Лекция_6_Прямая_на_плоскости_Плоскость-1. Лекция Прямая на плоскости

• Название: Лекция Прямая на плоскости
• Дата: 09.12.2022
• Размер: 0.99 Mb.
• Имя файла: Лекция_6_Прямая_на_плоскости_Плоскость-1.docx
• Тип: Лекция; #835774
• страница: 2 из 2

6. Найдем отклонение и расстояние от точки до плоскости . Для этого подставим координаты точки Pв нормальное уравнение плоскости и найдем отклонение:

.

- точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости .

- расстояние от точки до плоскости .
Пример 2. Даны три плоскости, заданные своими общими уравнениями. Определить имеют ли они единственную точку пересечения, если имеют то найти ее. Сделать проверку. Найти угол между плоскостями и .

.

1. Составим и найдем значение определителя из координат нормальных векторов плоскостей:

.

Определитель , следовательно, плоскости имеют единственную точку пересечения. Решим систему, составленную из общих уравнений плоскостей методом Гаусса:





.

Точка пересечения плоскостей имеет координаты: . Так как точка пересечения принадлежит всем трем плоскостям, то при ее подстановке во все три уравнения должны получиться тождества. Проверка:

Верно.

Верно.

Верно.

Точка пересечения найдена правильно.

2. Найдем угол плоскостями и по формуле (17).

.





Тогда: .

Пример 3. Проверить параллельность плоскостей и . Если плоскости параллельны, то найти расстояние между ними.

.

.

Проверим коллинеарность векторов и : .
Координаты нормальных векторов пропорциональны, следовательно, плоскости и параллельны.

Положим в уравнении плоскости . Тогда и точка принадлежит .

Найдем расстояние от точки до плоскости . Это и будет расстояние между параллельными плоскостями:

.

Таким образом, расстояние между параллельными плоскостями и .

6.3. Задание №11 на практические занятия и самостоятельную работу.

Решить самостоятельно:

Задание 1. Записать девять уравнений прямой , если точка принадлежит прямой, а вектор ей параллелен.

Задание 2. Даны две точки, принадлежащие прямой : и . Найти отклонение и расстояние от точки до прямой из Примера 1. Если прямые и не параллельны, то найти их точку пересечения.

Задание 3. Решить следующие задания из задачника А.В.Ефимов, Б.П.Демидович «Сборник задач по математике», часть 1 «Линейная алгебра и основы математического анализа»:

Написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую. Привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от прямой до начала координат:

№2.142а._;_.'>2.142а. ; . №2.143а. ; .

Исследовать взаимное расположение заданных прямых. Если они параллельны, то найти расстояние между ними, а если нет, то точку их пересечения и угол между ними:

№2.145. : ; : . №2.148. : ; : .

№2.150а. Треугольник задан координатами вершин: ; ; . Требуется:

1.Написать уравнение стороны ;

2.Написать уравнение высоты и найти ее длину ;

3.Найти угол между высотой и медианой ;

4.Написать уравнения биссектрис и внутреннего и внешнего углов при вершине . При решении учесть, что биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон.

№2.151. Показать, что точка принадлежит прямой . Найти соответствующее этой точке значение параметра .

№2.153. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отстоящей от точки на расстояние .

Ответы:

№2.142а. ; . №2.143а. ; .

№2.145. Точка пересечения ; . №2.148.Параллельны, .

№2.150а. 1. : ; 2. : , ; 3. ;

4. ; .

№2.151. . №2.153. : ; : .

Решить дома:

Задание 1. Записать девять уравнений прямой , если точка принадлежит прямой, а ее угловой коэффициент .

Задание 2. Даны две точки, принадлежащие прямой : и . Найти отклонение и расстояние от точки до прямой из Примера 1. Если прямые и не параллельны, то найти их точку пересечения и угол между прямыми и .

Задание 3.

3.1. Проверить параллельность прямых: и . Если они параллельны, то найти расстояние между ними, а если нет, то очку их пересечения.

3.2. Прямая проходит через точку перпендикулярно прямой . Найти общее уравнение прямой .

3.3. Прямая проходит через точки и . Найти ее угловой коэффициент и записать ее общее уравнение.

3.4. Угол наклона прямой с положительным направлением оси составляет . Прямая проходит через точку . Записать общее уравнение прямой .

3.5. Найти отклонение и расстояние от точки до прямой . На что указывает знак отклонения?

3.6. Дано общее уравнение прямой . Записать каноническое уравнение прямой.

3.7. Прямые заданы уравнениями: и . При каком значении эти прямые будут перпендикулярны.

3.8. Прямая перпендикулярна к прямой и отсекает по оси отрезок . Записать общее уравнение прямой .

3.9. Проверить параллельность прямых: и . Если они параллельны, то найти расстояние между ними, а если нет, то очку их пересечения.

3.10. Дано каноническое уравнение прямой . Записать общее уравнение прямой .

3.11. Отрезок, отсекаемый прямой по оси , равен , угол, который прямая составляет с положительным направлением этой оси равен . Записать общее уравнение этой прямой.

3.12. Прямая задана уравнением. . Записать каноническое уравнение этой прямой и найти ее угловой коэффициент.

3.13. Дано каноническое уравнение прямой . Прямая перпендикулярна прямой и проходит через точку, указанную в уравнении . Записать общее уравнение прямой .

3.14. Прямые заданы уравнениями: и . При каком значении эти прямые будут параллельны.

Задание 4. Решить следующие задания из задачника Клетеник Д.В. «Сборник задач по аналитической геометрии». № 210, 213, 215, 220(1), 223, 226, 227, 229, 232, 236, 242, 253(1). Ответы в конце задачника.

6.4. Задание №12 на практические занятия и самостоятельную работу.

Решить самостоятельно:

_{Задание 1.} Дана точка: и вектор . Также дана точка .

Записать пять уравнений плоскости и найти отклонение и расстояние от точки до плоскости .

Произвести возможные проверки.

Задание 2. Даны три плоскости, заданные своими общими уравнениями. Определить имеют ли они единственную точку пересечения, если имеют то найти ее. Сделать проверку. Найти угол между плоскостями и .

.

.

.

Задание 3. Проверить параллельность плоскостей и . Если плоскости параллельны, то найти расстояние между ними.

.

.

Задание 4. Решить следующие задания из задачника А.В.Ефимов, Б.П.Демидович «Сборник задач по математике», часть 1 «Линейная алгебра и основы математического анализа»:

№2.180a. Задана плоскость и точка . Написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

№2.181б. Задана плоскость и две точки и . Написать уравнение плоскости , проходящей через эти точки перпендикулярно плоскости .

№2.182a. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно векторам и .

№2.183a. Написать уравнение плоскости , проходящей через точки и . параллельно вектору .
Ответы:

№2.180a. . №2.181б. .

№2.182a. . №2.183a. .

Решить дома:

Задание 1. Записать пять уравнений плоскости , если известно, что она отсекает по осям отрезки равные: по оси отрезок ; по оси отрезок ; по оси отрезок . Найти отклонение и расстояние от точки до плоскости . Произвести возможные проверки.

Задание 2.Даны три плоскости, заданные своими общими уравнениями. Определить имеют ли они единственную точку пересечения, если имеют то найти ее. Сделать проверку. Найти угол между плоскостями и .

.

.

.

Задание 3. Проверить параллельность плоскостей и . Если плоскости параллельны, то найти расстояние между ними.

.

.

Задание 4. Решить следующие задания из задачника Клетеник Д.В. «Сборник задач по аналитической геометрии». № 915, 925(2), 926(3), 927(3), 932, 934. Ответы в конце задачника.