Плоская электромагнитная волна
Для монохроматических полей, меняющихся по закону
е–iωt уравнения Максвелла (7.4), в отсутствии сторонних зарядов и токов проводимости имеют вид:
crot H = – iω ε(ω) E, crot E = iω μ(ω) H (7.29)
Эти уравнения уже сами по себе составляют полную систему, т.к. уравнения (7.3) (div D = 0 и div B = 0) следуют из них автоматически. (Для доказательства нужно взять дивергенцию от этих уравнений и тогда, например, div от первого уравнения дает – iωdivε(ω)E = cdiv(rotH) и т.к. div(rot H) = 0,  H]) = 0 (результат векторного произведения  H] перпендикулярен и, соответственно, их скалярное произведение равно нулю), получаем, учитывая, что ε(ω)E = D, div D = 0). Таким образом, уравнения (7.29) не должны рассматриваться отдельно. Если теперь положить среду однородной, то по аналогии с выводом уравнений (1.8) (берем rot от уравнений, используем соотношение из векторной алгебры rot(rot a) ≡ = ≡( 2a = grad(div a) – 2a , исключаем в этих уравнениях Е или Н, используя (7.29) и используем условие отсутствия токов проводимости и сторонних зарядов) получим следующие уравнения (второго порядка) для монохроматических полей H и Е:
2H + εμ  Н = 0 или, тождественно, т.к. 2 ≡ Δ
ΔH + εμ Н = 0, ΔЕ + εμ Е = 0 . (7.30)
(Фактически для получения (7.30) в волновых уравнениях (1.8) – лекция 1, мы взяли (раскрыли) вторую производную по времени  = –ω2.)
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в неограниченной однородной среде. В плоской волне в вакууме зависимость поля от координаты дается волновым множителем вида еikr с вещественным волновым вектором k (k = ω/с =2π/λ, где λ – длина волны в вакууме). И поле, например Е (для Н аналогично), в плоской электромагнитной волне имеет вид
Е= Е0 е–i (ωt–kr) , (7.31)
где Е0 – амплитуда (вектор, направление которого определяет поляризацию волны), а (ωt–kr) – фаза. Напомним, плоская волна – волна имеющая плоский фазовый фронт (фазовый фронт – геометрическое место точек в пространстве, в котором фаза волны постоянная, в (7.31) это плоскость перпендикулярная волновому вектору k) и значение Е постоянно на поверхности фазового фронта. При рассмотрении же распространения волн в материальных средах в общем случае (из-за наличия дисперсии – ε(ω) и μ(ω) комплексные значения) оказывается необходимым вводить так же и комплексные значения волновых векторов волн:
k = k′ + ik′′ ,
где k′ и k′′ – вещественные векторы.
Положив Е и Н в виде (7.31), после подстановки их в уравнения (7.29) и произведя дифференцирование по координатам, получим
ωμ Н = с[kЕ], ωε Е = – с[kН]. (7.32)
(rot Е = [ Е] = i[kЕ] (Е
еikr), второе аналогично) Выражения (7.32) в общем случае дают связь между компонентами электрического и магнитного полей. Исключив из этих двух соотношений (7.32) Е и Н, найдем следующее выражение для квадрата волнового вектора: (например из первого Н = с[kЕ] / ωμ, подставляем во второе → εμЕ = – [k[kЕ]] = (используя [а[вс]] = в(ас) – с(ав)) = – k(kЕ) + Е(k2) = Е(k2) (т.к. k перпендикулярен Е, то скалярное произведение (kЕ) = 0) и после сокращения Е окончательно имеем)
k2 ≡ k′ 2 – k′′ 2 + 2 k′ k′′ = εμ . (7.33)
Из (7.33) видно, что вектор k может быть вещественным, только если ε и μ вещественны и положительны. Но даже в этом случае k может быть комплексным, если скалярное произведение векторов k′ k′′ = 0 (это соответствует, например, случаю полного внутреннего отражения волны на границе двух диэлектриков).
Теперь следует иметь в виду, что в общем случае комплексных волна может быть названа «плоской» лишь в условном смысле. Если записать, что
еikr = еi(k′ + ik′′)r = еik′r е –ik′′r,
то видно, что плоскости перпендикулярные к вектору k′, являются плоскостями постоянной фазы, а плоскости перпендикулярные вектору k′′, в направлении которого происходит затухание волны, являются плоскостями постоянной амплитуды. Что же касается поверхностей постоянного значения самого поля, то они в общем случае вообще не будут плоскими. Такие волны называют неоднородными плоскими волнами, в отличие от обычных однородных плоских волн.
