МА лекция 2. Лекция Числовая последовательность и ее предел, геометрическая интерпретация предела. Сходящиеся последовательности. Предел постоянной, единственность предела
 Скачать 281.27 Kb.
|
|
1 Лекция 2. Числовая последовательность и ее предел, геометрическая интерпретация предела. Сходящиеся последовательности. Предел постоянной, единственность предела, необходимое условие сходимости (ограниченность), достаточное условие сходимости (монотонность и ограниченность, без док-ва). Арифметические операции над сходящимися последовательностя- ми. Число е. Натуральные логарифмы. Гиперболические функции. Числовая последовательность Определение. Пусть X – какое-либо множество и N – множество нату- ральных чисел. Всякое отображение : f → N R называется последова- тельностью элементов множества X. Элемент f(n) обозначается через a n и называется n-м членом по- следовательности : f → N R , а сама эта последовательность обозначает- ся символом {a n } или a n , n = 1, 2, .... Каждый элемент a n последовательности {a n } представляет собой упорядоченную пару, состоящую из числа n N и соответствующего ему при отображении : f → N R элемента a множества X. Второй элемент этой пары называется значением элемента a n последовательности {a n }, а первый – его номером. Множество элементов последовательности всегда бесконечно. Два различных элемента последовательности могут иметь одно и то же зна- чение, но заведомо отличаются номерами, которых бесконечное мно- жество. Множество значений элементов последовательности (обычно го- ворят короче: множество значений последовательности) может быть конечным. Иногда в качестве номеров бывает удобно употреблять не все натуральные числа, а лишь некоторые из них. Например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n 0 : a n , n = n 0 , n 0 + 1..., или одни четные числа: a n , n = 2, 4, .... Случается, что для нумерации употребляются не только натураль- ные, но и другие числа, например, a n , n = 0, 1, 2, ... (здесь в качестве еще одного номера добавлен нуль). Во всех этих случаях можно перенуме- ровать заново a n , используя все натуральные числа m и только их. По- этому в подобных случаях также говорят, что a n образуют последова- тельность, и, конечно, указывают, какие значения принимают номера n. Пример 1. 1 1 1 { } 1, ,..., ,... 2 n a n n = = . Пример 2. ( ) { } 1,1, 1,1,... 1 n n a = − − = − Пример 3. 1 1 { } 1,10,100,...,10 ,... 10 n n n a − − = = Пример 4. { } 7, 7,... 7 n a = = Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел R элементами, обозначаемыми через +∞ и –∞ и называемыми, соответ- ственно, плюс и минус бесконечностями. При этом по определению считают: − + , ( ) ( ) + + + = + , ( ) ( ) − + − = − , ( ) + − − = + , ( ) − − + = − , ( )( ) ( )( ) + + = − − = + , ( )( ) ( )( ) + − = − + = − Но, например, операция ( ) ( ) + + − уже не определена. Для любого действительного числа a справедливы равенства: ( ) a + + = + , ( ) a + − = − Для a > 0: ( ) a + = + , ( ) a − = − Для a < 0: ( ) a + = − , ( ) a − = + Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞ и –∞, называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой). Элементы +∞ и –∞ называются иногда бесконечно удаленными точками расширенной числовой пря- мой в противопоставление точкам числовой прямой R, которые назы- ваются конечными точками. Предел числовой последовательности Определение. Точка A (конечная или бесконечно удаленная) числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательно- сти действительных чисел, если, какова бы ни была окрестность точки A, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера. Определение. Конечное число А называется пределом числовой по- следовательности { } n a , если для любого как угодно малого положи- тельного числа существует номер N такой, что все члены последова- тельности с номерами n N удовлетворяют неравенству: n a A − Сама последовательность { } n a (имеющая конечный предел) в этом слу- чае называется