Числовые ряды. Числовые ряды_210517_212202. Лекция Числовые ряды
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
Лекция 1. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов. Необходимый признак сходимости Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математиче- ского анализа, имеют разнообразные практические применения. Числовымрядом (или просто рядом) называется выражение вида 1 2 1 , n n n u u u u ∞ = = + + + + ∑ K K (1) где 1 2 , , , , n u u u K K - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, n u - общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда n u , выраженный как функция его номера n : ( ) n u f n = Сумма первых n членов ряда называется n -й частичнойсуммой ряда и обозначается через , n S т.е. 1 2 n n S u u u = + + + K Рассмотрим частичные суммы: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 , , , S u S u u S u u u = = + = + + K Если существует конечный предел lim n n S S →∞ = последовательности частичных сумм ря- да, то этот предел называют суммойряда и говорят, что ряд сходится. Записывают: 1 n n S u ∞ = = ∑ Если lim n n S →∞ не существует или lim n n S →∞ = ∞ , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет. Исследуем сходимость ряда 2 1 n a aq aq aq − + + + + + ( 0 a ≠ ) , который называется рядомгеометрическойпрогрессии. Как известно, сумма первых n членов прогрессии находится по формуле 0 (1 ) 1 n n k n k a q S aq q = − = = − ∑ , ( 1) q ≠ Найдем предел этой суммы: (1 ) lim lim lim 1 1 1 n n n n n n a q a q S a q q q →∞ →∞ →∞ − = = − − − − Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q : 1. Если 1 q < , то 0 n q → при n → ∞ . Поэтому lim 1 n n a S q →∞ = − , ряд сходится, его сумма 1 a S q = − ; 2. Если 1 q > , то n q → ∞ при n → ∞ . Поэтому lim n n S →∞ = ∞ , ряд расходится; 3. Если 1 q = , то при 1 q = ряд принимает вид a a a + + + , для него n S a n = ⋅ и lim n n S S →∞ = = ∞ , т.е. ряд расходится; при 1 q = − ряд принимает вид a a a a − + − + - в этом случае 0 n S = при четном n и n S a = при нечетном n . Следовательно, lim n n S →∞ не существует и ряд расходится. Таким образом, ряд геометрической прогрессии сходится при 1 q < и его сумма равна 1 a S q = − , а расходится при 1 q ≥ . Нахождение n – й частичной суммы n S и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый при- знак сходимости. Теорема 1. (Необходимыйпризнаксходимостиряда). Если числовой ряд (1) сходится, то его общий член n u стремится к нулю, т.е. lim 0 n n u →∞ = Доказательство. Пусть ряд (1) сходится и lim n n S S →∞ = Тогда и 1 lim n n S S − →∞ = ( при n → ∞ и ( 1) n − → ∞ ). Учитывая, что 1 n n n u S S − = − при 1 n > , получаем: 1 1 lim lim ( ) lim lim 0 n n n n n n n n n u S S S S S S − − →∞ →∞ →∞ →∞ = − = − = − = Следствие (достаточноеусловиерасходимостиряда). Если lim 0 n n u →∞ ≠ или этот пре- дел не существует, то ряд расходится. Теорема 1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия lim 0 n n u →∞ = не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых lim 0 n n u →∞ = В качестве примера рассмотрим так называемый гармоническийряд 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 n n n ∞ = = + + + + + + ∑ Необходимый признак сходимости выполняется: 1 lim lim 0 n n n u n →∞ →∞ = = Однако гармони- ческий ряд расходится. Покажем это. Как известно, 1 lim 1 n n e n →∞ + = Отсюда следует, что при любом n N ∈ имеет место не- равенство 1 1 n e n + < Логарифмируя это неравенство, получим: 1 ln 1 1 n n ⋅ + < , т.е. 1 1 1 ln , ln( 1) ln n n n n n n + > > + − Подставляя в полученное неравенство поочередно 1, 2,..., 1, n n n = − , получим: 1 ln 2, > 1 ln 3 ln 2, 2 > − 1 ln 4 ln 3 3 > − , …………………, 1 ln( 1) ln n n n > + − Сложив почленно эти неравенства, получим 1 1 1 1 ln( 1) 2 3 n S n n + + + + = > + Поскольку lim ln( 1) n n →∞ + = ∞ , получаем lim n n S →∞ = ∞ , т.е. гармонический ряд расходится. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточныхпризнаков. Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрица- тельными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умноже- ния его на ( ) 1 − , что, как известно, не влияет на сходимость ряда). Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В осно- ве такого сравнения лежат следующие теоремы. Теорема 2. Пусть даны два знакоположительных ряда 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n ∞ = υ ∑ Если для всех n выполняется неравенство , n n u ≤ υ то из сходимости второго ряда следу- ет сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ря- да. Теорема 3. (Предельныйпризнаксравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n ∞ = υ ∑ Если существует конечный, отличный от нуля, предел ( ) lim 0 , n n n u A A →∞ = < < ∞ υ то эти ряды сходятся или расходятся одновременно. В качестве “эталонных” рядов при использовании признаков сравнения, как правило, ис- пользуются ряд геометрической прогрессии и так называемый обобщенныйгармоническийряд ( илирядДирихле): 1 1 1 1 1 1 1 , 2 3 4 n n n ∞ α α α α α = = + + + + + + ∑ K K где 0 α > - действительное число, который при 1 α = переходит в гармонический ряд. При из- ложении интегрального признака Коши мы покажем, что ряд Дирихле сходится при 1, α > рас- ходится при 1. α ≤ Теорема 4. (ПризнакДаламбера). Пусть дан числовой ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел 1 lim n n n u l u + →∞ = Тогда ряд сходится при 1 l < и расходится при 1 l > Замечания. 