Лекция Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля
![]()
|
Семестр 3. Лекция4. Лекция 4. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля. Поле вблизи проводника. Электроёмкость проводников и конденсаторов. (Ёмкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов). Энергия системы неподвижных зарядов. Энергия заряженного проводника, конденсатора. Плотность энергии электростатического поля. П ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. напряжённость поля внутри проводника: ![]() Следовательно, из равенства ![]() ![]() Заряженный проводник. Если уединённому проводнику сообщить сторонний электрический заряд, то условие равновесия зарядов опять приводит к условию: ![]() ![]() Отсюда следует, что все сторонние заряды располагаются на поверхности проводника, т.к. напряжённость поля внутри проводника равна нулю, а по теореме Гаусса для любой замкнутой поверхности внутри проводника (в том числе и для наружной поверхности проводника): ![]() Так как поверхность проводника в этом случае тоже эквипотенциальная, то с ![]() Из теоремы Гаусса следует, что вблизи поверхности проводника ![]() З ![]() Метод электрических изображений. Если эквипотенциальную поверхность заменить проводящей, после чего отбросить часть поля, которую эта поверхность отделяет, то картина поля в оставшейся части не изменится. И наоборот, если картину поля дополнить фиктивными зарядами так, чтобы проводящую поверхность можно было заменить эквипотенциальной, то начальная картина поля не изменится. П ![]() ![]() Энергия заряженного проводника. Энергия уединённого заряженного проводника определяется как энергия системы зарядов: ![]() ![]() ![]() Для системы заряженных проводников: ![]() В частности для двух проводников, имеющих одинаковые по величине, но разные по знаку заряды q, энергия будет равна: ![]() Замечание. Величина разности потенциалов ![]() Опыт показывает, что между зарядом уединённого проводника и его потенциалом существует линейная зависимость: ![]() ![]() Конденсатором называется система из двух проводников, заряженных одинаковыми по величине, но разными по знаку зарядами. Проводники называются обкладками конденсатора. Электроёмкость конденсатора определяется по формуле ![]() Конденсатор условно обозначается ![]() Соединение конденсаторов Р ![]() ![]() ![]() ИТОГ. Заряды последовательно соединённых конденсаторов одинаковы по величине. Общий заряд последовательно соединённых конденсаторов равен заряду каждого из конденсаторов. Для этого случая общее напряжение равно сумме напряжений на конденсаторах: UОБЩ =U1+U2. Заряды конденсаторов одинаковые: q1=q2=q. Тогда ![]() ![]() При последовательном соединении конденсаторов их ёмкости складываются по закону обратных величин. ![]() Для этого случая напряжения на конденсаторах одинаковые: U1=U2=U. Суммарный заряд равен сумме зарядов: qОБЩ=q1+q2 или СОБЩU=C1U+C2U. Тогда СОБЩ =C1+C2 . При параллельном соединении конденсаторов их ёмкости складываются. Энергия конденсатора: ![]() Суммарный заряд конденсатора равен нулю. Конденсатор накапливает электрическую энергию путём разделения электрических зарядов. Примеры по расчёту ёмкости конденсаторов. Плоский (воздушный) конденсатор представляет собой две параллельные пластины, расстояние между которыми много меньше размеров пластин, так что поле между пластинами можно считать однородным. Между пластинами находится вакуум (воздух), поэтому = 1. ![]() ![]() ![]() Снаружи пластин векторы напряжённости полей направлены противоположно, поэтому напряжённость поля снаружи равна нулю. Таким образом, в конденсаторе напряжённость поля отлична от нуля только между пластинами. Так как электростатическое поле является полем консервативной силы, то интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() Цилиндрический (воздушный) конденсатор представляет собой два коаксиальных цилиндра одинаковой длины, вложенных друг в друга так, что расстояние между обкладками много меньше размеров обкладок. Пусть длина конденсатора L, заряд внутренней обкладки положительный: q> 0. Радиусы обкладок R1 и R2, пусть R1 < R2. Напряжённость поля между обкладками на расстоянии r от внутренней обкладки, т.е. для R1 <r< R2 , найдём, используя теорему Гаусса: ![]() Тогда напряжение между обкладками: ![]() Поэтому электроёмкость цилиндрического (воздушного) конденсатора: ![]() С ![]() ![]() Напряжение между обкладками: ![]() Поэтому электроёмкость сферического (воздушного) конденсатора ![]() Объёмная плотность энергии электростатического поля. Рассмотрим плоский воздушный конденсатор. Энергия заряженного конденсатора ![]() Объём пространства между пластинами конденсатора ![]() ![]() ![]() В случае, когда поле не является однородным, объёмная плотность энергии ![]() В веществе объёмная плотность энергии электрического поля ![]() В случае однородного изотропного диэлектрика ![]() ![]() Т.к. ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Рассмотрим заряженную тонкостенную сферу радиуса R. Так как одноимённые заряды на сфере отталкиваются, то силы отталкивания стремятся растянуть поверхность сферы. Можно считать, что изнутри сферы на стенки действует дополнительное давление р, распирающее сферу и вызванное наличием электрического заряда на поверхности. Найдём р. Напряжённость поля внутри сферы равна нулю, поэтому объёмная плотность энергии электрического поля w отлична от нуля только снаружи сферы. При небольшом увеличении радиуса сферы на dR её объём увеличится, при этом в той части окружающего пространства, которая попала внутрь сферы, объёмная плотность энергии станет равной нулю. Следовательно, изменение энергии поля снаружи будет равно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Найдем силы, действующие на пластины в заряженном плоском конденсаторе, отключённом от источника питания. Пластины заряжены разноимённо, поэтому они притягиваются. Предположим, что пластины сблизились на малую величину x. Тогда объём конденсатора уменьшился на величину dV = xS, поэтому энергия конденсатора уменьшилась на dW = wdV. Силы притяжения совершат работу A = Fx. Так как A =dW, то Fx = wxS. Поэтому величина силы равна F = wS. Дополнительное давление, которое создают эти силы, равно ![]() Приведённые примеры показывают, что на тела, находящиеся в электрическом поле, действуют силы, вызывающие дополнительное давление, равное объёмной плотности энергии. Давление, вызванное наличием электрического поля, равно объёмной плотности энергии. Силы, действующие на тела со стороны какого-то поля, называются пондемоторными. |