Лекция Магнитное поле в вакууме

• Название: Лекция Магнитное поле в вакууме
• Анкор: Semestr_3_Lektsia_05.doc
• Дата: 30.09.2018
• Размер: 0.54 Mb.
• Имя файла: Semestr_3_Lektsia_05.doc
• Тип: Лекция; #25271

Семестр 3. Лекция 5.

Лекция 5. Магнитное поле в вакууме.

Вектор индукции магнитного поля. Закон Био-Савара. Принцип суперпозиции магнитных полей. Поле прямого и кругового токов. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах. (Расчёт магнитного поля тороида и соленоида).

Исследуя экспериментально силовое воздействие магнитного поля на проводник с током, А. Ампер установил, что сила , действующая на элемент линейного проводника с током со стороны магнитного поля с индукцией , определяется следующей зависимостью:

.

Это соотношение получило название закона Ампера.

Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой. Закон Ампера позволяет рассчитать силу взаимодействия (на единицу длины) в вакууме двух прямолинейных тонких параллельных проводников с токами I₁ и I₂ , расстояние между которыми равно b:

.

Одинаково направленные токи притягиваются, противоположно направленные – отталкиваются.

Константа в вакууме имеет вид , где Гн/м (Генри/метр) – магнитная постоянная.

Замечание. Полезное соотношение: , где - скорость света в вакууме.

Замечание. Закон Ампера связывает механическое понятие силы с единицами измерения силы тока и электрического заряда.

По современным представлениям токи взаимодействует между собой посредством промежуточной среды, которая называется магнитным полем.

Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции . Величина индукции измеряется в Теслах (Тл). Силовой линией магнитного поляназывается линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора .

Магнитное поле проявляется в действии на движущиеся заряды (токи). На покоящиеся заряды магнитное поле не действует.

Магнитное поле не имеет источников - оно создается только движущимися зарядами (электрическим током), поэтому силовые линии магнитного поля являются замкнутыми линиями.

Принцип суперпозиции для магнитного поля: вектор индукции магнитного поля, создаваемого системой движущихся электрических зарядов (электрических токов), равен векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждым из движущихся электрических зарядов (токов) в отдельности:

.

Аналогом пробного заряда для магнитного поля является пробный контур с током очень маленьких размеров. Этот контур является ориентированным – направление нормали к площадке, ограниченной контуром, согласовано с направлением тока в нём правилом буравчика (правого винта). Опыт показывает, что на пробный контур действует вращающий момент сил, зависящий от угла между вектором индукции магнитного поля и вектором нормали к площадке, ограниченной контуром, а также от силы тока и величины площадки. Максимальное значение момента даётся выражением . Поэтому величину индукции магнитного поля в данной точке определяют как

.

Определение. Магнитным моментом контура (с постоянным) током называется векторная величина

,

где S- величина площадки, ограниченной контуром, I – сила тока. Единица измерения магнитного момента: Ам² (Амперм²).

Закон Био-Савара-Лапласа.

Опыт показывает, что магнитная индукция , создаваемая в вакууме линейным элементом тока проводника с током, определяется законом Био-Савара-Лапласа:

.

М
одуль индукции магнитного поля: . Здесь - касательный вектор к линии тока, направленный в положительном направлении для тока, (dl – длина малого элемента проводника), I – сила тока в проводнике, - вектор, проведенный от начала вектора в точку, где определяется вектор индукции магнитного поля,  - угол между векторами и . Векторы образуют правую тройку векторов.

1) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое длинным тонким прямым проводом, по которому течет постоянный ток силой I.

Найдём величину и направление вектора магнитной индукции в точке, находящейся на расстоянии R от провода. Применим принцип суперпозиции

,

где - вектор магнитной индукции, создаваемый элементом тока .

Векторы в выбранной точке от всех элементов направлены одинаково (перпендикулярно плоскости, образованной векторами ), поэтому можно перейти от векторной суммы к сумме величин :

, где .

Введём координату х, отсчитываемую от точки пересечения провода и перпендикуляра к проводу, восстановленного из точки наблюдения. Тогда , , , поэтому

.

Но (см. лекцию № 1).

Окончательно, величина индукции магнитного поля на расстоянии R от тонкого длинного прямого провода с постоянным током I определяется соотношением:

.

