Математика молель. Математическое моделирование в логистике_практика. Лекция по теме и предлагается литература для дополнительного изучения
 Скачать 199.62 Kb.
|
1 2 Введение Изучение дисциплины «Математическое моделирование в логистике» базируется на знаний, полученные во время обучения в бакалавриате по дисциплинам, являющимися пререквизитами такие, как «математика», «физика». Для закрепления знаний, полученных на лекционных занятиях по данной дисциплине, и получения навыков разработки моделей различных процессов проводятся лабораторные занятия в компьютерных классах. Умение разобраться с поставленной проблемой, разработать математическую или компьютерную модель и сформулировать математическую задачу на основе условий, при которых предполагается решить данную проблему, являются основными требованиями к квалификации современного IT-специалиста. Выполнение заданий по лабораторным работам требует от магистранта умение использовать знания по вышеназванным дисциплинам, полученных во время учебы в бакалавриате. Здесь предложены шесть лабораторных работ, темы которых охватывают различные разделы науки. При выполнении заданий по этим лабораторным работам студент знакомится с популярными методами решения математических задач, используемых для решения научных и исследовательских задач, получают навыки решения практических задач. Знания и навыки, полученные в результате изучения данной дисциплины, могут быть использованы студентом в дальнейшем. Для каждой лабораторной работы определена цель работы, дано задание, приведены теоретические и методические материалы, имеется ссылка к литературным источникам. Каждой лабораторной работе предшествует лекция по теме и предлагается литература для дополнительного изучения. Перед выполнением лабораторной работы студент отвечает на контрольные вопросы преподавателя и получает индивидуальное задание. После выполнения лабораторной работы студент сдает отчет преподавателю. Лабораторная работа № 1 Линейная аппроксимация статистических данных Цель работы: изучение одного из методов обработки статистических или экспериментальных данных с целью получения линейной зависимости между двумя показателями. Задание и порядок выполнения работы: 1) Изучить теоретические материалы [1-3,12] о линейной аппроксимации данных эксперимента или статистики и ознакомиться с методическими указаниями по выполнению данной работы. 2) Сформулировать постановку задачи. 3) Изучить метод решения задачи и разработать алгоритм ее решения. 4) Решить задачу с помощью MS Excel или программы на алгоритмическом языке. 5) Построить график аппроксимирующей функции. 6) Оформить отчет по данной работе. Методические указания по выполнению работы Постановка задачи. Пусть требуется определить функциональную зависимость между двумя величинами  и  . Они могут быть параметрами некоторого либо физического процесса, либо экономического показателя, либо других явлений природного характера. Для определения этой зависимости проводят наблюдения или эксперименты, результаты которых записывают в виде таблицы значений рассматриваемых величин. Используя эти данные, требуется определить математическую зависимость между этими величинами.Математическая модель задачи. Искомая зависимость записывается в виде линейной функции  где  и  неизвестные пока параметры, значения которых должны быть определены.Метод решения задачи. Данная задача решается известным методом наименьших квадратов, сущность которого заключается в следующем. График аппроксимирующей функции должен проходить очень близко от статистических точек. Это условие может быть осуществлено, если следующая функция имеет наименьшее значение:  Здесь  количество статистических точек,  координаты статистических точек. Необходимым и достаточным условием минимума данной функции может быть записано:  Из этих условий будут определены следующие формулы для определения значений неизвестных параметров и  : где  Алгоритм решения задачи: - ввод массивов  в память компьютера;- определение значений следующих сумм  - определить значения искомых параметров и .Пример.Использовать статистические данные, приведенные в таблице 1. Таблица 1- Статистические данные значений величин и 
Результатом решениязадачиявляется линейная аппроксимирующая функция  и ее график в виде прямой линии.Контрольные вопросы: 1) Что такое аппроксимация статистических данных? 2) Какая линия является графиком линейной функции аппроксимации? 3) Почему рассматривается минимум функции  4) Почему условие равенства нулю первых производных функции  является достаточным условием минимума?5) В чем сущность метода наименьших квадратов? Лабораторная работа № 2 Квадратичная аппроксимация статистических данных Цель работы: изучение одного из методов обработки статистических или экспериментальных данных с целью получения зависимости между двумя показателями в виде квадратичной функции. Задание и порядок выполнения работы: 1) Изучить теоретические материалы [2,3,12] о нелинейной аппроксимации данных эксперимента или статистики и ознакомиться с методическими указаниями по выполнению данной работы. 