Првво. Лекция 8. Лекция Замечательные пределы. Непрерывность функции

• Название: Лекция Замечательные пределы. Непрерывность функции
• Анкор: Првво
• Дата: 07.04.2022
• Размер: 134.99 Kb.
• Имя файла: Лекция 8.docx
• Тип: Лекция; #451848

Лекция 8. Замечательные пределы. Непрерывность функции.
План

1. 
   Замечательные пределы.
   
2. 
   Непрерывность функции.
   
3. 
   Точки разрыва функции и их классификация.
   

1. Замечательные пределы

Первый и второй замечательные пределы.

Предел называется первым замечательным пределом. Отметим, что этот предел является неопределенностью типа .

Предел или называется вторым замечательным пределом.

Отметим, что этот предел является неопределенностью типа . Для его отыскания при , и , справедлива вычислительная формула

(*)

Следует иметь в виду, что может быть и числом и одним из символов или .
Сравнение бесконечно малых.

Определение 10. Пусть и - бесконечно малые при и пусть, для определенности, существует предел . Тогда:

а) при и называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, при бесконечно малые и называют эквивалентными. Обозначение: при ;

б) при , называют бесконечно малой более высокого порядка, чем . Обозначение: .
2. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке.

Непрерывность функции в точке и на промежутке.

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если .

На практике, при выяснении непрерывности функции в точке , достаточно проверить следующие три условия:

(*)

1. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке ;

2) имеет конечный предел при ;

3) этот предел равен значению функции в этой точке: .

2. Если функции f(x) и φ(х) непрерывны в точке, то их сумма, произведение и частное (при условии, что знаменатель отличен от нуля) являются функциями, непрерывными в этой точке.

3. Если функция y=f(u) непрерывна в точке , а функция u=φ(x) непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

4. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

5. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то функции , , , также непрерывны в точке (частное – при условии ).

Теорема 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Замечание. Теорема 2 может быть записана в виде

,

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Теорема 3. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

.

Определение 2. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теорема 4. Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.
3.Точки разрыва функции и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют точками разрыва.

На практике это означает нарушение хотя бы одного из указанных выше (*) трех условий непрерывности.

Определение 3. Пусть определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки . Точка называется точкой разрыва.

Если не выполнено определение непрерывности, то функция в точке терпит разрыв, причем:

а) если оба односторонних предела и конечны, равны между собой, но не равны f( ), то - точка устранимого разрыва первого рода;

б) если оба односторонних предела и конечны, но не равны между собой, то - точка неустранимого разрыва первого рода;

в) если хотя бы один из односторонних пределов или бесконечен или не существует вовсе то - точка разрыва второго рода.
Пример 1. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена, если Решая неравенства, получаем область определения функции

или , т.е.
Пример 2. Найти точки разрыва функции.



Решение. Каждая из трех функций y = x, y= 2 непрерывны в области определения. Поэтому разрыв возможен только на стыке промежутков, то есть в точках , . Для точки имеем: . Следовательно, является точкой разрыва функции первого рода. Для точки имеем: . Это означает, что функция в точке непрерывна.
Контрольные вопросы:

1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

2. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

3. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.
4. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу.

5. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

6. Какой предел называется первым замечательным пределом? Сформулируйте определение числа е.

7. Сравнение бесконечно малых, теоремы о пределах функций.

8. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке.

9. Какие точки называются точками разрыва функции?

Литература:

1. Под редакцией проф. Кремера Н. Ш. Высшая математика для экономистов.- М:

ЮНИТИ/UNITY, 2010.

2. Казешев А.К., Нурпеисов С.А. Математика для экономистов. Учебное

пособие./- Алматы: 2008. Под общей редакцией д.э.н., проф. Рахметовой Р.У.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах. Ч.1,2. М.: ОНИКС, Мир и Образование, 2009.