Конспект Кириллова. Лекция Числовые множества

• Название: Лекция Числовые множества
• Анкор: Конспект Кириллова
• Дата: 28.11.2021
• Размер: 225.5 Kb.
• Имя файла: 2.doc
• Тип: Лекция; #284927

Лекция 2.Числовые множества
Множество натуральных чисел

N = {1, 2, 3, ……} – множество натуральных чисел.

Обозначим буквой N₀ множество, состоящее из всех натуральных чисел и нуля. Так как через N мы обозначили множество всех натуральных чисел, то можно записать: N₀=N0, NN₀.

Рассмотрим уравнение х+а=b, a,bN₀.

Если а  b, то существует единственное число c = b  aN₀, являющееся решением этого уравнения. Если же a>b, то во множестве N₀ уравнение не имеет решений. Чтобы для любых a,bN₀ существовало решение уравнения, надо расширить множество N₀. Такое расширение осуществляется добавлением к каждому числу а нового элемента, обозначаемого « а », так чтобы в сумме с а получался нуль:

( а)+а=0, а+( а)=0.

Этот новый элемент называется отрицательным числом, противоположным натуральному числу а (или обратным для a по сложению). Наоборот, положительное число а называется противоположным отрицательному числу -а.

Условимся числа изображать точками на прямой. Нулю соответствует фиксированная точка, называемая начальной или началом. Справа от начала с одинаковыми интервалами между двумя соседними числами, равными единице масштаба, располагаются натуральные числа, а слева от начала  отрицательные числа.
Множество целых чисел

Множество, состоящее из всех натуральных чисел, нуля и всех отрицательных чисел, называется множеством целых чисел и обозначается буквой Z (от немецкого слова «die Zahl»  число). Очевидно, что: NN₀ Z.

Так как на числовой оси меньшее число из Z располагается левее большего, то всякое отрицательное число меньше любого положительного числа и нуля. Запись m<0 означает, что m - отрицательное число.

Во множестве Z уравнение x+a=b (а,bZ) всегда имеет единственное решение: х=b а.

Так как знак минус означает симметрию относительно начала, то

 ( а)=а, а b=а+( b), а (b с)=а b+с.

При умножении справедливы следующие правила знаков:

( а) b=а ( b)=(  а b), ( а) ( b)=а b.

Правила арифметических действий над отрицательными числами легко выводятся из общих законов арифметических операций: переместительности (коммутативности) и сочетательности (ассоциативности) сложения и умножения, а также распределительности (дистрибутивности) умножения относительно сложения: а+b=b+а, аb=bа, а+(b+с)=(а+b)+с, а(bс)=(аb)с, а(b+с)=аb+ас.

Говорят, что в Za делится на b (кратно b) или b делит a(записывается ), если найдется такое целое число с, что a=bc( ).

Наибольшим общим делителем целых чисел a и b называется целое число d , удовлетворяющее условиям: 1) ; 2) для любого из условия следует, что .

Наибольший общий делитель целых чисел a и bобозначается .
Алгоритм Евклида

Для нахождения чисел а,bZ используется алгоритм Евклида, основанный на делении целых чисел с остатком.

Разделить целое число a на целое число b с остатком - значит найти такие целые числа q и r , которые удовлетворяют условиям: 1) , 2) . Целые числа q и rназываются соответственно неполным частным и остатком от деления a на b . Если , то целое число a разделилось на целое число b без остатка, при этом .

Если , то остаток обозначим как Z.



и разделим целое число bна целое число с остатком

,


………………………………………







На последнем шаге алгоритма остаток становится нулевым. Этот момент обязательно наступит, поскольку остатки неотрицательны и убывают: . описанный процесс последовательного деления получаемых целых чисел с остатком и называется алгоритмом Евклида, а .

Действительно прослеживая систему равенств алгоритма Евклида снизу вверх, нетрудно заметить, что делит все числа . Следовательно, общий делитель чисел .

Если d Z какой либо еще общий делитель, то прослеживая систему равенств алгоритма Евклида сверху вниз, получаем . Значит .
Расширенный алгоритм Евклида

Непосредственно из предпоследней строки системы равенств предыдущего раздела следует, что

, то есть выражается через . В этом равенстве, используя третью снизу строку системы равенств предыдущего раздела, можно выражается через . При этом получим:

.

