Исследование функции. ИсследованиеФункции(лекция).docx (1). Лекция Монотонность функции. Выпуклость. Вогнутость. Исследование функций с по мощью производных

• Название: Лекция Монотонность функции. Выпуклость. Вогнутость. Исследование функций с по мощью производных
• Анкор: Исследование функции
• Дата: 05.06.2022
• Размер: 387.26 Kb.
• Имя файла: ИсследованиеФункции(лекция).docx (1).pdf
• Тип: Лекция; #571455

1
Лекция
Монотонность функции. Выпуклость. Вогнутость. Исследование функций с по-
мощью производных.
План
1. Исследование функций на возрастание и убывание.
2. Исследование функций на экстремум.
3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость, нахождение точек пере- гиба.
4. Общий план исследования функции и построения графика функции.
5. Теоремы о дифференцируемых функциях.
1. Исследование функций на возрастание и убывание.
Определение. Функция
 
x
f
, определенная на числовом множестве
 , называ- ется неубывающей (невозрастающей) на
 , если
 
   
 


x f
:
,
2 1
2 1
2 1
2 1
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x







Неубывающие и невозрастающие на множестве
 функции называются монотон- ными на этом множестве.
Если в предыдущем определении неравенства строгие, то соответствующие функ- ции называются строго возрастающими (строго убывающими). Строго возрастающие
(строго убывающие) функции называются строго монотонными функциями.
Признак монотонности. Для того, чтобы дифференцируемая на (a;b) функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, ее производная была во всех его точках неотрицательна (неположительна).
Если производная функции во всех точках (a;b) положительная (отрицательная), то функция строго возрастает (строго убывает). Последнее условие является достаточным, но не необходимым условием строгого возрастания. Пример:
 
3
x
x
f

- строго возрас- тает на R, однако
 
2
/
3x
x
f

не всюду больше 0:
 
0 0
/

f
2. Исследование функций на экстремум.
Определение. Пусть функция f задана на некотором множестве




0
x и
R
Точка
0
x
называется точкой локального максимума (минимума) функции f, если суще- ствует такая окрестность U(x
0
) точки
0
x
, что xU(x
0
), x ≠ x
0
,
   
0
x
f
x
f

(соответ- ственно
   
0
x
f
x
f

).
Точки максимума (минимума) функции называются ее точками экстремума, зна- чения функции в этих точках - ее экстремальными значениями (экстремумы функции).
Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точки
0
x
и в этой точке производная функции равна 0 или не существует, то точка
0
x
называется критиче- ской точкой этой функции.
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Если
0
x
- точка экстремума функции
 
x
f
, определенной в некоторой окрестности точки
0
x
, то
 
0
/
x
f
=0 или
 
0
/
x
f
не существует.
Первый достаточный признак экстремума. Пусть функция
f
(x) дифференциру- ема в некоторой окрестности точки
0
x
, кроме, может быть, самой точки
0
x
(a;b), в кото- рой она является, однако, непрерывной. Если
 
x
f
/
меняет знак с
)
"
"
на "-"
(
"
"
на "
"



с
при переходе через
0
x
, то
0
x
- точка максимума (минимума).

2
3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость, нахождение точек пере-
гиба.
Определение. График функции имеет на (a;b) выпуклость (вогнутость), если на
(a;b) график лежит не выше (не ниже) любой касательной.
Достаточное условие выпуклости. Пусть функция
 
x
f
дважды дифференциру- ема на (a;b). Тогда, если
 




0 0
//
//


x
f
x
f
x(a;b), то график функции выпуклый (во- гнутый) на (a;b).
Второй достаточный признак экстремума. Если в точке
0
x
x 
функция
 
x
f
y 
имеет
 
//
x
f
 
//
x
f
< 0 (
 
//
x
f
> 0), то функция имеет в точке
0
x
локальный максимум (минимум).
Определение. Точка
 


c
f
c
M ;
графика функции
 
x
f
y 
называется точкой пере- гиба, если существует в этой точке касательная и существует такая окрестность точки с, что направления выпуклости слева и справа от этой точки различны.
Необходимое условие точки перегиба. Если в точке перегиба функции суще- ствует вторая производная, то она равна 0.
Первое достаточное условие точки перегиба. Если функция f(x) дифференциру- ема в точке
0
x
, дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки и ее вторая производная меняет знак при переходе аргумента через точку
0
x
, то
0
x
является точкой перегиба функции f .
Второе достаточное условие точки перегиба. Если в некоторой точке вторая производная функции равна 0, а третья производная не равна 0, то эта точка является точ- кой перегиба.
4. Схема полного исследования функции.
1) Область определения функции D(f). Множество значений E(f).
2) Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства.
3) Четность.
4) Периодичность.
5) Точки разрыва, область непрерывности.
6) Асимптоты.
7) Интервалы монотонности, экстремумы
8) Интервалы выпуклости, точки перегиба.
9) Дополнительные вычисления. Таблица.
10) Построение графика функции.