Лекция_6_Прямая_на_плоскости_Плоскость-1. Лекция Прямая на плоскости
 Скачать 0.99 Mb.
|
1 2 Лекция 6. 5. Прямая на плоскости. 5.1. Виды уравнений прямой на плоскости. 5.1.1. Уравнение прямой с нормальным вектором через точку.  Пусть для прямой  на плоскости известна точка, принадлежащая ей  , и вектор  ей перпендикулярный.Вектор  называется нормальным вектором прямой . Тогда для прямой может быть записано уравнение прямой с нормальным вектором через точку: (1).5.1.2. Общее уравнение прямой. Если в уравнении (1) раскрыть скобки и привести подобные, то будет получено общее уравнение прямой:  .Обозначим число  . Тогда уравнение примет вид:  . Это и есть общее уравнение прямой: (2).Если в этом уравнении  , то прямая проходит через начало координат.Если  , то прямая параллельна оси  , а если еще и  , то прямая совпадает с осью .Если  , то прямая параллельна оси  , а если еще и , то прямая совпадает с осью .5.1.3. Каноническое уравнение прямой. Пусть для прямой известна точка, принадлежащая ей  ,и вектор  , ей параллельный или лежащий на ней. Вектор  называется направляющим вектором прямой . Тогда для прямой может быть записано каноническое уравнение прямой:  (3).Если  , то его проекция на эту ось равна  , следовательно,  . В этом случае уравнение записывается в формальном виде, так как деление на ноль в действительных числах невозможно: .Аналогично, если  , то его проекция на эту ось равна , следовательно,  . В этом случае уравнение также записывается в формальном виде:  .5.1.4. Параметрические уравнения прямой. Приравняем каноническое уравнение (3) к значению некоторого параметра  : .Полученная система описывает параметрические уравнения прямой:  (4).5.1.5. Уравнение прямой через две точки. Пусть для прямой известны две точки, ей принадлежащие: и  . Тогда в качестве направляющего вектора вектор  можно взять вектор  . При этом каноничекое уравнение запишется в виде уравнения прямой через две точки:  (5).5.1.6. Уравнение прямой через данную точку в заданном направлении. Рассмотри на плоскости  прямую непараллельную оси .Е  е положение определяется углом  между прямой и осью и известной точкой . В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор (орт)  .Так как  , то  . Следовательно,  Тогда каноническое уравнение запишется так:  Выразим из этого уравнения  :  .Коэффициент  называется угловым коэффициентом прямой. В результате получим уравнение прямой через заданную точку в заданном направлении:  (6).Если прямая параллельна оси , то  , и уравнение в таком виде записано быть не может.5.1.7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть прямая составляет с осью  угол и пересекает ось в точке  . Тогда уравнение (6) примет вид:  . Это и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом:  (7).5.1.8. Уравнение прямой в отрезках. Если прямая отсекает по оси отрезок  , а по оси отрезок  , то она проходит через точки:  и  . Уравнение через две точки перепишется так:  .Это и есть уравнение прямой в отрезках:  (8).5.1.9. Нормальное уравнение прямой. Пусть прямая задана в общем виде (2): . Найдем нормирующий множитель: , где знак  выбирается противоположным знаку коэффициента  в уравнении (2).Умножим общее уравнение на этот коэффициент и получим нормальное уравнение прямой:  (9).Нормальное уравнение прямой обладает следующим свойством. Если в него подставить координаты произвольной точки плоскости  , то будет получено отклонение  от точки  до прямой :  .Если  , то точка и прямая лежат по одну сторону от начала координат, а если  , то по разные. При этом модуль отклонения равен расстоянию  от точки до прямой :  .Если отклонение искать не требуется, а достаточно найти лишь расстояние от точи до прямой , то можно воспользоваться следующей формулой:  (10).5.2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Пусть для прямой  известны:нормальный вектор  , направляющий вектор  и угловой коэффициент  ;для прямой  :нормальный вектор  , направляющий вектор  и угловой коэффициент  ;тогда: 1. Прямые и параллельны, если:-  или  ;-  или  ;-  .2. Прямые и перпендикулярны если:-  или  ; -  или  ;-  .3. Если прямые и не параллельны, то они имеют единственную точку пересечения, которая находится из решения системы, составленной из общих уравнений этих прямых: - точка пересечения прямых.4. Если прямые и не перпендикулярны, то угол между прямыми может быть найден по формуле: .