Аналогичным образом, продолжим процедуру представления через ; и так далее, до тех пор пока не выразим через и в виде:

, где - подходящие целые числа.

Алгоритм Евклида вместе с алгоритмом нахождения чисел называется расширенным (обобщенным) алгоритмом Евклида.
Рациональные числа

Рассмотрим уравнение ах=b, где а,bZ  целые числа, причем а 0. Если b делится на а без остатка, т.е. b=am, mZ, то во множестве целых чисел исходное уравнение имеет единственное решение х=m. В противном случае это уравнение не имеет решений во множестве Z. Чтобы уравнение имело решение при любых целых а и b, при а  0, надо расширить множество Z, добавляя новые элементы , a, bZ, а 0.

Число называется рациональным числом или дробью с числителем b и знаменателем а. Если в рассматриваемое уравнение вместо х подставить , то получится тождество. Два рациональных числа считаются равными, если .

Положительная дробь называется правильной, если 0, т.е. если числитель меньше знаменателя, и неправильной, если m≥n>0. Применяя алгоритм деления, всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби:

, 0  r , .

Сумму символически записывают в виде и называют смешанной дробью с целой частью q. Дробь со знаменателем единица отождествляется с целым числом, равным числителю, т.е. . Если НОД(m, n) = 1, то дробь называется несократимой.

Дробь называется десятичной, если ее знаменатель n является натуральной степенью числа 10. Для десятичной дроби употребляется особый вид записи. Например, вместо , пишут: 0,0213. Дробь же, записанную в виде , где m и n - целые числа, n0, называют обыкновенной.

Десятичные дроби, имеющие после запятой конечное число ненулевых цифр n, называются конечными. Для их превращения в обыкновенные или смешанные дроби достаточно записать соответствующий знаменатель , взяв числителем число из цифр после запятой и сохранив целую часть числа, если она есть. Например, число 2,023=2 .

Десятичная дробь, имеющая сколь угодно много ненулевых цифр после запятой, называется бесконечной. Бесконечные десятичные дроби разбиваются на два класса - периодические, когда, начиная с некоторого момента, одна и та же группа цифр неограниченно повторяется, и непериодические, если не существует такой бесконечно повторяющейся группы цифр после запятой. Повторяющуюся группу цифр в периодической десятичной дроби заключают в круглые скобки. Например, вместо 0,2353535... пишут 0,2(35).

Применяя алгоритм деления числителя на знаменатель, можно представить всякую обыкновенную дробь либо в виде конечной десятичной дроби (если простыми множителями знаменателя являются только двойки или пятерки), либо в виде бесконечной периодической (в остальных случаях). Например, .

Для того, чтобы периодическую десятичную дробь превратить в обыкновенную (или смешанную, если дробь больше единицы), надо в знаменателе дробной части записать слева направо столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр до периода, а в числителе - разность между натуральным числом из цифр после запятой до второго периода и натуральным числом из цифр после запятой до первого периода.

Для доказательства этого утверждения умножим дробную часть х десятичной периодической дроби сначала на 10^k, где k - число цифр после запятой до второго периода, затем - на 10^h, где h - число цифр до первого периода. Вычитая из первого результата второй, получают справа натуральное число, равное числителю искомой обыкновенной дроби, а слева - искомый знаменатель, умноженный на данную дробную часть х. Целая же часть числа остается неизменной.

Рассмотрим, например, периодическую десятичную дробь 3,2(15). Здесь дробная часть х=0,2(15), k=3, h=1.

Имеем: 10³х  10х = 215  2. Следовательно, , а значит, .

Множество всех рациональных чисел обозначается буквой Q от латинского слова «quotient» - «частное».

Имеем: NN₀ Z Q.

Арифметические операции  сложение и умножение рациональных чисел удовлетворяют тем же законам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, что и натуральных и целых чисел.

Заметим, что на числовой оси рациональные числа располагаются «всюду плотно», то есть между любыми точками числовой прямой, изображающими рациональные числа, существует точка, изображающая рациональное число.
Действительные числа
Рассмотрим на числовой прямой точку, являющуюся концом отрезка, равного диагонали квадрата, который построен на единичном отрезке этой прямой. Эту точку нельзя задать никаким рациональным числом. Действительно, предположим противное, то есть что ей соответствует несократимая дробь , где m, n - ненулевые целые числа.