Силовые линии магнитного поля, создаваемого током в бесконечно длинном прямом проводнике, представляют собой окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводу, и с центром на оси провода. Направление вектора определяется по правилу правого винта. (Или правой руки: если обхватить правой рукой провод так, чтобы большой палец был направлен по току, то остальные пальцы покажут направление «закрученности» В.)
2) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым контуром с постоянным током, на оси контура.

По контуру течёт ток силой I, радиус контура R. Найдём величину индукции магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии x от плоскости контура вдоль его оси.

Любые два элемента и , расположенные симметрично относительно центра контура, создают в точке наблюдения два симметричных (относительно оси) вектора и . Сумма этих векторов лежит на оси контура. Поэтому при нахождении суперпозиции всех векторов надо учитывать только проекцию векторов на эту ось:

.

Т.к. образующая конуса перпендикулярна касательной к основанию, то угол между векторами и - прямой, поэтому

.

Для всех элементов величины и одинаковые. Следовательно,

или

.

С учётом определения магнитного момента контура и величины площади круга можно записать эту формулу в виде

.

Замечание. Картина силовых линий магнитного поля кольца обладает осевой симметрией, поэтому вектор индукции в каждой точке плоскости кольца направлен перпендикулярно этой плоскости. Кроме того, в каждой точке поля вектор лежит в плоскости, проходящей через ось кольца (продольной плоскости).

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Так как силовые линии магнитного поля замкнутые, то это поле является вихревым, т.е. , поэтому циркуляция этого векторного поля вдоль любого замкнутого контура Г не равна нулю:

.

Пример. Найдем циркуляцию вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым проводом с током. В качестве контура Г возьмём какую-нибудь силовую линию (представляющую собой, как нам уже известно, окружность с центром на оси провода и лежащую в плоскости, перпендикулярной к проводу). Пусть радиус этой линии равен R, тогда величина магнитной индукции на этой линии постоянна и равна . Выберем ориентацию на контуре Г так, чтобы векторы и были направлены одинаково. (В этом случае нормаль к площадке, ограниченной контуром, и направление тока совпадают.) Тогда

.

Выберем ориентацию на силовой линии так, чтобы векторы и были направлены противоположно, (при этом нормаль к площадке, ограниченной контуром, и направление тока тоже будут направлены противоположно). В этом случае

.

Этот результат не является случайным, его можно обобщить в виде теоремы о циркуляции вектора индукции магнитного поля (в интегральной форме):

циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому ориентированному замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих ориентированную площадку, ограниченную контуром. Ориентация контура и площадки согласованы правилом правого винта. Коэффициент пропорциональности – магнитная постоянная:



Сила тока берётся со знаком плюс, если угол между направлением тока и направлением нормали к площадке меньше 90 градусов, и минус - если больше.

Если ввести векторное поле плотности тока так, чтобы , то, используя теорему Стокса

,

получаем дифференциальную форму записи теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции:

.

Замечание. Хоть магнитное поле и является вихревым, но отсюда не следует, что циркуляция вектора магнитной индукции всегда отлична от нуля. Например, если контур Г охватывает два одинаковых по силе тока, но пронизывающих площадку в разных направлениях, то для них

, но .

Идеальным соленоидом называется бесконечный тонкий проводник, намотанный на поверхность бесконечного кругового цилиндра так, что при этом круговые витки проводника перпендикулярны оси цилиндра.

Замечание. В таком соленоиде нет составляющей электрического тока, направленной вдоль оси цилиндра, а только круговые токи в каждом из поперечных сечений. Поэтому можно считать, что соленоид составлен из бесконечного числа одинаковых витков, по которым течёт одинаковый по направлению и силе ток.

Плотностью намотки соленоида n называется величина равная отношению количества витков N на некотором участке соленоида к длине этого участка l: .

Найдем величину индукции магнитного поля в какой-нибудь точке А на оси соленоида. Пусть сила тока в соленоиде равна I. Радиус витков R. Плотность намотки n.

Для нахождения индукции магнитного поля в этой точке, применим принцип суперпозиции для магнитного поля – вектор индукции равен векторной сумме магнитных индукций, создаваемых каждым из колец в отдельности: . Отметим, что все векторы в точке А направлены одинаково – в одну сторону вдоль оси соленоида. Поэтому от векторной суммы можно перейти к сумме длин векторов: .

Введём вдоль оси соленоида ось z. Выделим в соленоиде какое-либо сечение, координату которого примем за ноль (z=0). Пусть точка А имеет координату z_А. Небольшая часть соленоида, длина которой равна dz и которая находится в сечении с координатой z, содержит количество витков . Эта часть создаёт в точке А индукцию магнитного поля, величина которой , где расстояние от точки А до этого сечения равно .