Пример 1. Записать девять уравнений прямой , если точка  принадлежит прямой, а вектор  ей перпендикулярен.1. Воспользуемся формулой (1) и запишем уравнение прямой с нормальным вектором через точку:   (1)2. Раскроем в уравнении (1) скобки и получим общее уравнение (2).  (2)3. Выразим  из общего уравнения (2) и получим уравнение с угловым коэффициентом (7). (7)Из уравнения (7) следует, что угловой коэффициент прямой  , а отрезок, отсекаемый ей по оси  .4. С учетом найденного углового коэффициента и известной точки запишем уравнение прямой через заданную точку в заданном направлении (6): (6)5. Выведем из общего уравнения (2) уравнение в отрезках (8). Для этого разделим уравнение (2) на свободный член  . (8)Из уравнения (8) следует, что отрезок, отсекаемый прямой по оси  , а отрезок, отсекаемый ей по оси  .6. Для того чтобы записать уравнение прямой через две точки (5) найдем координаты второй точки из общего уравнения (2), придав какое-либо значение одной из координат, например  . .Таким образом, в качестве второй точки прямой может быть взята точка  . Тогда уравнение прямой через две точки запишется так:  (5) .7. Посчитаем знаменатели в уравнении (5) и получим каноническое уравнение прямой (3).  (3) .Из уравнения (3) следует, что направляющий вектор прямой  .8. Найдем параметрические уравнения прямой (4). Для этого приравняем каноническое уравнение (3) к значению параметра :  (4) .9. Запишем нормальное уравнение прямой (9). Для этого найдем нормирующий множитель, взяв его знак противоположным знаку свободного члена . .Тогда нормальное уравнение (9) запишется так:  (9) .Пример 2. Даны две точки, принадлежащие прямой :  и  . Найти отклонение и расстояние от точки  до прямой из Примера 1. Если прямые и не параллельны, то найти их точку пересечения и угол между прямыми и .1. Воспользуемся нормальным уравнением (9) прямой . Подставим в это уравнение координатыточки и найдем отклонение этой точки от прямой . . - точка и начло координат лежат по разные стороны от прямой . - расстояние от точки до прямой .2. Найдем уравнение прямой через две точки: .Тогда общее уравнение прямой :  .Следовательно, нормальный вектор прямой :  . Нормальный вектор прямой : .Прямые и не параллельны, так как их нормальные вектора неколлинеарны:  .Тогда прямые и имеют единственную точку пересечения. Найдем ее, решив систему, составленную из общих уравнений этих прямых:  .Метод Гаусса:  .Точка пересечения прямых  . Правильность нахождения точки можно проверить подстановкой ее координат в уравнения обеих прямых.3. Найдем угловой коэффициент прямой :  .Воспользуемся формулой для нахождения тангенса угла между прямыми  : .Тогда:  .6. Плоскость в пространстве. 6.1. Виды уравнений плоскости в пространстве. 6.1. 1. Уравнение плоскости с нормальным вектором через точку.  Пусть для плоскости  известна точка, принадлежащая ей  и вектор  ей перпендикулярный. Вектор называется нормальным вектором плоскости . Тогда для плоскости может быть записано уравнение с нормальным вектором через точку: (10).6.1.2. Общее уравнение плоскости. Если в уравнении (10) раскрыть скобки и привести подобные, то будет получено общее уравнение плоскости:   .Обозначим число  . Тогда уравнение примет вид:  . Это и есть общее уравнение плоскости: (12).Если в этом уравнении  , то плоскость проходит через начало координат.Если один из коэффициентов  или  , или равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей оси: или или  . Если при этом еще и , то плоскость проходит через соответствующую ось.Если любая пара коэффициентов  и  или и  , или  и равна нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости:  или  или  . Если при этом еще и , то плоскость совпадает с соответствующей координатной плоскостью.6.1.3. Уравнение плоскости в отрезках. Если плоскость отсекает по оси отрезок , по оси отрезок , а по оси отрезок  , то ее уравнение может быть записано в виде уравнения плоскости в отрезках:  (13) .6.1.4. Уравнение плоскости через три точки. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно всегда провести плоскость, причем единственным образом. Верно и обратное утверждение: три точки, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной плоскости. Пусть для плоскости известны три точки ей принадлежащие: ,  и  . Тогда уравнение плоскости через три точки можно записать в виде определителя третьего порядка:  (14) .