Понятие нормы вектора и матрицы. Свойства норм.. Лекция 7 финал. Лекция 7 Тема. Понятие нормы вектора и матрицы. Свойства норм
 Скачать 42.31 Kb.
|
|
Лекция №7 Тема. Понятие нормы вектора и матрицы. Свойства норм. При изучении итерационных процессов решения СПАУ нам понадобятся понятия норм векторов и матриц. Будем обозначать норму вектора  через  . Согласованная с ним норма матрицы  определяется по формуле: Наиболее употребительными являются следующие нормы:    Согласованными с ними нормами для матриц являются, соответственно, следующие нормы:    , здесь  – собственные вектора матрицы  .Свойства норм векторов и матриц:  при  – нулевая матрица при    , где  - модуль числа  .   , где E – единичная матрица  Пример  Ответ:           Тема. Решение СЛАУ методом простой итерации. Запишем систему линейных алгебраических уравнений в компактном виде:  , (*)где      .Добавим к обеим частям уравнения (*) по вектору x:  и перепишем новое уравнениев таком виде:  , где – единичная матрица.Введём обозначение  , тогда СЛАУ перепишется в таком виде Последовательность вычислений  (**)называется методом простых итераций. Пример:  Сделаем предварительные преобразования СЛАУ таким образом, чтобы элементы матрицы А стоящие на главной диагонали были близки к единице:  Здесь второе уравнение умножается на -1; Третье уравнение разделяется на 2. Тогда матрица D будет иметь вид:  В развернутом виде последовательность вычислений будет выглядеть так:   Если последовательность  сходится к неподвижной точке x* при  то эта точка (вектор x*) и является решением исходного уравнения AX = B.Возникает ряд вопросов: Какие требования нужно предъявить к D и x0, чтобы последовательность xn сходилась к x* решению СЛАУ Ax = B? С какой скоростью сходится этот процесс, т.е. каков закон убывания абсолютных погрешностей, получаемых по формуле (**) приближения? Сколько нужно сделать итераций, чтобы при заданном начальном приближении x0 найти решение задачи с заданной точностью? Теория. Пусть  . Тогда при любом начальном векторе x0 метод простых итераций сходится к единственному решению x* и при всех  (N – натуральный ряд чисел  ) справедлива оценка погрешности: (апостериорная). (априорная).Априорная оценка – оценка до начала счёта. Апостериорная оценка – оценка после проведения «k» итераций. Доказательство: Можно из равенств:   записать их разницу:  .Из свойств норм матриц и векторов:  можно получить (с учётом ) следующее неравенство:  С учётом этого свойства запишем следующую цепочку неравенств:       (Здесь записана сумма геометрической прогрессии)Отсюда следует, что последовательность x1, x2, …, xk, … является фундаментальной в пространстве Rn и сходится у некоторой точке (вектору) x*. Переходя к пределу в равенстве получим  .Очевидно, что x* является единственным решением, т.е. предположив существование другого решения из условия  приходим к противоречию  .Тема. Метод Якоби решения СЛАУ. Пусть имеется СЛАУ:  где на диагонали все  отличны от нуля (в противном случае всегда можно поменять местами уравнения так, чтобы все  ).Преобразуем данную СЛАУ к следующему виду:  или в общем виде:  в матричном виде:  где   Здесь на диагонали стоят пули. Теорема. В случае диагонального преобладания матрицы А в СЛАУ метод Якоби сходится. Доказательство: т.к.  то  или для нормы   Следовательно, по предыдущей теореме итерационный процесс  сходится. Тема. Итерационный метод Зейделя решения СЛАУ Перепишем СЛАУ уравнений:  Здесь, как и раньше, предполагается, что  в следующем виде: или в компактном виде:  В матричном виде эта СЛАУ может быть записана в следующей форме:  (*)где   D – Диагональная матрица. L – Матрица нижнего треугольного заполнения. R – Матрица верхнего треугольного заполнения. Перепишем СЛАУ в следующем матричном виде  или  .Введём новые обозначения  и  тогда  |