1. Если 1 l = , то числовой ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. 2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит вы- ражение вида n ! или n a . Пример. Исследовать на сходимость ряд 0 1 ( 1)! n n ∞ = + ∑ Решение. Находим ( ) ( ) 1 1 2 ! ( 1)! 1 lim lim lim lim 0. 1 2 ! 2 ( 1)! n n n n n n n u n l u n n n + →∞ →∞ →∞ →∞ + + = = = = = + + + Так как 0 1, l = < то данный ряд по признаку Даламбера сходится. Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимо- сти знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка и доказательство. Теорема 5. (РадикальныйпризнакКоши). Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел lim n n n u l →∞ = Тогда ряд сходится при 1 l < и расходится при 1. l > Как и для признака Даламбера, в случае, когда 1, l = вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы полностью аналогично доказательству признака Даламбе- ра. Поэтому позволим себе опустить его. Пример. Исследовать на сходимость ряд 2 1 2 1 3 n n n n n ∞ = + ⋅ ∑ Решение. Так как 2 2 1 1 2 1 1 1 2 , 3 3 n n n n n n n n n n ∞ ∞ = = + + ⋅ = ⋅ ⋅ ∑ ∑ то применим радикальный признак Коши к ряду 2 1 1 1 3 n n n n n ∞ = ⋅ + ∑ Вычисляем 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 1. 3 3 3 n n n n n n n n n n e l u n n →∞ →∞ →∞ + = = = + = < Ряд 2 1 1 1 3 n n n n n ∞ = + ⋅ ∑ сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству ря- дов. Теорема 6. (ИнтегральныйпризнакКоши). Если члены знакоположительного ряда 1 n n u ∞ = ∑ могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно O u 1 y = f (x) n n -1 3 2 1 y x u 2 u n-1 u n убывающей на промежутке [ ) 1; +∞ функции ( ) f x так, что ( ) ( ) ( ) 1 2 1 , 2 , , , , n u f u f u f n = = = K K то: 1) если ( ) 1 f x dx +∞ ∫ сходится, то сходится и ряд; 2) если ( ) 1 f x dx +∞ ∫ расходится, то расходится также и ряд. Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графи- ком функции ( ) y f x = , основанием которой служит отрезок оси Ox от 1 x = до x n = ( см. рис. 1). Строим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1; 2], [2;3], ... Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем: Рис. 1 1 (2) 1 (3) 1 ... ( ) 1 ( ) (1) 1 (2) 1 ... ( 1) 1 n f f f n f x dx f f f n ⋅ + ⋅ + + ⋅ < < ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ∫ , или 2 3 1 2 1 1 ( ) n n n u u u f x dx u u u − + + + < < + + + ∫ , или 1 1 ( ) n n n n S u f x dx S u − < < − ∫ (2) Случай 1. Несобственный интеграл 1 ( ) f x dx +∞ ∫ сходится, т.е. 1 ( ) f x dx A +∞ = ∫ Поскольку 1 1 ( ) ( ) n f x dx f x dx A +∞ < = ∫ ∫ , то с учетом неравенства (2) имеем: 1 n S u A − < , т.е. 1 n S u A < + Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом 1 u A + ), то, по признаку существования предела, имеет предел ( lim n n S S →∞ = ). Следовательно, ряд сходится. Случай 2. Несобственный интеграл 1 ( ) f x dx +∞ ∫ расходится. Тогда 1 ( ) f x dx +∞ = +∞ ∫ и инте- гралы 1 ( ) n f x dx ∫ неограниченно возрастают при n → ∞ . Учитывая, что 1 ( ) n n n S f x dx u > + ∫ ( см. 2), получаем, что lim n n S →∞ = ∞ Следовательно, данный ряд расходится. Теперь рассмотрим вопрос о сходимости ряда Дирихле, который был упомянут выше. Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию 1 ( ) f x x α = Эта функция непрерывна, монотонно убывает на про- межутке [1; ) +∞ и 1 ( ) n f n u n α = = При 1 α ≠ имеем: 1 1 1 1 1 1 , если 1, 1 lim lim lim 1 1 1 1 , если 1. b b b b b dx x b x dx x ∞ −α −α −α α →∞ →∞ →∞ α > = = = − = − α − α − α − α ∞ α < ∫ ∫ При 1 α = имеем гармонический ряд 1 n u n = , который расходится. Итак, ряд Дирихле сходится при 1 α > , расходится при 1 α ≤ Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимсярядом называется ряд вида ( ) ( ) 1 1 1 2 3 4 1 1 1 , n n n n n u u u u u u ∞ + + = − + − + + − + = − ∑ K K (3) где 0 n u > для всех n ∈ Ν ( т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следует друг за другом поочередно). Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установ- ленный в 1714 г. Лейбницем). Теорема 7 (ПризнакЛейбница). Знакочередующийся ряд (3) сходится, если: 1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. 1 2 3 ; n u u u u > > > > > K K 2. Общий член ряда стремится к нулю: lim 0. n n u →∞ = При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам 1 0 S u < < Доказательство. Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа ( 2m ) членов ряда (3). Имеем 2 1 2 3 4 2 1 2 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) m m m m m S u u u u u u u u u u u u − − = − + − + + − = − + − + + − Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Сле- довательно, сумма 2 0 m S > и возрастает с возрастанием номера 2m С другой стороны, 2m S можно переписать так: 2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) m m m m S u u u u u u u u − − = − − − − − − − − Легко видеть, что 2 1 m S u < Таким образом, последовательность 2 4 6 2 , , , ...., , ... m S S S S возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел 2 lim m m S S →∞ = , причем 1 0 S u < < Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа ( 2 1 m + ) членов ряда (3). Очевид- но, что 2 1 2 2 1 m m m S S u + + = + Отсюда следует, что ( ) 2 1 2 2 1 2 lim lim lim 0 m m m m m m m S S u S S + + →∞ →∞ →∞ = + = + = , т.к. 2 1 lim 0 m m u + →∞ = в силу второго условия теоремы. Итак, lim n n S S →∞ = как при четном n , так и при нечетном n . Следовательно, ряд (3) сходится, причем 1 0 S u < < Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд 1 , n n u ∞ = ∑ содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество от- рицательных членов, называется знакопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак схо- димости. Теорема 8. (Признакабсолютнойсходимостиряда). Пусть дан знакопеременный ряд 1 2 n u u u + + + + K K (4) Если сходится ряд 1 2 , n u u u + + + + K K (5) составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд. Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (4) и (5): 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n u u u u u u u u ∞ = + + + + + + + = + ∑ Очевидно, что 0 2 n n n u u u ≤ + ≤ для всех n N ∈ Но ряд 1 2 n n u ∞ = ∑ сходится в силу условия тео- ремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения (см. тео- рема 2) сходится и ряд 1 ( ) n n n u u ∞ = + ∑ Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов 1 1 1 ( ) n n n n n n n u u u u ∞ ∞ ∞ = = = = + − ∑ ∑ ∑ , то, на основании свойства 2 числовых рядов, ряд сходится. Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд (4), то это не оз- начает, что будет сходиться ряд (5). Знакопеременный ряд называется абсолютносходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называется условносходящимся, если сам он сходится, а ряд, со- ставленный из модулей его членов, расходится. Пример. Исследовать на сходимость ряд. ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 n n n n n − ∞ = − + + + ∑ Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин 2 1 1 1 n n n n ∞ = + + + ∑ можно сравнить с ( расходящимся) гармоническим рядом 1 1 n n ∞ = ∑ В самом деле, так как 2 2 2 1 1 lim : lim 1 1 1 n n n n n n n n n n →∞ →∞ + + = = + + + + , то ряд 2 1 1 1 n n n n ∞ = + + + ∑ расходится, а исходный ряд абсо- лютно не сходится. Исследуем его на условную сходимость. Это можно сделать с помощью признака Лейбница: 1) ряд знакочередующийся; 2) 2 1 lim 0 1 n n n n →∞ + = + + ; 3) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 1 n n n n n n + + > + + + + + + для любого n, так как ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 0 1 1 3 3 1 1 1 1 3 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n + + + + + + − = − = > + + + + + + + + + + + + + + Таким образом, ряд сходится условно. Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетатель- ность, распределительность). Основныесвойстваабсолютносходящихсярядов: 1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S , то ряд, полученный из него переста- новкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S , что и исходный ряд (теорема Дирихле). 2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами 1 S и 2 S можно почленно складывать (вычи- тать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 1 2 S S + ( или соответственно 1 2 S S − ) 3. Под произведением двух рядов 1 2 u u + + K и 1 2 υ + υ + K понимают ряд вида ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 1 1 n n n u u u u u u u u − υ + υ υ + υ + υ + υ + υ + + υ + υ + + υ + K K K Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами 1 S и 2 S есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 1 2 S S ⋅ Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные суммы. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места. Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 1 1 1 2 3 4 − + − + K условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна S Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 3 6 8 5 10 12 2 4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 5 6 2 S − − + − − + − − + = − + − + − + = = − + − + − + = K K K Сумма уменьшилась вдвое! Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить схо- дящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана). Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной схо- димости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости зна- коположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем. |