лекционный материал. Логические элементы компьютера

• Название: Логические элементы компьютера
• Дата: 03.10.2022
• Размер: 134.72 Kb.
• Имя файла: лекционный материал.docx
• Тип: Закон; #711623
• страница: 3 из 5

3. Логическая функция.

В алгебре логики простые высказывания заменяют логическими переменными, прочем значения переменных могут быть только 0 и 1. Логические связки заменяют соответствующими им математическими символами. При этом сложное высказывание превращается в логическую функцию.

Логической функциейF от набора логических переменных (a, b, c, …) называется функция, которая может принимать только два значения: 0 и 1.

F(a, b) = a  b - логическое умножение (конъюнкция).

F(a, b) = a v b - логическое сложение (дизъюнкция).

F(a) =  a - отрицание (инверсия).

F(a, b) = a  b - импликация.

F(a, b) = a  b - эквиваленция.

Логические функции можно вычислять с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности логической функции зависит от количества логических переменных и содержит 2ⁿ наборов переменных.

Пример 1. Вычисление значения логической функции

F(a, b) =  (avb) (ab)

Выделим промежуточные логические функции и заполним таблицу истинности для соответствующих наборов логических переменных.

a	b	avb	 (avb)	 b	ab	F(a, b)
0	0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Из таблицы видно, что при любых наборах логических переменных функция F(a, b) тождественно равна нулю.
Пример 2. Вычисление значения логической функции при заданных значениях переменных.

F (a, b, c) = a v b  (a с b).

Вычислите:F (1, 0, 1).

Решение:

F (1, 0, 1) = 1 v 0  (1  1  0)

Значение выражения в скобках можно не вычислять, т.к. затем выполняется конъюнкция 0 и выражения в скобках. Тогда имеем:

F (1, 0, 1) = 1 v 0 = 1.

Ответ: F (1, 0, 1) = 1.
Метод построения таблиц истинности используется и для доказательства логического равенства различных по записи логических функций. При этом если на всех одинаковых наборах логических переменных значения функций совпадают, они называются эквивалентными.
Две логические функции называются эквивалентными, если на всех одинаковых наборах логических переменных значения функций совпадают.

Пример 3. Доказательство равенства двух логических функций.

Докажем, что функции F₁(a, b) = avb и F₂(a, b) = abэквивалентны.

a	b	 a	 avb	ab
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	1	1

По таблице определяем, что на всех одинаковых наборах логических переменных значения функций совпадают, следовательно, они эквивалентны.
Применение законов логики позволяет сокращать количество переменных в логических выражениях и упрощать логические функции.
Законы логики также применяются для построения логических функций по таблицам истинности. При этом нужно руководствоваться следующим правилом:

• 
  Для каждой строки таблицы истинности с единичным значением построить минтерм (конъюнкцию переменных), при этом переменная должна встретиться один раз (без отрицания или с отрицанием). Если в таблице истинности переменные имеют нулевые значения в строке, то в минтерм они входят с отрицанием, а переменные, имеющие значение единица, входят в минтерм без отрицания.
  
• 
  Объединить все минтермы операцией дизъюнкции.
  
• 
  Упростить, если возможно, полученную логическую формулу.
  

Пример 4. Построение логической функции по заданной таблице истинности.

a	b	c	F(a, b, c)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

Выберем строки, в которых функция равна 1 и построим для них минтермы:

строка 1: abc;

строка 2: abc.

Объединим минтермы: F(a, b, c) = abcabc.

Упростим логическую функцию: F(a, b, c) = abcabc = {3} = ab (cc) = {6} = ab 1= {7} = ab = {4} = (ab)

Итак, мы получили логическую функциюF(a, b, c) = (ab).