сходящейся. Обозначения: lim n n A a → = или n a A → при n → То же самое, записанное с помощью логических символов: def lim 0 : n n n A a N n N a A → = − N Замечание. Последовательности из примеров 1 и 4 имеют предел, а из примеров 2 и 3 не имеют предела. Определение. Последовательность, пределом которой является 0, называется бесконечно малой последовательностью. Определение. Последовательность, пределом которой является беско- нечность, называется бесконечно большой последовательностью. Геометрическая интерпретация предела. Изобразим числовую ось и на ней все члены последовательности, предел А и интервал ( , ) A A − + Интервал ( , ) A A − + является ε-окрестностью точки А. Он соответ- ствует неравенству n a A − . Таким образом, число А – предел {a n }, ес- ли какова бы ни была -окрестность точки А, найдется такой номер N , что все точки a n с номерами n N будут содержаться в этой окрестно- сти точки А, т.е. в интервале ( , ) A A − + Отсюда следует, что указанному интервалу принадлежит беско- нечно много точек a n , а вне этого интервала может находиться лишь конечное число точек данной последовательности с номером n N Если уменьшать ε, то неравенство n a A − будет выполняться, начиная со всё больших и больших номеров, т.е. чем большей близости значений a n к числу A мы требуем, тем более далекие элементы после- довательности {a n } приходится рассматривать. Из определения предела последовательности вытекает, что предел постоянной (все члены последовательности {a n } равны одному и тому же числу) равен самой этой постоянной, т.к. неравенство n a A − вы- полняется для любого 0 при всех натуральных n. Теорема о единственности предела последовательности. По- следовательность {a n } может иметь только один предел. Доказательство (методом от противного). Пусть lim n n a A → = . Дока- жем, что никакое число B A не может быть пределом {a n }. B – произ- вольное вещественное число. Пусть для определенности B > A. Возьмем -окрестности точек А и В такими малыми, чтобы они не пересекались. Тогда заключаем: т.к. lim n n a A → = , то -окрестности точки А принад- лежат все точки последовательности {a n }, начиная с некоторого номера n N и их бесконечно много, а вне интервала ( , ) A A − + и в частности в -окрестности точки В может располагаться только конечное число то- чек из a n Поэтому число В не может быть пределом этой последовательно- сти. Определение. Последовательность {a n } называется ограниченной, ес- ли она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа m и M такие, что , n m a M n N Определение. Последовательность {a n } называется ограниченной, ес- ли существует число K > 0 такое, что для любого n выполнено неравен- ство: n a K Последние два определения эквивалентны. Ограниченная после- довательность может быть расходящейся, т.е. не иметь конечного пре- дела (Пример 2). Теорема (необходимое условие сходимости). Если последователь- ность {a n } имеет предел, т.е. сходящаяся, то она ограничена. Доказательство. Пусть lim n n a A → = . Возьмем какой-нибудь интервал – ε-окрестность точки А, при этом ε > 0 – любое. Из определения предела в этом интервале лежит бесконечное множество точек {a n }, а вне его – только конечное число точек. Поэто- му среди точек, лежащих вне ε -окрестности точки А, есть самая левая a – и самая правая – a + Обозначим: min( , ) m a A − = − , max( , ) M a A + = + Тогда на отрезке [m, M] будут находиться все члены последова- тельности {a n }, что и означает ограниченность последовательности. Определения. Последовательность {a n } называется неубывающей, ес- ли 1 2 3 1 n n a a a a a + Последовательность {a n } называется невозрастающей, если 1 2 3 1 n n a a a a a + Последовательность называется монотонной, если она является неубы- вающей или невозрастающей. Неубывающая последовательность будет ограниченной, если она ограничена сверху. Невозрастающая последовательность будет ограни- ченной, если она ограничена снизу. Теорема (достаточное условие сходимости). Всякая монотонная огра- ниченная последовательность сходится, т. е. имеет предел. Доказательство. Т.