Лекция рациональных чисел. Лекция 2. Лекция Множество рациональных чисел

• Название: Лекция Множество рациональных чисел
• Анкор: Лекция рациональных чисел
• Дата: 03.02.2022
• Размер: 75.06 Kb.
• Имя файла: Лекция 2.docx
• Тип: Лекция; #350438

Лекция 2. Множество рациональных чисел
Вопросы:

1. Отношение порядка на множестве положительных рациональных чисел. Свойства на множестве положительных рациональных чисел. Плотность множества положительных рациональных чисел.

2. Понятие десятичной дроби. Операции над десятичными дробями. Понятие процента.

3. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные. Бесконечные периодические десятичные дроби.
1. Отношение порядка на множестве положительных рациональных чисел. Свойства на множестве положительных рациональных чисел. Плотность множества положительных рациональных чисел.

Для равенства дробей на множестве положительных чисел установлено необходимое и достаточное условие: две лроби и равны тогда и только тогда, когда pq = nt.

Также число а меньше числа b (а<b) тогда и только тогда, когда существует такое число с, что a + c = b.

Если число a меньше числа b, то говорят также, что b больше а, и пишут: b>а.

Для сравнения положительных рациональных чисел сравнивают дроби, которыми представлены эти числа.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, числитель которой меньше, и больше та, числитель которой больше.

Например, , так как , а , так как .

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, можно привести их к общему знаменателю и воспользоваться правилом сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Например, и ; приводим к общему знаменателю: ; . так как , то . Значит, .

Рассмотрим свойства отношения «меньше» множества положительных рациональных чисел:

1. Отношение «меньше» антирефлексивно: неверно, что а < a.

2. Отношение «меньше» антисимметрично: если a < b, то неверно, что b < a.

3. Отношение «меньше» транзитивно: если a < b и b < c, то a < c.
Для любых натуральных чисел a и b выполняется хотя бы одно из отношений a < b, a = b, b < a.
Рассмотрим свойства на множестве положительных рациональных чисел:

1. На множестве положительных рациональных чисел нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента.

2. Множество положительных рациональных чисел является линейно упорядоченным множеством, т.к. если дроби принадлежат одному и тому же классу эквивалентности, то они равны, а если к разным классам, то одно число больше (меньше) другого.

3. Множество положительных чисел плотно в себе.

Определение. Линейное упорядоченное множество называется плотным в себе, если для любых двух элементов a и b  (a <b) существует хотя бы один элемент того же множества с такой, что a <c < b.

4. Множество положительных рациональных чисел является счетным множеством.
2. Понятие десятичной дроби. Операции над десятичными дробями. Понятие процента.

Мы видели, что появление дробей связано с переходом к новым единицам измерения, причем знаменатель дроби показывает, на сколько долей делится исходная единица измерения. В настоящее время почти во всех странах мира действует метрическая система единиц, в которой новые единицы получаются или уменьшением исходных в 10, 100, 1000 и т.д. раз, или увеличением их в 10, 100, 1000 и т.д. раз. Например,

1 км = 1000 м = 1 000 000 мм, 1 т = 1000 кг = 1 000 000 г и т.д.

Поэтому для практики особенно важны дроби, знаменатели которых являются степенями числа 10.

Определение. Дроби вида , где m и n — натуральные числа, называют десятичными.

Например, = 9,23 (читают: «9 целых 23 сотых»).

Дроби, записанные в таком виде, называются десятичными.

Десятичные дроби — это не новые числа. Например, числа и 3,7 — разные записи одного и того же числа в виде обыкновенной дроби и в виде десятичной дроби.

Если дробь правильная, то считают, что ее целая часть равна нулю и, когда записывают в виде десятичной дроби, перед запятой пишут цифру 0.

Например,

= 0,23 (читают: «0 целых 23 сотых»).

Цифры, стоящие в десятичной дроби справа от запятой, называются десятичными знаками.

