ЛЕКЦИЯ -2. Лекция-2-ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Лекция. Основные понятия векторной алгебры вектор
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
ЛЕКЦИЯ.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1. Если начало вектора совпадает с точкой A , а конец с точкой B , то вектор обозначается AB . Кроме этого, часто векторы обозначают одной маленькой буквой со стрелкой над ней a . К векторам относится нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается 0 Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева: a AB , Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными. Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0. Определение. Два вектора AB и CD называются равными (рис. 2.2), если они: 1) коллинеарны; 2) сонаправлены 3) равны по длине. Это записывают так: CD AB (2.1) Для того, чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, необходимо из соответствующей координаты его конца отнять координату начала. 1 2 1 2 1 2 , , z z y y x x AB Линейные операции над векторами. Определение. Произведением вектора a на число m называется вектор, совпадающий по направлению с вектором a , если 0 m , имеющий противоположное направление, если m отрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины вектора a на модуль числа m При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Произведением вектора a на 1 называется вектор a ; a a 1 - противоположено направленный a Определение. Суммой двух векторов a и b называется вектор c , который выходит из их общего начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторы a и b (рис. 2.3). b a c По определению равных векторов OB AC поэтому AC OA OC c - правило треугольника. Правило треугольника можно распространить на любое количество векторов и таким образом получить правило многоугольника: d c b a s - это вектор, который соединяет начало первого вектора a с концом последнего вектора d (рис. 2.4). Вектором суммы будет вектор, который соединяет начало первого из векторов с концом последнего. При сложении векторов складываются и их соответствующие координаты Свойства: a b b a - коммутативность; c b a c b a - ассоциативность; b m a m b a m - дистрибутивность по отношению к умножению на число; a n a m a n m Определение. Разностью двух векторов a и b называют такой вектор d , который при сложении А В Рис. 2.1 D C B A Р и с . 2 .2 0 А С В c a b Рис. 2.3 a b b a a А В С D a d b b a c b a d Р и с . 2 .7 b с Рис. 2.4 b a c d c b a d s Рис. 2.5 с вектором b дает вектор a . Т.е. d b a если a d b . Геометрически d представляет собой вторую диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b с общим началом и направленную из конца вектора b в конец вектора a (рис. 2.5). Проекция вектора на ось. Пусть имеется вектор AB и ось . Из точек A и B опустим перпендикуляры на ось Получим точки a и b - проекции точек A и B (рис. 2.6 а). Определение. Проекцией вектора AB на ось называется длина отрезка ab этой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора AB на ось . Она берется со знаком плюс, если направление отрезка ab совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение: AB np ab e Определение. Углом между вектором AB и осью называется угол , на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось , чтобы она совпадала с направлением вектора AB . Найдем AB np e : На рис.2.6 а представлена: 0 cos AB ab AB np e На рис. 2.6 б): 0 cos cos AB AB ab AB np e .Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью проекций: cos AB AB np e Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Определение. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению модулей векторов a и b на косинус угла между ними. Итак, по определению cos b a b a , где - угол между векторами a та b Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считают равным нулю. Скалярное произведение имеет следующие свойства: 1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов a b b a модуля этого вектора. Отсюда a a a 2. 2 0 2 0 cos a a a a a a , т.е. для произвольного вектора его скалярный квадрат равняется квадрату. 3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю. 4. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя, то есть b a b a b a 5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех векторов c b a , , имеет место равенство c a b a c b a Тогда, пользуясь перечисленными свойствами скалярного произведения, получим, z z y y x x b a b a b a b a , 2 2 2 z y x a a a a , b a b a cos 2 2 2 2 2 2 cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a Векторная алгебра в координатной плоскости Три взаимно перпендикулярные оси ОХ, OY и OZ образуют прямоугольную систему координат. Отложив на этих осях в положительном направлении отрезки ОА, ОВ и ОС, равные единице масштаба, получим три вектора: ОА , ОВ и ОС . Они называются основными векторами (ортами) и обозначаются соответственно i , j и k Если i , j и k – орты координатных осей прямоугольной системы координат Oху, то любой вектор а единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами a х А В a b А В a b Рис. 2.6(а) Рис. 2.6(б) и a у : k a j a i a a z y x . Коэффициенты а х , а у , а z линейной комбинации называют координатами вектора а в базисе i , j и k . Координаты а х , а у , а z вектора а – это его проекции на соответствующие координатные оси. Вектор а с координатами а х , а у , а z записывают в виде z y x a a a а ; ; . Длина вектора а определяется по формуле: 2 2 2 z y x a a a a Пусть даны два вектора z y x a a a а ; ; , z y x b b b b ; ; . Тогда: 1) векторы а и b равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. , , z z y y x x b a b a b a b a 2) векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е. z z y y x x b a b a b a b a || При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число: z z y y x x b a b a b a b a ; ; , z y x a a a a ; ; Если вектор AB a задан точками 1 1 1 ; ; z y x A и 2 2 2 ; ; z y x B , то его координаты а х , а y , a z вычисляются по формулам: 1 2 x x a x , 1 2 y y a y , 1 2 z z a z : 1 2 1 2 1 2 ; ; z z y y x x AB a Пример 1: При каких значениях α и β векторы k j i a 3 2 и k j i b 2 6 коллинеарны? Решение: Так как b a || , то 2 6 3 2 . Отсюда находим, что 1 , 4 Деление отрезка AB точкой C в заданном отношении CB AC Координаты точки C : ; 1 ; 1 ; 1 B A c B A c B A c z z z y y y x x x Нахождение координат середины отрезка Координаты середины M отрезка AB , где A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) и B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) , находятся по формулам ; 2 ; 2 ; 2 2 1 2 1 2 1 z z z y y y x x x M M M Полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Op, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Op (рис.2.7). M(r, ) O e P Рис. 2.7 1 2 2 2 2 b y a x Положение произвольной точки М на плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом , образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется против движения часовой стрелки). Числа r и называются полярными координатами точки М, обозначают М(r; ) и r называют полярным радиусом, - полярным углом. Найдем соотношения между прямоугольными и полярными координатами. Для этого на плоскости зададим прямоугольную и полярную системы координат. Начало координат прямоугольной системы совместим с полярным полюсом, а полярную ось – с положительной полуосью Ox. Пусть x и y – прямоугольные координаты точки М, а r и - ее полярные координаты (рис.2.8). Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями: x = rcos ; y = rsin ; x 2 + y 2 = r 2 Для представления полярных координат точки М(r; ) через прямоугольные координаты справедливы формулы: ; sin ; cos ; 2 2 2 2 2 2 x y tg y x y y x x y x r Y M(x;y) y M(r, ) j X O i x P Рис. 2.8 При вычислении значения угла необходимо по знакам x и y определить четверть, в которой лежит искомый угол, и учесть, что 0 2 Кривые второго порядка. Окружность. В окружности (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 центр имеет координаты (a; b). Эллипс. Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением . Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина. у М r 1 r 2 F 1 O F 2 х F 1 , F 2 – фокусы. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0); с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось. Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением: a 2 = b 2 + c 2 . Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. Е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1. Гипербола. Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами. y M(x, y) b r 1 r 2 x F 1 a F 2 c По определению r 1 – r 2 = 2a. F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2c. 1 2 2 2 2 b y a x кан. ур. гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Ось 2а называется действительной осью гиперболы. Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых x a b y Парабола. Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус. Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой. у А М(х, у) О F x p/2 p/2 Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. y 2 = 2px.-каноническое уравнение параболы. Уравнение директрисы: x = -p/2. |