Реферат Высшая математика. Линейная балансовая модель

• Название: Линейная балансовая модель
• Дата: 19.02.2023
• Размер: 29.02 Kb.
• Имя файла: Реферат Высшая математика.docx
• Тип: Реферат; #944248

Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования

«Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»
Дисциплина: Высшая математика
Реферат
Тема: Линейная балансовая модель.


Выполнила:

Кривко Екатерина Александровна

Экономика организаций, ЭС-1120(2)
13.02.2021
Омск 2021г.

Содержание

Введение 3

Глава 1. Линейная балансовая модель 4

Глава 2. Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы 8

Заключение 12

Список использованных источников 13

Введение

Целью работы является анализ линейной балансовой модели.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. 
   Рассмотреть балансовую модель;
   
2. 
   Изучить линейную балансовую модель;
   
3. 
   Проанализировать балансовые уравнения с помощью обратной матрицы.
   

Объектом данного исследования является балансовая модель. Предметом исследования является линейная балансовая модель.

Экономико-математическое моделирование экономических систем и процессов основывается на применении балансовых, статистических и динамических моделей. Основа формирования таких моделей представлена балансовым методом. Он представляет собой взаимное сопоставление существующих на определенный момент времени ресурсов (финансовых, трудовых, материальных) и потребностей в них.

Балансовая модель представляет собой систему уравнений. Таким образом, экономическая система включает в себя экономические объекты, каждый из которых производит тот или иной продукт. Определенную часть продукта потребляют иные объекты системы, а оставшуюся выводят за ее пределы как конечный продукт.

Глава 1. Линейная балансовая модель

Простой математической моделью выступает балансовая модель. Она представляется системой уравнений, каждым из которых выражается требование равенства (баланса) между количеством товаров (производящихся определенными объектами экономики) и совокупной потребностью в данной продукции.

Балансовые модели, как статистические, так и динамиче­ские, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов. В осно­ве создания этих моделей лежит балансовый метод, т.е. Ме­тод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.

Экономический объект должен быть представлен «чисто прибылью». К примеру, для правильного отражения взаимосвязей между металлургической и машиностроительной отраслями важно исключать продукцию металлургии и иных отраслей из продукции машиностроительной отрасли. Кроме того, в металлургии не стоит учитывать и произведенную на металлургических заводах машиностроительную продукцию. Следовательно, продукция «чистой отрасли» должна складываться из продуктов специализированных предприятий, которая очищена от ее непрофильных видов, а также продукции (профильного вида), произведенной на предприятии других отраслей.

Если описывать экономическую систему в целом, то под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом, каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени, например, за год.

Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (первый столбец таблицы 1) и как ее потребитель (первая строка таблицы 1).

Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi - конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами:

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х'ik, y'i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха - аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1, y2,…, yn, характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором:

а совокупность значений x1, x2,…, xn, определяющих валовый выпуск всех отраслей - вектор-планом:

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk, содержат n2 неизвестных xik, которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений:

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

Исходя из этого предложения имеем

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу, которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением.

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель.

Система уравнений (6) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

Уравнения (6) содержат 2n переменных (xi и yi). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y1, y2,…, yn) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х1, х2,… хn).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл. 2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

Эти коэффициенты записаны в табл. 2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель (6), соответствующая данным табл. 2

х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовой выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

Глава 2. Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы

Балансовое уравнение появляется в линейной модели экономики (модели Леонтьева) и может применяться для анализа и планирования деятельности предприятия, отрасли, а также экономики страны в целом. Рассмотрим суть этой модели на простейшем примере.

Предприятие производит три вида продукции в количестве х1, х2 и х3 единиц каждого вида. Часть этой продукции расходуется внутри производства, а оставшаяся часть (товарная продукция) реализуется за пределами производства, поэтому можно, исходя из условия, что продукция каждого вида должна обеспечивать внутрипроизводственное потребление и запланированный объем продаж, составить систему уравнений:

х1 = х11 + х12 + х13 + y1, х1 - х11 - х12 - х13 = y1,х2 = х21 + х22 + х23 + y2, или х2 - х21 - х22 - х23 = y2,х3 = х31 + х32 + х33 + y3, х3 - х31 - х32 - х33 = y3.

Здесь хij - количество продукции вида i, расходуемое на производство продукции вида j, например х23 - количество продукции второго вида, расходуемое на производство продукции третьего вида. Если разделить это количество на х3, то можно найти, сколько продукции второго вида расходуется при производстве единицы продукции третьего вида.

Аналогично, отношение показывает, какое количество продукции вида i расходуется при производстве единицы продукции вида j. Поскольку такой расход зависит от используемой в производстве технологии, то указанное отношение называется технологическим коэффициентом. Обозначим его

aij = и, учитывая, что хij = aij Ч--хj, перепишем вторую систему в виде:

х1 - a11х1 - a12х2 - a13х3 = y1,х2 - a21х1 - a22х2 - a23х3 = y2,х3 - a31х1 - a32х2 - a33х3 = y3.

Введем в рассмотрение три матрицы: матрицу А, составленную из техно - логических коэффициентов (технологическую матрицу или матрицу Леонтьева), матрицу X, характеризующую выпуск продукции (производственный вектор) и матрицу Y (вектор товарной продукции или конечного спроса).

а11 а12 а13 x1 y1

А = а21 а22 а23 Х = х2 Y = y2,а 31 а32 а33 х3 y3

Используя введенные обозначения и помня правила действий с матрицами, систему можно записать в матричном виде:

X - AX = Y или (E - A) X = Y.