Можно сделать вывод, что: в десятичной дроби после запятой столько же цифр, сколько нулей в знаменателе дробной части равной ей обыкновенной дроби.

Единица каждого следующего разряда (слева направо) в 10 раз меньше единицы предыдущего разряда.

Это свойство сохраняется и для десятичных дробей, если ввести разряды:

десятых — первый разряд после запятой;

сотых — второй разряд после запятой;

тысячных — третий разряд после запятой и т. д.

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, можно:

1) ту ее часть, что стоит слева от запятой, записать целой частью числа, а если это 0, то вообще не писать;

2) ту ее часть, что стоит справа от запятой, записать в числитель дробной части, а в знаменатель записать единицу и столько нулей, сколько знаков справа от запятой.

Чтобы сравнить две десятичные дроби, сначала сравнивают их целые части. Из двух десятичных дробей меньше (больше) та, у которой целая часть меньше (больше).

Например, 7,238 < 9,12, так как 7 < 9, т. е. целая часть первой дроби меньше целой части второй дроби.

В общем виде правила сложения и умножения десятичных дробей вы знаете.

Сформулируйте эти правила самостоятельно.
С понятием десятичной дроби тесно связано понятие процента.

Процентом называют дробь . Ее обозначают 1%, а р% обозначает дробь . Проценты и промилли (т.е. записи вида p⁰/₀₀ =  ) были введены, когда не существовало десятичных дробей. Чтобы производить расчеты по займам, определяли прирост капитала из расчета на 100 денежных единиц. Этот прирост и называли числом процентов (procentum — на сто). В настоящее время понятие процента находит применение в самых разных областях (экономике, химии, при составлении отчетности и т.д.).
3. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные. Бесконечные периодические десятичные дроби.

Дробь равна дроби , и потому ее можно записать в виде 0,32

Выясним, при каком условии дробь равна десятичной дроби.

Теорема. Для того чтобы несократимая дробь была равна десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя n на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.

Пример 1. Обратить обыкновенную дробь в десятичную.

Решение. Способ 1. В ряду чисел 10, 100, 1000 и т. д. постараемся подобрать такое, которое делится на 40. Число 10 не делится на 40, число 100 тоже не делится на 40, а число 1000 делится на 40 — 1000 : 40 = 25. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 25, получим:

.

Ответ: 0,175.

Способ 2. Разложим знаменатель дроби на простые множители: 40 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5. Число 2 входит в это разложение 3 раза, а число 5 — 1 раз. Уравняем в знаменателе количество пятерок с количеством двоек; для этого умножим числитель и знаменатель дроби на 5 ∙ 5:

.

Ответ: 0,175.

Способ 3. Обыкновенную дробь можно рассматривать как частное от деления ее числителя на знаменатель:

= 7 : 40 = 0,175.

Ответ: 0,175.

Знаменатели 10, 100, 1000 и т. д., к которым приводятся обыкновенная дробь, имеют простые множители 2 и 5, и никаких других. Поэтому:

Обратить в десятичную можно только такую обыкновенную дробь, знаменатель которой после сокращения не имеет никаких простых множителей, кроме 2 и 5.

Обратить обыкновенную дробь в десятичную можно одним из трех способов:

1) в ряду чисел 10, 100, 1000 и т. д. подобрать такое, которое делится на знаменатель обыкновенной дроби и привести ее к этому знаменателю;

2) знаменатель обыкновенной дроби разложить на простые множители и уровнять в нем количество двоек и пятерок;

3) разделим числитель дроби на знаменатель по правилу деления десятичных дробей.

Пример 2. Можно ли обратить в десятичную обыкновенную дробь:

1) ; 2) ?

Решение. 1) Дробь  — несократимая. Разложим ее знаменатель на простые множители: 80 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5. Знаменатель не имеет никаких простых множителей, кроме 2 и 5, значит, дробь можно обратить в десятичную.

Ответ: можно.