По теореме Пифагора получаем 1²+1²=2= , и далее m²=2n². Следовательно, m², а значит и m - числа четные, т.е. m=2k, kZ. Получаем: (2k)²=2n². Отсюда 2k²=n². Значит n - тоже число четное, то есть дробь оказалась сократимой. Пришли к противоречию относительно сократимости дроби.

Так как квадрат этого нового числа равен двум, то оно обозначается символом .

Рассмотрим множество всех рациональных чисел, добавив к ним новые элементы, соответствующие тем точкам числовой оси, которые не изображают никакие рациональные числа. Каждый такой элемент называется иррациональным числом (от лат. «irrational»  безрассудный, не определяемый отношением), а множество R - всех рассматриваемых элементов называется множеством действительных чисел. Таким образом, множество всех рациональных и иррациональных чисел образует новое множество, называемое множеством действительных чисел. Оно обозначается буквой R. Кроме того, справедливо следующее соотношение : NN₀ Z Q R.

Всякому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. Наоборот, всякой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число.

Пусть х - произвольное действительное число. Откладывая от начала координат единичный отрезок в положительном (при х≥0) или отрицательном (при х<0) направлении, убеждаемся, что существует единственное целое число n такое, что

Если x=n, то процесс закончен. Если же х>n, то, разбивая единичный отрезок на 10 частей и откладывая от точки n в положительном направлении десятые доли, получим:

n,n₁  x < n,(n₁+1).

Продолжая, в случае неравенства, процесс откладывания сотых, тысячных и т.д. частей, убеждаемся, что всякое действительное число либо совпадает с конечной десятичной дробью, либо выражается бесконечной десятичной дробью, лежащей с любой степенью точности между двумя конечными десятичными дробями. При этом конечная и бесконечная периодическая десятичная дробь являются рациональными числами, а бесконечная непериодическая десятичная дробь  иррациональным числом.

Операции сложения и умножения иррациональных чисел осуществляются путем предельного перехода результатов соответствующих операций над конечными десятичными дробями, являющимися приближениями исходных чисел. Например, для нахождения суммы составляют монотонно возрастающую ограниченную сверху последовательность десятичных дробей:

1,4+1,7=3,1;

1,41 + 1,73=3,14;

1,414+1,732=3,146;

1,4142+1,7320=3,1462;

1,41421+1,73205=3,14626;

1,414213+1,732050=3,146263,

1,4142135+1,7320508=3,1462643; и т.д. В пределе эта последовательность и дает число .

Арифметические операции над действительными числами удовлетворяют тем же законам ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности, что и над рациональными числами.

Знак минус перед действительным числом означает переход к противоположному числу, изображаемому симметричной относительно начала числовой прямой точкой. Следовательно,

-(-х)=х для любого xR.

Модулем действительного числа х называется число, равное х, если x ≥0, и равное -х, если х<0. Обозначается |х|. Например, |5|=5, |-7|=7, |0|=0. Геометрически модуль х есть расстояние от точки х до начала числовой прямой. Очевидно, что |x|>0, а так же |х+y|  |х|+|y|.

Кроме того, (-х)у=х(-у)=-ху, (-х)(-у)=ху.
Комплексные числа

Можно считать, что действительному числу соответствует радиус-вектор, начинающийся в начале координат и заканчивающийся в точке числовой оси, соответствующей этому числу. Тогда множеству R будет соответствовать множество радиусов векторов точек числовой оси.

Рассмотрим множество радиусов векторов произвольных точек плоскости. Это множество обозначается буквой K.



Здесь используется обычная координатная запись точки конца соответствующего радиуса вектора. При этом точке плоскости поставим в соответствие формальную запись a + ib, которую назовем «комплексным числом». Теперь множество К можно задать следующим образом и называть множеством «комплексных чисел».


y



Z = a + ib

bi (a, b)

i



0 1 a x


Для элементов множества К определим внутреннюю бинарную операцию «сложения». Пусть операция сложения «+» совпадает с обычным сложением векторов. Для действительных чисел так определенная операция сложения совпадает с обычным сложением действительных чисел.