Тогда или

.

Делаем замену переменных: и получаем .

Поэтому величина магнитной индукции на оси соленоида равна: . Как видно, она не зависит от радиуса соленоида R.

Обсудим расположение силовых линий магнитного поля соленоида (и внутри, и снаружи). Так как магнитное поле соленоида создаётся кольцами с током, то вектор индукции в каждой точке поля лежит в продольной плоскости соленоида (любой плоскости, проходящей через ось соленоида).


Докажем, что в произвольных точках A₁, A₂, A₃, находящихся на равном расстоянии от оси, вектор индукции одинаков по величине и направлен под одинаковым углом к оси.

1) Пусть точки A₁ и A₂ находятся в одном поперечном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает осевой симметрией, то поворотом вокруг оси можно перенести точку A₁ в A₂ (и наоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).

2) Пусть точки A₁ и A₃ находятся в одном продольном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает симметрией сдвига вдоль оси, то сдвигом можно перенести точку A₁ в A₃ (и наоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).

Докажем теперь, что вектор индукции магнитного поля соленоида в каждой точке направлен параллельно оси соленоида. Для этого рассмотрим вектор в произвольной точке поля, считая, что он не направлен параллельно оси соленоида. Предположим, что при заданном направлении тока I он направлен как . Через рассматриваемую точку можно провести ось симметрии О₁О₂ поля соленоида и подвергнуть поле повороту на 180⁰ вокруг этой оси. При этом какие-то точки A₁ и A₂, расположенные симметрично относительно этой оси, перейдут друг в друга, а вектор перейдет в симметричный вектор , а направление тока I в соленоиде поменяется на противоположное: на –I. Но противоположно направленный ток в соленоиде должен создать в рассматриваемой точке противоположно направленный вектор . Поэтому вектору должен соответствовать вектор , не являющийся ему симметричным. Это противоречие можно убрать только в том случае, когда вектор параллелен оси.

Следовательно, силовые линии магнитного поля внутри и снаружи параллельны оси соленоида, а величина индукции зависит только от расстояния до оси соленоида.

Рассмотрим циркуляцию индукции векторного поля по некоторому квадратному контуру Г₁, который расположен целиком внутри соленоида так, что одна его сторона лежит на оси. Пусть длина каждой из сторон контура равна L. Тогда

,

(вычеркнуты нулевые слагаемые). Но контур не охватывает никакие токи, поэтому , откуда . Т.к. величина L является произвольной (но L<R), то величина магнитной индукции на любом расстоянии от оси (внутри соленоида) равна величине магнитной индукции на его оси. Таким образом, величина магнитной индукции внутри идеального соленоида постоянная и равна

,

где I – сила тока, n – плотность намотки витков. Следовательно, магнитное поле внутри идеального соленоида является однородным.

Теперь рассмотрим циркуляцию по квадратному контуру Г₂, который расположен так, что одна его сторона лежит внутри соленоида параллельно оси, а противоположная - снаружи. Пусть длина каждой из сторон контура равна L. Этот контур охватывает витки, число которых равно N. По виткам текут одинаковые токи в одинаковом направлении, поэтому исходя из ориентации контура и направления токов, получаем

.

Но .

При этом внутри соленоида . Получаем равенство , откуда для величины магнитной индукции снаружи соленоида . Плотность намотки витков, по определению, равна , поэтому . Снаружи идеального соленоида магнитное поле отсутствует.

У идеального соленоида магнитное поле сосредоточено только внутри соленоида.

Тороид – это тонкий проводник, плотно намотанный на поверхность тора (бублика).

Магнитное поле тороида обладает осевой симметрией, поэтому силовые линии являются концентрическими окружностями с центрами на оси тороида. Пусть число витков в тороиде равно N, сила тока в проводнике равна I. Рассмотрим циркуляцию вектора индукции вдоль контура Г радиуса r (), совпадающего с одной из силовых линий: . Вдоль контура Г величина вектора магнитной индукции постоянная, поэтому , откуда внутри тороида . Предположим, что диаметр сечения тороидальной части много меньше внутреннего радиуса . Если ввести плотность намотки на внутреннем радиусе , то можно записать: , где . Так как , то можно приближённо считать индукцию постоянной внутри тороида: .