Лекция. Модели кривых роста и прогнозирование на их основе
 Скачать 3.8 Mb.
|
Лекция . Модели кривых роста и прогнозирование на их основе.1. Обнаружение основной тенденции (T+e) 2. Метод МНК – основной метод оценивания кривых роста 3. Различные функциональные зависимости Существование тенденции: - визуальный метод (линейный временной график) …short …..sense Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда. Для этого чаще всего используют метод Фостера — Стюарта, критерий „восходящих" и „нисходящих" серий и критерий серий, основанный на медиане выборки. Метод Фостера — Стюарта позволяет обнаружить как тенденцию среднего уровня, так и тенденцию дисперсии Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений между фактическими и расчетными уровнями, найденными по трендовому уравнению. Этот вид тенденции также легко представить графически. Тенденцией автокорреляции является тенденция изменения связи между отдельными уровнями временного ряда. (Автокорреляция – корреляция между величиной и ее запаздыванием в один или более периодов времени) Проверка гипотезы о существовании тенденций: Метод Фостера — Стюарта2.Вычисляются значения st= ut+ mt и dt= ut- mt для t = 2, 3, …, n. 3. st принимает значения 0 и 1. st равно нулю, если Уt не является ни наибольшим, ни наименьшим уровнем среди всех предшествующих уровней Показатель st применяется для обнаружения тенденций изменения дисперсии dt - для обнаружения тенденций в средней. Проверяется гипотеза о том, что можно ли считать случайными разность d-0, s- µ Гипотезы можно проверить, применяя t-критерий Стьюдента. Обнаружение тенденцииВизуальный анализ временного ряда. Линейный временной график. Возможно, временной ряд содержит видный на глаз временной тренд и сезонность (периодичную компоненту). Возможно, что разброс значений возрастает или убывает со временем (признак «случайного блуждания»). Это может служить указанием на зависимость среднего и, соответственно, дисперсии от времени. Во всех трех случаях ряд, скорее всего, не будет стационарным. Например, в уровнях ряда, изображенном на рисунке, присутствует возрастающий тренд;В уровнях, соответствующих рисунку, тренд отсутствует.(Тренд на рисунках изображен пунктирной линией) Процедура разработки прогнозаПроцедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы: 1.Выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда; 2.Оценка параметров выбранных кривых (МНК); 3.Проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста (тест Фишера, тест Стьюдента к-т детерминации); 4.Расчет точечного и интервального доверительного прогнозов. Модели кривых роста Модель предполагает представление уровней ряда динамики в виде функции времени (уравнения тренда) – f(t). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени, полагая, что влияние других факторов несущественно или косвенно проявляется через фактор времени. Задача та же, что и в регрессионном анализе: построить уравнение, которое описывало бы зависимость уровня ряда У от фактора – времени t (1,2,3…. n). Уравнение тренда может быть линейной функцией, гиперболой, параболой, показательной функцией, логистической кривой и т.п. Выбор вида функции (f) должен быть основан на содержательном анализе сущности развития данного явления. На практике для этих целей прибегают: - к графическому изображению уровней динамического ряда (линейная диаграмма), а также к графическому изображению сглаженных уровней, в которых случайные волны и колебания в некоторой степени оказываются погашенными; - перебору всевозможных функций и выбору наилучшей (наиболее качественной). Критерием качества может служить сумма квадратов отклонений фактических значений, рассчитанных по уравнению тренда (остаточная дисперсия). Чем сумма меньше, тем уравнение более качественное. Виды функцийВ качестве кривой роста применяются - линейная Yt= a0+a1*t - полином 2-го и других порядков yt= a0+a1*t *a2*t^2+ … ak*t^k Процессы с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста Процессы, которые имеют предел роста (падения) , так называемые процессы с «насыщением» Так называемые S-образные процессы, представляющие как бы два последовательных лавинообразных процесса: один с ускорением развития, а другой – с замедлением. Выбор вида тенденции на основе показателей динамики временного ряда:Yt=a0*a1^t Расчет параметров уравнения тренда. Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Согласно данному методу наилучшим считается такое приближение выровненных данных - f(t) к фактическим - y, при котором сумма квадратов их отклонений является минимальной: Рассмотрение остатков на графикеВыбор коэффициентов трендового уравненияИз всех возможных прямых мы хотим выбрать ту, чтобы она «наилучшим образом» подходила к нашим данным, т. е. отражала бы линейную зависимость Y от t. Иными словами, чтобы каждое Yi лежало бы как можно ближе к прямой. Можно сказать, мы хотим, чтобы желаемая прямая была бы в центре скопления наших данных. Критерий метода МНКМетод наименьших квадратовСреди всех возможных прямых выбираем ту, для которой сумма квадратов остатков минимальна Линейная формаКоэффициент регрессии b показывает прирост зависимой переменной при изменении объясняющей переменной на единицу. Коэффициент регрессии b – угловой коэффициент линии регрессии Коэффициент регрессии a – среднее значение зависимой переменной при нулевом значении объясняющей переменной Интерпретация коэффициента регрессии от времени ежегодный (ежемесячный и т.д.) прирост зависимой переменной Y^= 122,5+3*t Интерпретация коэффициента регрессии от времени. Угловой К-т показывает ежегодный прирост в среднем составляет 3 единицы показателя У Y^= 122,5+3*t Линейная Y=+t+.Логарифмически-линейная форма от времениВид уравнения: Линеаризация (Преобразование нелинейной фнукции к линейной форме): Коэффициент при переменной времени выражает темп прироста. Он показывает на сколько процентов (если умножить его на 100) возрастает Y ежегодно Эту функциональную форму удобно использовать для моделирования процессов экономического роста Оценивание параметров уравнение тренда для показательной функции y =a·bt осуществляется также, как и в случае линейного тренда, с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Однако прежде чем использовать МНК, нелинейную функцию преобразуют к линейному виду путем логарифмирования и замены переменных. Если взять логарифмы (неважно по какому основанию) правой и левой частей уравнения: y =a·bt , получим следующее: ln y = ln a + t· ln b. Теперь произведем замену переменных и параметров: z=ln y; A=ln a; B=ln b. В результате имеем линейное уравнение с новыми переменными и параметрами: z=A+B·t. Для оценки его параметров (A и B) можно использовать стандартные процедуры МНК. Параметры же исходного уравнения (a и b) определяются потенцированием параметров A и B. Так в случае натурального логарифмирования a=eA; b=eB. КвадратичнаяПоказательнаяСтепенная или экспоненциальнаяГиперболическая |