это грубо точнее << 2πυ/a) релаксационные процессы успевают отслеживать изменение поляризации Р диэлектрика (намагниченности …) за изменением напряженности поля Е и, соответственно, здесь вещественная часть диэлектрической проницаемости ε^′(ω) остается постоянной и равной ε₀ –диэлектрической проницаемости в случае статического плоя, а ее мнимая часть ε^′′(ω) = 0 (т.е. здесь ε(ω) = ε₀). При частотах больших ω > 2πυ/a (опять грубо) релаксационные процессы перестают успевать отслеживать изменение поляризации Р за изменением Е (можно сказать, что Р начинает отставать по фазе за изменением Е т.е. если закон изменения последнего записать как Е = Е₀cos(ωt), то для Р будет Р = Р₀cos(ωt – δ₁), соответственно и D = Е + 4πР = D₀cos(ωt – δ), т.е. тоже отстает по фазе от Е). В результате появляются потери на переполяризацию (перемагничивание…) диэлектрика (как в петле гистерезиса, только в области малых полей, где имеется линейность) и, соответственно, мнимая часть ε^′′(ω) становится отличной от нуля. С ростом частоты запаздывание δ₁ для Р и δ для D увеличивается и увеличивается ε^′′(ω), а с ней и ε^′(ω) в соответствии с уравнением (7.19). При подходе к области прозрачности ε^′′(ω) быстро падет и становится примерно равной нулю (но все же больше нуля). Далее мы попадаем в область прозрачности (интервал частот от ω₁ до ω₂), если она есть, в которой имеется несколько линий поглощения разной интенсивности. В пределах всей области прозрачности между линиями поглощения ε^′(ω) растет, а в пределах каждой линии поглощения делает зигзаг, как на рис.7.1, и в близи центра каждой линии мы имеем аномальную дисперсию. При этом после прохождения каждой линии величина ε^′(ω) оказывается меньше чем она была непосредственно перед подходом к линии поглощения ( т.е. имеем отрицательный перепад в значении ε^′(ω)). Этот перепад связан с тем, что линия поглощения, как уже отмечалось ранее, это соответствующий переход атома из одного энергетического состояния в другое и ему присущ определенный электрон, который и называют дисперсным. Когда ω < ω₀ этот дисперсный электрон дает вклад в нормальную дисперсию (в слагаемое а выражения (7.25)), а после прохождения лини ω > ω₀, наоборот, начинает давать вклад в отрицательную дисперсию (в слагаемое bвыражения (7.25)). Эта картина соответствует поведению фазы вынужденных колебании в колебательном контуре – отставание и опережение фаза при ω < ω₀ и ω > ω₀, соответственно. Размах зигзага и величина перепада пропорциональны интенсивности (максимуму ε^′′(ω₀ в центре линии)). При таком изменении, где то (на рисунке в самом конце области прозрачности) после очередного сильного зигзага ε^′(ω) может оказаться меньше единицы (на рисунке показано поведением ε^′₁(ω)) или даже меньше нуля (поведение ε^′₂(ω)). И далее если впереди (при более высоких частотах) линий поглощения нет, значение ε^′(ω) растет, приближаясь к единице снизу по закону (7.26) ε(ω) = ε^′(ω) = 1 – . Здесь ε^′′(ω) становится примерно равной нулю, поэтому поставлено ε(ω) = ε^′(ω).