Если этот определитель раскрыть и привести подобные члены, то будет получено общее уравнение плоскости (12). 6.1.5. Нормальное уравнение плоскости. Пусть плоскость задана общим уравнением: . Найдем нормирующий множитель: , где знак выбирается противоположным знаку коэффициента  в уравнении.Умножим общее уравнение на этот множитель и получим нормальное уравнение плоскости:  (15).Нормальное уравнение плоскости обладает следующим свойством. Если в него подставить координаты произвольной точки плоскости  , то будет получено отклонение от точки до плоскости : .Если , то точка и плоскость лежат по одну сторону от начала координат, а если  , то по разные. При этом модуль отклонения равен расстоянию от точки до плоскости :  .Если отклонение искать не требуется, а достаточно найти лишь расстояние от точи до плоскости , то можно воспользоваться следующей формулой: (16).6.2. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями:  . , где  и  - нормальные вектора этих плоскостей, тогда:1. Плоскости  и  параллельны, если коллинеарны их нормальные вектора: .Замечание. Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, достаточно найти расстояние от любой точки, принадлежащей одной из плоскостей, до второй плоскости. 2. Плоскости и перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора: .3. Если плоскости и не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой. Координаты точек этой прямой удовлетворяют бесчисленному множеству решений системы, составленной из общих уравнений этих плоскостей:   линия пересечения плоскостей и .4  . В общем случае плоскости и не перпендикулярны и не параллельны. За угол между двумя плоскостями принимают один из двухгранных углов, образуемых ими при пересечении. Угол между нормальными векторами и численно равен одному из этих двухгранных углов. Поэтому угол между плоскостями и можно искать через косинус угла между их нормальными векторами:  (17).Тогда  .5. Если имеется еще и третья известная плоскость  : ,то возможен случай, когда три плоскости пересекутся в одной точке. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат нормальных векторов этих плоскостей, был не равен нулю:  .При этом точка пересечения трех плоскостей найдется из решения системы, составленной из общих уравнений этих плоскостей:  .Пример 1. Даны четыре точки:  ;  ;  и  . Записать пять уравнений плоскости и найти отклонение и расстояние от точки  до плоскости . Произвести возможные проверки.1. Воспользуемся уравнением плоскости через три точки (14):  (14).2. Раскроем определитель, приведем подобные члены и получим общее уравнение плоскости (12):    .Таким образом, общее уравнение плоскости :  (12) .Для проверки правильности нахождения общего уравнения (12) подставим в него поочередно координаты точек плоскости ; ; . Должны получить три тождества. Верно. Верно. Верно.Общее уравнение плоскости уравнение найдено верно.3. Запишем уравнение плоскости с нормальным вектором через точку (10). Из найденного общего уравнения (2) следует, что нормальный вектор плоскости равен: . В качестве точки  можно выбрать любую из трех известных точек:  ;  или  . Выберем, например, точку  , подставив ее координаты в уравнение (10): (10).Если раскрыть скобки в полученном уравнении , то не зависимо от выбора точки, будет получено общее уравнение плоскости (2). Проверка:  Верно.4. Запишем уравнение плоскости в отрезках (13). Для этого преобразуем общее уравнение плоскости следующим образом:  (13)Таким образом, плоскость отсекает по осям следующие отрезки:по оси отрезок  ; по оси отрезок  ; по оси отрезок  . Следовательно, плоскость проходит через точки  ;  ;  . Для проверки составим уравнение плоскости через три точки и приведем его к общему виду. Должны получить общее уравнение, полученное в пункте 2. .  .Умножим уравнение на  , получим:  .Результат совпал с общим уравнением плоскости. Уравнение в отрезках найдено верно. 5. Запишем нормальное уравнение плоскости (15), для этого используем общее уравнение (12).  , где .Найдем нормирующий множитель, взяв его знак противоположным знаку свободного члена  . .Тогда нормальное уравнение (15) запишется так:  (15). 1 2 |