Умножив формулы (7.32) скалярно на волновой вектор k, получим
kЕ = 0 kН = 0. (7.34)
Из (7.34) следует, что Е и Н перпендикулярны k. Если же возвести любую из формул (7.32) в квадрат и использовать (7.33), то будем иметь
Е2 =  Н2 (7.35)
Следует, однако, иметь в виду, что все три вектора k, Е и Н в соотношениях (7.34) и (7.35) комплексные, поэтому эти соотношения не имеют того наглядного смысла, который они имели бы в случае вещественных величин.
Пусть волна распространяется без затухания в однородной непоглощающей (прозрачной) среде. В этом случае волновой вектор вещественен и по величине равен
k =  = n  , (7.36)
где n =  называется показателем преломления среды. Как электрическое, так и магнитное поля лежат в плоскости перпендикулярной к волновому вектору k (т.е. имеем чисто поперечную волну), при этом перпендикулярны друг к другу и связаны соотношением
Н =  [lE], (7.37)
где l – единичный вектор в направлении k. Из (7.37) следует, что
εЕЕ* = μНН*
это, однако не означает равенства электрической и магнитной энергий (как в отсутствии дисперсии), поскольку последние даются другими выражениями (в отличие от известных вам в диэлектрической среде в отсутствии дисперсии, когда ε и μ являются вещественными постоянными: S =  [EH] – плотность потока энергии (вектор Умова – Пойнтинга); изменение (в 1 секунду) энергии, сосредоточенной в единице объема тела, вычисляемой как div S = –  (Е + Н ) =  , где изменение электромагнитной энергии U = (εЕ2 + μН2)). Суммарную плотность электромагнитной энергии в этом случае можно привести к виду
 =  EE* =  EE*. (7.38)
Скорость u распространения энергии (волнового пакета, групповая скорость) волны в среде определяется известным выражением:
u =  =  . (7.39)
При этом u =  , в соответствии с ее смыслом как скорости переноса энергии в волновом пакете, здесь – плотность энергии , даваемая формулой (7.38), а
 =  EE* (7.40)
– среднее значение вектора Умова – Пойнтинга. В отсутствии дисперсии, когда показатель преломления не зависит от частоты, выражение (7.39) сводится просто к u =  .
Теперь рассмотрим более общий случай распространения электромагнитной волны в поглощающей среде, причем волновой вектор имеет определенное направление, т.е. k′ и k′′ параллельны друг другу. Такая волна является плоской в буквальном смысле, т.к. поверхностями постоянных значений поля в ней являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения (они же – плоскости равных фаз – фронты), т.е. имеем однородную плоскую волу.
В этом случае можно ввести комплексную «длину» k волнового вектора, как k = kl, где l – единичный вектор в направлении k′ и k′′ и из (7.33) имеем
k = = (n + iæ) . (7.41)
величину n называют показателем преломления, а æ – коэффициентом поглощения среды; последний определяет скорость затухания волны по мере ее распространения. Здесь необходимо заметить, что затухание волны не обязательно связано с наличием истинного поглощения; диссипация энергии имеет место лишь при комплексных ε или μ, а коэффициент æ может быть отличным от нуля и при вещественных (отрицательных) ε и μ.
Выразим величины n и æ через вещественную и мнимую части диэлектрической проницаемости, предполагая при этом, что μ = 1. Из равенства n2 – æ2 + 2inæ = ε = ε′ + i ε′′ имеем
n2 – æ2 = ε′, 2næ = ε′′.
Решая эти уравнения относительно n и æ, получим
n =  , æ =  . (7.42)
В частности, для металлов в области частот, где справедливо выражение ε(ω) = i  (7.15) (это при малых частотах ω → 0) мнимая часть ε велика по сравнению с вещественной частью и связана с проводимостью посредством ε′′ = ; тогда, пренебрегая ε′ по сравнению с ε′′, найдем, что n и æ совпадают и равны
n = æ =  . (7.43)
Для связи между Е и Н в рассматриваемой однородной плоской волне снов получаем выражение (7.37) Н = [lE], но только с комплексными ε и μ. Оно снова показывает, что поля Е и Н перпендикулярны к направлению распространения волны и друг к другу. Если μ = 1 , то, написав  в виде
=  exp[i arctg(æ/n)],
видно, что магнитное поле по абсолютной величине превышает электрическое в раз, а по фазе отстает от него на угол arctg(æ/n); в случае (7.43) (для металлов) сдвиг фаз равен π/4. |
Скачать 325.74 Kb.