Для произвольного элемента z множества К через z обозначим длину соответствующего радиус-вектора и будем назвать модулем z. Через α = arg z обозначим угол между направлением оси действительных чисел и направлением радиус-вектора и будем назвать аргументом z.

Произведением z₁, z₂ двух комплексных чисел называется комплексное число z, модуль которого равен z = z₁z₂, а аргумент arg z = arg z₁ + arg z₂ (здесь + обозначает обычное сложение действительных чисел, а «» обозначает обычное умножение действительных чисел).

Как сложение, так и умножение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно, так как все эти операции сводятся к умножению модулей, сложению аргументов и сложению векторов. Кроме того, справедлив и закон дистрибутивности .

Для действительных чисел новые правила сложения и умножения совпадают со старыми (с правилами сложения и умножения действительных чисел).

Любое комплексное число z единственным образом представимо в виде , где a и b  действительные числа, откладываемые по горизонтальной и вертикальной осям соответственно, .

Для компонент комплексных чисел используются следующие названия:

a  действительная часть комплексного числа;

ib мнимая часть комплексного числа;

b  коэффициент при мнимой части.

Для рассмотренного представления комплексных чисел справедливы следующие соотношения:

(a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d),

(a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(cb+ad).

Очевидно, что и ,

.

 тригонометрическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма представления комплексных чисел удобна для выполнения операций умножения и возведения в степень:



.

При извлечении корня n-той степени из комплексного числа z используется формула Муавра:



Отсюда ясно, что для любого комплексного числа z0 существует n различных значений корней n-той степени.

Если z = a + bi  любое комплексное число, то комплексное число с тем же модулем и с аргументом, противоположным по знаку аргументу z. Такое число называется сопряжённым z. Нетрудно проверить, что для любых комплексных чисел z и y справедливы соотношения: и .

Исторические сведения

Впервые упоминание о «мнимых числах» появилось в книге «Алгебра» итальянского математика Рафаэля Бомбелли (1530-1572), изданной в год смерти ученого. В этой книге дано изложение простейших правил действий над комплексными чисами и их применение к исследованию кубического уравнения в случае, когда уравнение имеет три действительных корня, а в формуле, определяющей эти корни, присутствует квадратный корень из отрицательного числа. Однако, для многих крупных ученых XVII в., включая И. Ньютона (1643-1727) и Г. Лейбница (1646-1716), алгебраическая и геометрическая сущность комплексных чисел оставалась загадочной и мистической. А. Муавр (1667-1754) вывел для комплексных чисел приведенную выше формулу возведения в натуральную степень и извлечения корня с натуральным показателем. Эти формулы нашли широкое применение и в тригонометрии.

Символ i= введен в 1777 г. Л. Эйлером (1707-1783), термин «комплексное число» ввел в 1803 г. Л. Карно (1753-1823). Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними дал в 1799 г. датский математик К. Вессель (1745-1818). Наиболее эффективное применение комплексных чисел в математике осуществили в XVIII - XIX вв. Л. Эйлер и К. Ф. Гаусс, доказавшие, что любой многочлен с действительными или комплексными коэффициентами имеет во множестве комплексных чисел хотя бы один корень. Этот результат впоследствии был назван «основной теоремой алгебры». Ф. Гаусс построил теорию целых комплексных чисел, с помощью которой были получены новые результаты и даны более простые доказательства известных теорем для обычных целых чисел.

В XIX в. и особенно в XX в. комплексные числа нашли широкое применение не только в различных областях математики, но и в механике, и в физике. В настоящее время теория функций комплексного переменного широко используется в теории упругости, аэро- и гидродинамике, электростатике, картографии, электротехнике и др. областях естествознания. Наиболее глубокие результаты были получены выдающимися русскими учеными Г. В. Колосовым (1867-1936), Н. Е. Жуковским (1847-1921), С А. Чаплыгиным (1869-1942), М. В. Келдышем (1911-1978) и М.А. Лаврентьевым (1900-1980).

Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин успешно применили методы теории функций комплексного переменного к расчету профиля крыла самолета.