Составленное матричное уравнение и называется балансовым уравнением, его решение можно найти с помощью обратной матрицы:

X = (E - A) - 1Y.

Применить его можно следующим способом. По результатам деятельности предприятия за истекший период составляют балансовое уравнение и находят матрицу B = (E - A) - 1, которая называется матрицей полных производственных затрат. Элемент этой матрицы bij равен величине продукции i - того вида, необходимой для производства единицы товарной продукции j - того вида. Затем, зная величину конечного спроса на продукцию YH на новый производственный период, определим новый производственный вектор XH по формуле

XH = (E - A) - 1 YH =BYH.

Матрицу B можно найти по формуле обратной матрицы через алгебраические дополнения, а можно по приближенной формуле:

B ? E + A + A2 + A3.

Рассмотрим пример решения задачи с использованием модели Леонтьева.

Результаты деятельности некоторого предприятия, состоящего из трех цехов, каждый из которых производит свой вид продукции, представлены следующей таблицей.

№ цеха	Валовая продукция	использовано для производства продукции подразделениями	Конечная (товарная) продукция
		1	2	3
1	100	10	5	40	45
2	100	30	-	30	40
3	200	20	20	-	140

Вычислим технологические коэффициенты и составим технологическую матрицу А.

a₁₁ = = 0,1; a₁₂ = = 0,05; a₁₃ = = 0,2.

a₂₁ = = 0,2; a₂₂ =; a₂₃ = = 0,15.

a₃₁ = = 0,2; a₃₂ = = 0,4; a₃₃ = 0.

0,1 0,05 0,2

А = 0,3 0 0,15.

0,2 0,4 0

Составим балансовое уравнение X - AX = Y и сделаем его проверку.

100 0,1 0,05 0,2 100 45

100 - 0,3 0 0,15 · 100 = 40.

200 0,2 0,4 0 200 140

Выполним действия в левой части уравнения:

100 0,1·100 + 0,05·100 + 0,2·200 100 50 45

100 - 0,3·100 + 0·100 + 0,15·200 = 100 - 60 = 40.

200 0,2·100 + 0,4·100 + 0·200 200 60 140

Т.к. левая часть уравнения равна правой, значит, уравнение составлено верно.

1 0 0 0,1 0,05 0,2 0,9 - 0,05 - 0,2

E - A = 0 1 0 - 0,3 0 0,15 = - 0,3 1 - 0,15.

0 0 1 0,2 0,4 0 - 0,2 - 0,4 1

Вычислим матрицу полных производственных затрат B = (E - A) - 1

а) по формуле обратной матрицы:

det (E - A) = 0,7655.

0,94 0,13 0, 2075 1,23 0,17 0,27

(E - A) - 1 = 0,33 0,86 0, 195 ? 0,43 1,12 0,25.

0,32 0,37 0,885 0,42 0,48 1,16

б) по приближенной формуле B ? E + A + A² + A³:

0,065 0,085 0,0275 0,0375 0,01425 0,02575

A2 = 0,06 0,075 0,06; A3 = 0,0405 0,027 0,2325;

0,14 0,01 0,1 0,037 0,047 0,0295

1, 2025 1,14925 0,25325 1,20 0,15 0,25

B ? E + A + A² + A³ = 0,4005 1,102 1,23325 ? 0,40 1,10 0,23.

0,377 0,457 1,1295 0,38 - 0,46 1,13

100

Определим новый производственный план, задав Y_H = 50.

80

0,94 0,13 0, 2075 100 153

X_H = 0,33 0,86 0, 195 50 ? 119.

0,32 0,37 0,885 80 159

Заключение

В настоящее время интенсивно развивается математический аппарат, применяемый в экономике. Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения экономических задач. Таким образом, на основе алгебры матриц и аппарате матричного анализа создана математическая модель В.В. Леонтьева, которая позволяет решить одну из основных проблем мировой экономики, а именно, проблему межотраслевого баланса.

Также в экономике имеется ряд задач, решение которых сводится к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по запасам сырья.

Изучение математики и ее методов в экономике, составляющих основу современной экономики, позволяет не только значительно упростить способы решения многих экономических задач, но и приобрести необходимые навыки для этого, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру.

Список использованных источников

1. 
   Балансовые модели [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: http://bodrenko.org/mmsep/mmsep-l4.htm
   
2. 
   Линейная балансовая модель [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: https://referat.spravochnick.ru/referat/lineynaya_balansovaya_model/
   
3. 
   Линейная модель [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: https://otherreferats.allbest.ru/economy/00237764_0.html
   
4. 
   Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: https://revolution.allbest.ru/emodel/01079786_0.html
   
5. 
   Решение балансовых уравнений [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: https://vuzlit.ru/1576659/reshenie_balansovyh_uravneniy_pomoschyu_obratnoy_matritsy
   
6. 
   Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. Коэффициенты полных затрат [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: https://www.km.ru/referats/AB6DB37AF9B546018EA5F279768D12FA
   
7. 
   Балансовый метод [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: https://studme.org/115707189288/ekonomika/balansovye_modeli
   
8. 
   Модель Леонтьева межотраслевого баланса [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: https://yagu.s-vfu.ru/pluginfile.php/277629/mod_resource/content/1/2_Эконом%20модели%20с%20экофакторами.pdf
   
9. 
   Балансовые модели в экономике [Электронный ресурс]: Режим доступа URL: https://lektsia.com/7x9d0.html