2) Сформулировать постановку задачи. 3) Изучить метод решения задачи и разработать алгоритм ее решения. 4) Решить задачу с помощью MS Excel или программы на алгоритмическом языке. 5) Построить график аппроксимирующей функции. 6) Оформить отчет по данной работе. Методические указания по выполнению работы Постановка задачи. Пусть требуется определить функциональную зависимость между двумя величинами и в виде квадратичной функции  . Для определения этой зависимости используются данные эксперимента или статистики. Этот процесс называется квадратичной аппроксимацией. Математическая модель задачи. Искомая зависимость записывается в виде функции  где ,  неизвестные пока параметры, значения которых должны быть определены.Метод решения задачи. Данная задача решается методом наименьших квадратов. Используется условие минимума следующей функции:  Здесь количество статистических точек, координаты статистических точек. Необходимым и достаточным условием минимума данной функции имеет вид:   Из этих условий будут получена следующая система алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров , и  :   Алгоритм решения. Полученную систему алгебраических уравнений можно решить с помощью MS Excel или с помощью программы на алгоритмическом языке. При этом используется один из существующих методов решения системы алгебраических уравнений. Алгоритм решения этой системы состоит из следующих этапов: - ввод массивов в память компьютера;- определение значений следующих сумм  - решить систему алгебраических уравнений; - определить значения искомых параметров , , .Здесь суммы определяются по формулам:        Пример.В качестве статистических данных использовать данные, приведенные в таблице 1. Результатом решения задачиявляется квадратичная функция и ее график. Контрольные вопросы: 1) Почему квадратичная функция является лучшей для аппроксимации статистических данных, чем линейная функция? 2) Что такое репрезентативность статистических данных? 3) Какие методы используются для решения системы алгебраических уравнений, получаемой в результате использования метода наименьших квадратов? 4) Какая линия является графиком аппроксимирующей функции? 5) Почему в третьем уравнении системы коэффициент при равен  ?6) Можно ли привести систему уравнений из трех уравнений к системе с двумя уравнениями? Лабораторная работа № 3 Уравнения множественной регрессии Цель работы: изучение одного из методов определения зависимостей между многими переменными в результате математической обработки статистических (экспериментальных) данных. Задание и порядок выполнения работы: 1) Изучить теоретические материалы [2,3,12] и методические указания по выполнению данной работы. 2) Сформулировать постановку задачи. 3) Изучить метод решения задачи и разработать алгоритм ее решения. 4) Решить задачу с помощью MS Excel . 5) Получить решение задачи с помощью компьютерной программы, составленной на одном из языков программирования. 6) Оформить отчет по данной работе. Постановка задачи.В экономических или экспериментальных исследованиях часто встречаются задачи, когда требуется определить зависимость между несколькими переменными. Такие зависимости называются уравнениями множественной регрессии. Здесь для простоты рассматриваются три переменные. Математическая модель. Если  являются некоторыми показателями, то уравнение, связывающее их значения, может быть написано в следующем виде (3.1)где  - неизвестные пока параметры.Если будут найдены значения этих параметров, то задача считается решеной. Данное уравнение (3.1) может быть написано в других видах. Например,  (3.2)Эти уравнения являются эквивалентными уравнению (3.1). Метод решения задачи. Для решения поставленной здесь задачи используются статистические (экспериментальные) данные, которые могут быть представлены в виде таблицы 2. Таблица 2 – Статистические данные для трех переменных
Искомое уравнение может быть написано и в другом виде:  (3.3)Здесь следующие выражения являются средними статистическими значениями каждой из этих переменных:  (3.4)Свободный член в уравнении (3.1) будет иметь вид:  (3.5)Итак, задача сводится к определению двух неизвестных параметров  . Для определения их значений используется известный метод наименьших квадратов. Для этого рассматривается следующая функция от неизвестных параметров: Из условия минимума данной функции получаются следующие алгебраические уравнения:  . После ввода обозначений эти уравнения могут быть написаны в следующем виде:  (3.6)Здесь:   (3.7) называются моментами второго порядка. Решение системы уравнений (3.6) будет представлено в виде:  (3.8)Алгоритм решения задачисостоит из следующих этапов: - по формуле (3.4) определяют средние значения переменных  ;- по формулам (3.7) вычисляют значения моментов второго порядка; - по формулам (3.8) определяют значения параметров  и  ;- по формуле (3.5) определяют свободный член  уравнения (3.1).Пример.Длярешения задачи использовать данные, приведенные в таблице 3. Таблица 3 – Статистические данные для трех переменных
Результатом решения задачи является уравнение (3.1). 1 2 |