2) Дробь  — несократимая. Ее знаменатель содержит простой множитель 3, поэтому дробь нельзя обратить в десятичную.
Вопросы и задания

1. Какая запись употребляется для дробей, знаменатель которых единица с несколькими нулями? Как называют такую запись дроби?
2. Являются ли числа и 0,13 разными?

3. Как записывается правильная дробь в виде десятичной дроби?
4. Какие цифры в записи десятичной дроби называются десятичными знаками?

5. Сколько цифр стоит после запятой в десятичной дроби, полученной из обыкновенной дроби со знаменателем: а) 1 000 000; б) 25?
6.Назовите цифру, которая в записи десятичной дроби 9876,5421 находится в:

1) разряде единиц; 2) разряде тысяч;

3) разряде сотен; 4) разряде десятков;

5) разряде сотых; 6) разряде десятых;

7) разряде тысячных; 8) разряде десятитысячных.

7. По какому правилу выполняется сложение десятичных дробей?
8. Почему при сложении десятичных дробей можно пользоваться правилом сложения обыкновенных дробей?
9. Может ли сумма десятичных дробей быть натуральным числом?
10. Сформулируйте законы сложения десятичных дробей.
11. Выполните сложение десятичных дробей:

1) 49,8 + 2908,1; 2) 49,8 + 290,81;

3) 49,8 + 29,081; 4) 49,8 + 2,9081;

5) 4,98 + 2,9081; 6) 0,498 + 2,9081;

7) 0,0498 + 29,081; 8) 0,00489 + 290,81.

12. Сформулируйте правило, по которому выполняется вычитание десятичных дробей.
13. Почему при вычитании десятичных дробей можно пользоваться правилом вычитания обыкновенных дробей?
14. Может ли разность десятичных дробей быть натуральным числом?
15.Найдите значение выражения:

1) 11,26 – 7,26; 2) 8,256 – 4,256;

3) 4,9088 – 4; 4) 15,783 – 5,783;

5) 391,064503 – 0; 6) 6022,566 – 6022,566.

16. Найдите значение выражения:

1) 3,2 – (4,8 – 1,6); 2) (3,7 – 0,9) – 2,8;

3) 15,38 – (9,8 + 5,58); 4) (35,04 – 20,67) – 14,37;

5) (95,146 + 104,834) – (59,406 + 40,594);

6) (42,891 – 22,091) + (15,735 + 13,465).

17. Сформулируйте правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001.
18. Сформулируйте правило умножения десятичной дроби на 0,00001.
19. Сформулируйте правило умножения десятичных дробей.
20. Как поступают, если при умножении десятичных дробей произведение соответствующих натуральных чисел оканчивается одним или несколькими нулями?
21. Как поступают, если при умножении десятичных дробей в произведении соответствующих натуральных чисел получается меньше знаков, чем надо отделить запятой?
22. Сформулируйте законы умножения десятичных дробей.
23. Найдите произведение:

1) 82,14  3,45; 2) 98,61  5,07; 3) 109,025  4,51;

4) 0,67  611,05; 5) 1009,56  32,004; 6) 6907,003  61,48.

24. Сформулируйте правило деления десятичной дроби на натуральное число
25. Найдите значение выражения:

1) 60,201 : 4,5; 2) 29,007 : 7,2; 3) 1,8546 : 0,33;

4) 1,0634 : 0,026; 5) 0,364224 : 0,0056; 6) 0,252915 : 0,0065.

26. Сформулируйте условие обращения обыкновенной дроби в десятичную.
27. Какие способы обращения обыкновенной дроби в десятичную вы знаете?
28. Представьте обыкновенную дробь в виде процентов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

29. Представьте обыкновенную дробь в виде процентов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

30. В стеблях льна-долгунца содержится до 32 % льняного волокна. Сколько килограммов льняного волокна можно получить из 15 т льна-долгунца?

31. При переработке сахарной свеклы получается 18 % сахара от массы свеклы. Сколько сахарной свеклы потребуется для получения 90 т сахара?