к. последовательность {a n } ограничена, то она имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани. Пусть М – точная верхняя грань последовательности {a n }. Покажем, что если {a n } – не- убывающая последовательность: 1 2 3 1 n n a a a a a + , то lim n n a M → = Согласно свойству точной верхней грани 0 можно указать элемент a N такой, что N a M − и N a M , т.е. ( , ] N a M M − . Из этих неравенств сле- дует двойное неравенство 0 N M a − . Т.к. {a n } – неубывающая после- довательност, то n N верны неравенства 0 n N M a M a − − 0 n M a − или n a M − , n N . Это означает, что число М – предел последова- тельности {a n }. Аналогично доказывается, что если {a n } – невозраста- ющая последовательность и m – точная нижняя грань, то lim n n a m → = Теорема. Последовательность 1 1 n n a n = + сходится. Доказательство. Покажем сначала, что эта последовательность моно- тонна. С использованием формулы бинома Ньютона имеем 2 3 1 1 ( 1) 1 ( 1)( 3) 1 1 1 1 2 1 2 3 n n n n n n n a n n n n n − − − = + = + + + + ( 1)...( 1) 1 ( 1)...1 1 1 2 ... 1 2 ... k n n n n k n n k n n n − − + − + + + = 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2! 3! n n n = + + − + − − + + 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 ! ! k n k n n n n n n − − + − − − + − − (1) При переходе от n к n + 1 в сумме, стоящей в правой части равенства (1), число слагаемых, которые все положительны, возрастает и, кроме того, каждое слагаемое, начиная с третьего, увеличивается, так как 1 1 1 s s n n − − + , s = l, 2, ..., n – 1, n = 2,3, ..., поэтому a n < a n + 1 , n = 1, 2,… Теперь покажем, что эта последовательность ограничена Заметим, что в (1) каждая из скобок вида 1 s n − меньше единицы и что 1 2 1 2 2 .... 2 1 2 3 ... ! n n n − = = Следовательно, 1 1 1 ! 2 n n − , для всех n = 1, 2, 3, ... , имеем: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 2! 3! ! 2 2 2 2 n n n a n − − + + + + + + + + = + − . Т.к. 1 2 a = , то окончательно получаем: 1 2 3 n n a a + Число e. Предел последовательности 1 1 n n a n = + обозначают буквой e (константа Эйлера). Более точные оценки показывают: 2, 718281828459045 e Это число играет в математике очень важную роль. Показатель- ную функцию a x с основанием a = e называют экспоненциальной функ- цией и записывают e x или exp(x). Логарифм по основанию e называют натуральным и обозначают ln x. Гиперболические функции. По определению гиперболическими называют функции: ch 2 x x e e x − + = – гиперболический косинус; sh 2 x x e e x − − = – гиперболический синус; sh th ch x x x = – гиперболический тангенс; ch cth sh x x x = – гиперболический котангенс. Подробнее, http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html Арифметические операции над сходящимися последовательностями Теорема 1. Если последовательности {a n } и {b n } сходятся, то сходится и последовательность {a n + b n }, причем ( ) lim lim lim n n n n n n n a b a b → → → + = + Доказательство. Т.к. {a n } и {b n } сходятся, т.е. существует lim n n a a → = и lim n n b b → = Следовательно, 1 1 2 2 0 : ; 0 : 2 2 n n n n n a a n n n b b − − . Пусть 1 2 max , : ; 2 2 n n N n n n N a a b b = − − Рассмотрим разность ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 n n n n n n a b a b a a b b a a b b + − + = − + − − + − + = ( ) lim n n n a b a b → + = + Как следствие теоремы 1, получаем: Теорема 2. Если последовательности {a n } и {b n } сходятся, то сходится и последовательность {a n – b n }, причем ( ) lim lim lim n n n n n n n a b a b → → → − = − Теорема 3. Если последовательности {a n } и {b n } сходятся, то сходится и последовательность {a n b n }, причем ( ) lim lim lim n n n n n n n a b a b → → → = Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } сходятся, 0 n b , lim 0 n n b → , то сходится и последовательность {a n /b n }, причем lim lim lim n n n n n n n a a b b → → → = |