курс. Курс лекций по ТАУ. Лекция Принципы управления 2 Общие понятия 2 Лекция Статический режим сау 7
![]()
|
Лекция 9. Частотные критерии устойчивостиЭто графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения. 9.1. Принцип аргументаЗапишем характеристический полином САУ в виде D(p) = a0 (p - p1) (p - p2) ... (p - pn) = 0. ![]() Его корни pi = i + j i = |pi|ejarg(pi), где arg(pi) = arctg( i/ai) + k , ![]() Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - pi изобразится разностью векторов (рис.68б), где p - любое число. Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - pi будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как pi - это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то p = j , а характеристический полином принимает вид: D(j ) = a0 (j - p1) (j - p2) ... (j - pn). При этом концы векторов j - pi будут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от - до + , то каждый вектор j - pi будет поворачиваться относительно своего начала pi на угол +p для левых и - p для правых корней (рис.68г). Характеристический полином можно представить в виде D(j ) = |D(j )|ejarg(D(j )), где |D(j )| = a0 |j - p1| |j - p2|...|j - pn|, arg(D(j )) = arg(j - p1) + arg(j - p2) + .. + arg(j - pn). Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j ) при изменении от - до + равен ![]() или при изменении от 0 до + получаем ![]() Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2. Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста. 9.2. Критерий устойчивости МихайловаТак как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(j ) составит ![]() То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j ) при изменении частоты от 0 до + повернется на угол n /2. ![]() При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) = an, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в n - ом квадранте (рис.69а). Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова. Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ. Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j ) представляют суммой вещественной и мнимой составляющих: D(j ) = a0(j - p1)(j - p2)...(j - pn) = a0(j )n + a1(j )n - 1 + ... + an = ReD(j ) + jImD(j ), где ReD(j ) = an - an - 2 2 + an- 4 4 - ..., ImD(j ) = an - 1 - an - 3 3 + an- 5 5 - .... Меняя от 0 до по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией. |